2017学年高中数学2-22.1合情推理与演绎推理2.1.2含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1。2［学习目标］1．理解演绎推理的意义．2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．［知识链接］1．演绎推理的结论一定正确吗?答演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以在演绎推理中,只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．2．如何分清大前提、小前提和结论？答在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况,从中取出一个特例,特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形,这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．3．演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论"是演绎推理的一般模式，它包括:(1）大前提-—已知的一般原理；(2）小前提——所研究的特殊情况；(3）结论--根据一般原理,对特殊情况做出的判断．[预习导引]1．演绎推理含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理2。三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P要点一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式．（1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数,所以2100＋1不能被2整除；(3）三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数．解（1）在一个标准大气压下,水的沸点是100在一个标准大气压下把水加热到100水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数,小前提2100＋1不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数,大前提y＝tanα是三角函数，小前提y＝tanα是周期函数．结论规律方法用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪演练1试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热;(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；（4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q（p，q是常数)，数列1，2，3,…,n是等差数列，所以数列1，2，3，…,n的通项具有an＝pn＋q的形式．解（1）大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；小前提：海王星是太阳系里的大行星；结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(2）大前提：所有导体通电时发热；小前提：铁是导体；结论：铁通电时发热．(3）大前提：一次函数都是单调函数；小前提：函数y＝2x－1是一次函数；结论：y＝2x－1是单调函数．（4）大前提:等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q；小前提:数列1,2,3，…,n是等差数列;结论：数列1，2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．要点二演绎推理的应用例2正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点（1）求证：A1B⊥AD；（2)求证：CE∥平面AB1D。证明（1）连接BD。∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a∴A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C∴△A1C1D≌△BCD,∴A1D＝BD，∵G为A1B的中点，∴A1B⊥DG又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D.又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD。（2)连接GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面ABC∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC,∵GE＝DC＝eq\f(1,2)a，∴四边形GECD为平行四边形，∴CE∥GD。又∵CE⊄平面AB1D，DG⊂平面AB1D，∴CE∥平面AB1D.规律方法（1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．（2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．跟踪演练2求证：函数y＝eq\f(2x－1,2x＋1）是奇函数，且在定义域上是增函数．证明y＝eq\f（2x＋1－2，2x＋1）＝1－eq\f（2,2x＋1），所以f（x)的定义域为R.f（－x)＋f(x）＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(2,2－x＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x＋1））)＝2－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2,2x＋1）＋\f(2,2－x＋1）)）＝2－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，2x＋1)＋\f(2·2x,2x＋1)））＝2－eq\f（22x＋1,2x＋1）＝2－2＝0。即f(－x)＝－f(x），所以f（x)是奇函数．任取x1，x2∈R，且x1<x2。则f(x1）－f（x2）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（2,2x1＋1）））－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（2，2x2＋1））)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2x2＋1)－\f(1，2x1＋1)）)＝2·eq\f（2x1－2x2，2x2＋12x1＋1).由于x1<x2，从而2x1〈2x2，2x1－2x2〈0，所以f(x1）〈f（x2），故f(x）为增函数．要点三合情推理、演绎推理的综合应用例3如图所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直,O为点A在底面BCD上的射影．(1）求证:O为△BCD的垂心；(2）类比平面几何的勾股定理,猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系,并给出证明．（1)证明∵AB⊥AD，AC⊥AD,AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC.∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC,∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO,同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心．（2）解猜想：Seq\o\al（2，△ABC)＋Seq\o\al(2，△ACD）＋Seq\o\al(2，△ABD）＝Seq\o\al(2,△BCD）.证明：连接DO并延长交BC于E，连结AE，由(1）知AD⊥平面ABC，AE⊂平面ABC,∴AD⊥AE，又AO⊥ED，∴AE2＝EO·ED,∴eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）BC·AE))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）BC·EO))·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)BC·ED))，即Seq\o\al（2，△ABC）＝S△BOC·S△BCD。