2017-2018版高中数学第四章导数应用章末复习课学案1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE22学必求其心得，业必贵于专精PAGE第四章导数应用学习目标1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值。2.会用导数解决一些简单的实际应用问题．知识点一函数的单调性、极值与导数1．函数的单调性与导数在某个区间(a，b）内，如果__________，那么函数y＝f（x）在这个区间内是增加的；如果__________,那么函数y＝f（x)在这个区间内是减少的．2．函数的极值与导数（1)极大值:在点x＝a附近，满足f(a）≥f(x)，当x〈a时，__________，当x>a时，__________,则点a叫作函数的极大值点，f(a）叫作函数的极大值;（2）极小值：在点x＝a附近，满足f（a)≤f(x），当x〈a时,__________，当x〉a时,__________，则点a叫作函数的极小值点，f(a）叫作函数的极小值．知识点二求函数y＝f（x）在［a，b］上的最大值与最小值的步骤1．求函数y＝f（x）在(a，b)内的________．2．将函数y＝f（x)的各极值与__________________________________________________比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．类型一导数中的数形结合思想例1已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示（其中f′（x）是函数f(x）的导函数），则y＝f(x）的图像大致是(）反思与感悟研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时,注意抓住各自的关键要素．对于原函数,要重点考查其图像在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．跟踪训练1函数f(x）＝lnx－eq\f（1,2)x2的大致图像是（)类型二构造函数求解命题角度1比较函数值的大小例2已知定义域为R的奇函数y＝f(x）的导函数为y＝f′（x)，当x≠0时，f′(x）＋eq\f(fx，x）<0，若a＝eq\f(1，2)f（eq\f(1,2)）,b＝－eq\r（2）f（－eq\r（2）），c＝（lneq\f（1，2））f（lneq\f（1，2)），则a，b,c的大小关系正确的是()A．a〈c<bB．b<c〈aC．a〈b〈cD．c<a<b反思与感悟本例中根据条件构造函数g(x）＝xf（x），通过g′（x)确定g（x）的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．跟踪训练2设f（x)、g（x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g（x)－f（x)g′(x）<0，则当a<x〈b时有（)A．f（x)g（x)>f(b）g(b)B．f(x)g(a）〉f(a）g(x)C．f（x）g（b）〉f（b)g（x）D．f（x）g（x）〉f（a)g（a)命题角度2求解不等式例3定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′（x），满足f（x）〈f′（x），且f（0)＝2,则不等式f（x)〉2ex的解集为(）A．(－∞，0） B．(－∞，2）C．（0，＋∞） D．（2，＋∞）反思与感悟根据所求结论与已知条件，构造函数g(x)＝eq\f(fx，ex)，通过导函数判断g(x）的单调性,利用单调性得到x的取值范围．跟踪训练3函数f(x）的定义域为R,f(－1)＝2，对任意x∈R,f′(x)>2,则f（x）>2x＋4的解集为（)A．(－1，1） B．(－1，＋∞)C．（－∞，－1) D．（－∞，＋∞)类型三利用导数研究函数的极值与最值例4已知函数f(x）＝x3＋ax2＋b的图像上一点P（1，0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f（x)的解析式；(2)求函数f（x）在区间［0，t］（0<t〈3）上的最大值和最小值；（3）在（1）的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间［1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．反思与感悟(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点．（2）求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练4已知函数f(x）＝ax3＋（a－1)x2＋48（a－2)x＋b的图像关于原点成中心对称．