2017-2018版高中数学第二章空间向量与立体几何5夹角的计算学案2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19学必求其心得，业必贵于专精PAGE5夹角的计算学习目标1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解。知识点一直线间的夹角思考1设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为〈a，b>吗?思考2当两条直线平行时，它们的夹角是多少？梳理(1）共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中,范围在［0,eq\f(π，2)]内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为__________。（2）异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示.两条异面直线的夹角的范围为________，当夹角为eq\f(π，2）时,称这两条直线异面______。综上，空间两条直线的夹角的范围是____________。(3）直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l1与l2的方向向量分别为s1,s2。当0≤〈s1，s2〉≤eq\f(π，2)时，直线l1与l2的夹角等于____________；当eq\f(π，2)＜<s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于____________。知识点二平面间的夹角思考若平面π1与平面π2平行，则它们的夹角是多少？梳理(1)平面间夹角的概念如图，平面π1与π2相交于直线l,点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l,在平面π2上作直线l2⊥l,则l1∩l2＝R。我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角。由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是____________.当夹角等于0时，两个平面______;当夹角等于eq\f(π,2)时,两个平面互相______。（2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定.已知平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.当0≤<n1,n2〉≤eq\f（π,2)时,平面π1与π2的夹角等于__________________;当eq\f(π,2)＜<n1，n2>≤π时，平面π1与π2的夹角等于__________________。事实上,设平面π1与平面π2的夹角为θ，则cosθ＝|cos<n1，n2〉｜.知识点三直线与平面的夹角思考若直线l与平面的夹角是0,则直线l与平面是否一定平行？梳理(1）直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示.(2)直线与平面夹角的范围如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是____。如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是____________.由此可得，直线与平面夹角的范围是____________。(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法空间中,直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定。设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a,直线l与平面α所成的角为θ。当0≤〈n，a>≤eq\f（π,2）时，θ＝__________________;当eq\f(π，2)＜〈n，a〉≤π时,θ＝__________________。即sinθ＝|cos<n，a>｜.类型一直线间的夹角求解例1已知直线l1的一个方向向量为s1＝（1，0，1)，直线l2的一个方向向量为s2＝（－1,2，－2）,求直线l1和直线l2夹角的余弦值。反思与感悟利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系。因为两条直线的方向向量的夹角的范围是[0，π]，而两条直线的夹角的范围是[0，eq\f（π,2)］，所以这两者不一定相等，还可能互补。由于任意两条直线的夹角θ∈[0，eq\f(π,2)]，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于|cos〈s1，s2>｜.跟踪训练1如图所示,在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝eq\r(3），求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值。类型二求平面间的夹角例2如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°,SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f（1，2）.求平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值.反思与感悟利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤(1）建立适当的空间直角坐标系;(2）分别求出两平面的法向量；（3）求出两个法向量的夹角；(4)确定平面间夹角的大小.跟踪训练2如图,在四棱锥S－ABCD中,SD⊥底面ABCD，AB∥DC,AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.（1)证明：SE＝2EB；(2)求平面ADE与平面CDE夹角的大小。类型三直线与平面的夹角例3已知直线l的一个方向向量为s＝(1，0,0)，平面π的一个法向量为n＝(2，1，1），求直线与平面夹角的正弦值。反思与感悟注意公式sinθ＝|cos〈n，a>｜中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错。跟踪训练3如图所示，已知直角梯形ABCD,其中AB＝BC＝2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB。求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.1.在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2，2,4),则这两个平面夹角的余弦值为（）A.eq\f（\r(15),6) B。－eq\f（\r（15)，3)C。eq\f（\r（15），3） D。eq\f(\r(15)，6)或－eq\f(\r(15),6）2。已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1的夹角的正弦值是(）A。eq\f（2，3）B。eq\f(\r（3），3)C.eq\f(\r（2),3)D。eq\f(1，3)3。在矩形ABCD中，AB＝1,BC＝eq\r(2），PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD的夹角大小为________。4。已知直线l1的一个方向向量为a＝（1,－1，2），直线l2的一个方向向量为b＝（3，－2,0），则两条直线夹角的余弦值为________。5.已知平面π1的一个法向量为n1＝（1，－1，3)，平面π2的一个法向量为n2＝(－1，0，－1)，求这两个平面夹角的余弦值。用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤(1）建立适当的空间直角坐标系；（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3）利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；（4）结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角.提醒：完成作业第二章§5