同理可证：Seq\o\al(2，△ACD)＝S△COD·S△BCD，Seq\o\al(2，△ABD）＝S△BOD·S△BCD。∴Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al（2,△ACD)＋Seq\o\al（2,△ABD)＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD）＝S△BCD·S△BCD＝Seq\o\al（2,△BCD).规律方法合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法,而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下）．跟踪演练3已知命题：“若数列｛an｝是等比数列，且an〉0，则数列bn＝eq\r(n，a1a2…an)(n∈N＊）也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝eq\f（a1＋a2＋…＋an，n)也是等差数列．证明如下：设等差数列｛an｝的公差为d,则bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n）＝eq\f(na1＋\f（nn－1d，2）,n）＝a1＋eq\f(d,2)（n－1)，所以数列{bn}是以a1为首项，eq\f(d，2）为公差的等差数列．1．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列｛an｝中，a1＝1，an＝eq\f(1，2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f（1,an－1)）)（n≥2）,由此归纳出｛an}的通项公式答案A解析A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．2．“因为对数函数y＝logax是增函数（大前提),又y＝logeq\f（1,3)x是对数函数（小前提),所以y＝logeq\f（1，3）x是增函数(结论）．"下列说法正确的是()A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案A解析y＝logax是增函数错误．故大前提错．3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论,则大前提：________；小前提:________;结论：________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4．“如图，在△ABC中，AC〉BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD"．证明:在△ABC中，因为CD⊥AB,AC〉BC， ①所以AD〉BD， ②于是∠ACD>∠BCD. ③则在上面证明的过程中错误的是________．（只填序号)答案 ③解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”,小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.一、基础达标1．下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤答案D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中;刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．"上述推理用的是（)A．类比推理 B．归纳推理C．演绎推理 D．一次三段论答案C解析这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论,属演绎推理形式．3．正弦函数是奇函数，f(x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f(x）＝sin(x2＋1）是奇函数．以上推理()A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确答案C解析由于函数f(x）＝sin(x2＋1）不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是(）A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案B解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．三段论:“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提"是________（填序号）．答案③解析在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．6．在求函数y＝eq\r（log2x－2）的定义域时，第一步推理中大前提是当eq\r（a）有意义时，a≥0;小前提是eq\r（log2x－2）有意义；结论是________．答案y＝eq\r(log2x－2)的定义域是[4,＋∞)解析由大前提知log2x－2≥0,解得x≥4.7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形（小前提),所以直角三角形内角之和为180°(结论）．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等（大前提)，(∠A＋∠B＋90°）－90°＝180°－90°（小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论）．二、能力提升8．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数（S）是9的倍数（M)，故某奇数(S)是3的倍数(P）．”上述推理是(）A．小前提错 B．结论错C．正确的 D．大前提错答案C解析由三段论推理概念知推理正确．9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β,有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β;③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β;④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确的命题个数是（)A．1 B．2C．3 D．4答案B解析①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中,m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B。10．已知函数f(x)满足：f（1）＝eq\f（1，4），4f（x）f(y）＝f（x＋y)＋f（x－y)(x，y∈R)，则f(2010）＝________。答案eq\f（1，2)解析令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1）＋f(x－1即f(x)＝f（x＋1）＋f（x－1） ①令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x） ②由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x）＋f（x－1），即f(x－1）＝－f(x＋2)，∴f（x)＝－f（x＋3），∴f（x＋3）＝－f(x＋6)，∴f(x）＝f（x＋6)，即f(x)周期为6，∴f（2010)＝f（6×335＋0)＝f（0)对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f（x－y)，令x＝1,y4f(1)f（0）＝2f（1∴f(0）＝eq\f(1,2)，即f（2010)＝eq\f(1,2)。11．用演绎推理证明函数f（x)＝｜sinx|是周期函数．证明大前提：若函数y＝f(x）对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T）＝f（x）(T为非零常数),则它为周期函数，T为它的一个周期．小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π）｜＝|sinx|＝f(x)．结论：函数f(x)＝|sinx|是周期函数．12．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。证明如图，作AE⊥SB于E。∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB。AE⊂平面SAB。∴AE⊥平面SBC，又BC⊂平面SBC。∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC。∵SA∩A