(1)求a，b的值；(2）求f(x)的单调区间及极值；（3）当x∈［1，5］时，求函数的最值．类型四导数的综合应用例5已知函数f（x）＝x3－ax－1.(1）若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；（2)是否存在实数a，使f(x)在(－1，1）上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．反思与感悟在已知函数f(x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′(x）≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）,然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不能恒等于0，则由f′（x)≥0（或f′(x)≤0）恒成立解出的参数的取值范围来确定．跟踪训练5(1)若函数f（x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(1,2),\f(1，2）)），则实数a的值是多少？(2)若函数f（x）＝4x3－ax＋3在eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(1,2),\f(1,2)））上是单调函数,则实数a的取值范围为多少?1．已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx的图像如图所示,则xeq\o\al（2,1)＋xeq\o\al(2，2)等于（)A。eq\f(4,3) B。eq\f(7，3)C.eq\f(8,3) D.eq\f（16，3)2．已知f（x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′（x)＋f(x)≤0,对任意的正数a，b，若a〈b，则必有（)A．bf(b）≤af（a） B．bf（a)≤af(b）C．af（a）≤bf(b) D．af(b）≤bf(a）3．设f′(x）是函数f(x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′(x）的图像画在同一个直角坐标系中，则不可能正确的是(）4．已知函数f(x）＝eq\f(ax＋1，x＋2)在（－2，＋∞)内是减少的，则实数a的取值范围为________．5．已知函数f（x）＝2lnx＋eq\f(a，x2)(a〉0)，若当x∈（0，＋∞)时，f(x）≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此,利用导数研究得到函数的性质后,还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．

答案精析知识梳理知识点一1．f′(x）>0f′（x）<02．(1）f′（x)〉0f′（x）<0（2）f′(x)<0f′(x）>0知识点二1．极值2．端点处函数值f(a），f(b）题型探究例1C［当0〈x<1时，xf′(x)〈0，∴f′（x)<0,故y＝f(x)在(0，1)上为减函数，排除A、B选项．当1<x<2时，xf′(x）〉0，∴f′(x）〉0，故y＝f(x)在(1，2）上为增函数，因此排除D。]跟踪训练1B[函数f（x）＝lnx－eq\f（1,2）x2的定义域为（0，＋∞),f′（x）＝eq\f（1，x）－x＝eq\f(1－x2，x)＝eq\f(1＋x1－x，x).令f′(x）〉0，得eq\f（1＋x1－x，x)>0.又因为x〉0，所以（1＋x)(1－x)>0，所以0<x<1。同理,令f′（x)〈0，解得x>1.于是当0<x〈1时，函数f(x）是增函数;当x〉1时，函数f（x)是减函数;当x＝1时，f（x)＝－eq\f(1,2）〈0.结合以上特征可知应选B。］例2B［令g（x）＝xf(x），则g（－x）＝(－x）f(－x）＝xf(x)，∴g(x）是偶函数．g′(x)＝f(x）＋xf′(x），∵f′(x）＋eq\f（fx，x)〈0，∴当x〉0时,xf′(x)＋f（x)〈0，当x〈0时，xf′(x）＋f(x)〉0.∴g（x)在(0，＋∞）上是减函数．∵eq\f（1，2）<ln2〈1<eq\r(2），∴g(eq\r(2))〈g(ln2）<g(eq\f(1，2））．∵g(x）是偶函数，∴g(－eq\r(2）)＝g（eq\r（2）)，g(lneq\f（1，2））＝g(ln2），∴g(－eq\r(2)）〈g(lneq\f(1,2)）〈g（eq\f(1，2))．故选B。］跟踪训练2C[由条件，得[eq\f(fx，gx）]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x，［gx］2)<0，∴eq\f（fx，gx)在（a，b）上是减函数．∴eq\f（fb，gb)<eq\f(fx,gx)<eq\f（fa，ga），∴f(x)g(b)〉f(b）g(x）．