答案精析问题导学知识点一思考1不一定。若l1，l2的方向向量的夹角为［0，eq\f（π，2）］内的角时,l1与l2的夹角为〈a，b>,否则为π－〈a，b〉.思考20。梳理(1)eq\f(π,2)(2）（0，eq\f(π,2）］垂直[0，eq\f（π,2）］（3)<s1,s2〉π－<s1,s2>知识点二思考0.梳理（1）[0，eq\f（π，2）］重合垂直（2）<n1，n2〉π－〈n1，n2>知识点三思考不一定.梳理（2)0eq\f（π,2）［0，eq\f(π，2）］(3）eq\f（π,2)－〈n，a〉〈n，a>－eq\f（π，2)题型探究例1解∵s1＝（1，0,1),s2＝(－1，2,－2),∴cos〈s1，s2〉＝eq\f(s1·s2,|s1｜｜s2｜)＝eq\f(－1－2,\r(2）×\r(9））＝－eq\f（\r（2），2）＜0，∴〈s1，s2〉＞90°，∴直线l1与直线l2的夹角为π－<s1，s2〉，∴直线l1与直线l2夹角的余弦值为eq\f（\r(2),2）。跟踪训练1解建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0)，O1(0，1，eq\r(3))，A（eq\r(3),0，0)，A1(eq\r(3),1,eq\r(3）)，B（0,2,0），∴eq\o(A1B，\s\up6（→）)＝（－eq\r（3），1，－eq\r（3）)，eq\o（O1A,\s\up6（→））＝（eq\r(3)，－1，－eq\r(3))。∴|cos〈eq\o（A1B，\s\up6（→)），eq\o（O1A，\s\up6(→））>｜＝eq\f(｜\o（A1B，\s\up6(→))·\o（O1A，\s\up6（→)）｜,｜\o(A1B，\s\up6（→))||\o(O1A，\s\up6（→）)｜）＝eq\f（|－\r（3），1，－\r(3)·\r（3)，－1，－\r(3）｜,\r(7）·\r（7)）＝eq\f（1，7）.∴异面直线A1B与AO1夹角的余弦值为eq\f(1，7)。例2解如图，以A为坐标原点,分别以AD，AB,AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则S（0,0,1）,D（eq\f(1,2)，0,0），C(1，1,0)，B(0，1，0)，∴eq\o（SD,\s\up6（→）)＝(eq\f（1，2)，0，－1)，eq\o（SC,\s\up6（→））＝（1，1，－1）.设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z），则n·eq\o（SD，\s\up6（→))＝0，n·eq\o(SC，\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）x－z＝0,,x＋y－z＝0，）)∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2z，,y＝－z,)）令z＝1，得n＝(2,－1，1）。易得eq\o(BC，\s\up6(→）)是平面SAB的一个法向量，且eq\o(BC，\s\up6（→）)＝(1,0，0)，∴cos〈eq\o(BC,\s\up6（→）)，n〉＝eq\f（\o(BC，\s\up6（→)）·n，｜\o（BC，\s\up6(→))｜｜n|）＝eq\f(\r(6)，3）。设平面SAB与平面SCD的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\r(6),3).跟踪训练2（1)证明以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0),B(1，1,0），C（0,2,0），S(0，0，2)，∴eq\o（SC，\s\up6(→））＝（0,2，－2)，eq\o（BC，\s\up6(→）)＝(－1，1,0),eq\o（DC，\s\up6（→)）＝(0,2,0)。设平面SBC的一个法向量为m＝(a，b，c）.由m⊥eq\o(SC，\s\up6(→）)，m⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(SC，\s\up6（→））＝0,，m·\o(BC，\s\up6（→)）＝0，）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－2c＝0，，－a＋b＝0,）)令b＝1,则m＝（1，1，1）.又设eq\o（SE,\s\up6(→))＝λeq\o(EB，\s\up6（→）)（λ＞0),则E(eq\f(λ,1＋λ），eq\f(λ,1＋λ），eq\f(2，1＋λ)），∴eq\o（DE，\s\up6（→）)＝(eq\f（λ,1＋λ)，eq\f（λ，1＋λ），eq\f(2,1＋λ）).设平面EDC的一个法向量为n＝(x,y，z）。由n⊥eq\o(DE，\s\up6(→）)，n⊥eq\o（DC,\s\up6（→)）,得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE，\s\up6(→）)＝0，,n·\o（DC,\s\up6(→)）＝0，))∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(λx,1＋λ)＋\f(λy，1＋λ）＋\f(2z,1＋λ）＝0，,2y＝0，）)令x＝2，则n＝（2,0,－λ).由平面EDC⊥平面SBC,得m⊥n，∴m·n＝0,∴2－λ＝0，即λ＝2，∴SE＝2EB。（2）解由(1)，知Eeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，3）,\f（2,3)，\f（2，3））)，∴eq\o(DE，\s\up6(→))＝(eq\f（2，3)，eq\f(2,3),eq\f（2，3)),eq\o（EC，\s\up6（→））＝(－eq\f（2，3)，eq\f(4,3）,－eq\f(2，3)），∴eq\o（EC,\s\up6（→））·eq\o(DE,\s\up6（→)）＝0，∴EC⊥DE.取线段DE的中点F,则F（eq\f(1,3)，eq\f（1，3），eq\f（1，3)）,∴eq\o（FA,\s\up6(→))＝(eq\f（2,3）,－eq\f(1,3)，－eq\f(1,3))，∴eq\o（FA，\s\up6(→))·eq\o（DE,\s\up6(→))＝0，∴FA⊥DE。∴向量eq\o(FA，\s\up6(→））与eq\o（EC,\s\up6(→))的夹角或其补角等于平面ADE与平面CDE的夹角。计算得cos〈eq\o（FA,\s\up6(→））,eq\o（EC,\s\up6（→）)〉＝eq\f(\o（FA，\s\up6(→))·\o(EC，\s\up6(→））,|\o（FA,\s\up6(→））｜|\o（EC,\s\up6(→）)|）＝－eq\f(1,2），故平面ADE与平面CDE夹角的大小为60°.例3解∵cos〈s,n〉＝eq\f（s·n，｜s｜|n｜）＝eq\f（2,1×\r(6）)＝eq\f（\r（6)，3)＞0，∴<s，n〉＜eq\f（π,2)，∴直线l与平面π的夹角θ＝eq\f(π,2)－〈s,n〉,∴sinθ＝sin(eq\f(π，2）－〈s,n>）＝cos〈s,n>＝eq\f(\r(6),3).即直线与平面夹角的正弦值为eq\f（\r(6)，3）。跟踪训练3解由题设条件知,以点A为坐标原点，分别以AD,AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直