］例3C［设g(x）＝eq\f(fx，ex)，则g′（x)＝eq\f(f′x－fx,ex)。∵f(x）<f′（x)，∴g′(x)>0，即函数g（x）单调递增．∵f（0)＝2,∴g(0)＝f(0）＝2,则不等式等价于g（x）〉g(0）．∵函数g(x）单调递增，∴x>0，即不等式的解集为（0，＋∞)，故选C.]跟踪训练3B[令g（x)＝f(x）－2x－4,∵f′（x)〉2,则g′(x）＝f′（x)－2>0.又由g（－1）＝f(－1)－2×(－1）－4＝0,得g（x)〉0，即g(x)>g(－1)的解为x>－1，∴f(x)〉2x＋4的解集为（－1,＋∞)．]例4解（1)因为f′(x）＝3x2＋2ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为f′(1）＝3＋2a,即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过（1，0)点，即－2＋b＝0，b＝2。所以a＝－3，b＝2，f（x)＝x3－3x2＋2.（2）由f（x）＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′（x）＝0,得x＝0或x＝2.①当0〈t≤2时,在区间(0,t)上，f′(x）<0，f（x)在[0，t］上是减函数，所以f(x)max＝f(0）＝2，f（x)min＝f(t）＝t3－3t2＋2。②当2<t〈3时，当x变化时，f′(x)、f(x）的变化情况如下表:x0（0，2)2（2，t）tf′(x)0－0＋＋f（x）2－2t3－3t2＋2f（x）min＝f(2)＝－2，f（x）max为f(0)与f（t）中较大的一个．因为f(t）－f(0）＝t3－3t2＝t2(t－3）<0,所以f(x)max＝f(0）＝2.（3)令g（x）＝f（x）－c＝x3－3x2＋2－c，则g′（x)＝3x2－6x＝3x（x－2)．当x∈［1,2）时，g′(x）〈0;当x∈（2,3]时,g′(x）〉0。要使g(x)＝0在[1,3］上恰有两个相异的实根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1≥0，，g2〈0，,g3≥0，）)解得－2〈c≤0。即实数c的取值范围为（－2,0］．跟踪训练4解（1）∵函数f（x)的图像关于原点成中心对称，则f（x)是奇函数，∴f（－x)＝－f（x）,即－ax3＋(a－1)x2－48(a－2）x＋b＝－ax3－（a－1)x2－48(a－2)x－b，于是2(a－1）x2＋2b＝0恒成立,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a－1＝0，，b＝0，)）解得a＝1，b＝0.（2）由（1）得f(x）＝x3－48x，∴f′（x）＝3x2－48＝3（x＋4）（x－4），令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4。令f′（x）〈0，得－4〈x〈4;令f′（x）〉0，得x<－4或x〉4。∴f(x）的递减区间为（－4,4),递增区间为（－∞，－4）和(4,＋∞)．∴f（x)极大值＝f（－4)＝128,f（x）极小值＝f(4）＝－128。（3）由（2)知，函数在[1，4］上是减少的，在［4，5]上是增加的，f(4)＝－128，f(1）＝－47，f（5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128.例5解(1)f′(x）＝3x2－a，因为f（x）在R上是增函数，所以f′（x）≥0在R上恒成立，即3x2－a≥0在R上恒成立．即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0。当a＝0时，f（x）＝x3－1在R上单调递增,符合题意．所以a的取值范围是（－∞，0］．（2)假设存在实数a，使f(x)在（－1，1）上是减少的，则f′（x）≤0在（－1,1）上恒成立．即3x2－a≤0在(－1,1）上恒成立，即a≥3x2，又因为在（－1,1）上,0〈3x2<3，所以a≥3.当a＝3时，f′（x)＝3x2－3,在（－1,1）上,f′(x）<0，所以f（x）在（－1，1)上是减少的，即a＝3符合题意，所以存在实数a,使f（x)在(－1，1)上是减少的，且a的取值范围是[3,＋∞）．跟踪训练5解(1）f′（x）＝12x2－a，∵f（x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2），\f（1,2））），∴x＝±eq\f(1,2）为f′(x）＝0的两个根，∴a＝3.(2)若f（x)在eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2），\f（1,2）））上为单调增函数，则f′（x)≥0在eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2），\f(1，2）))上恒成立，即12x