2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质（二）学案1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE20学必求其心得，业必贵于专精PAGE2.2抛物线的简单性质(二）学习目标1.掌握抛物线的几何特性。2。学会解决直线与抛物线相关的综合问题．知识点直线与抛物线的位置关系思考1直线与抛物线有哪几种位置关系？思考2若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？梳理直线与抛物线的位置关系与公共点个数．位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p〉0）的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p）x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点;当Δ＝0时，直线与抛物线有________个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴____________,此时直线与抛物线有________个公共点．类型一直线与抛物线的位置关系例1已知直线l：y＝k(x＋1）与抛物线C：y2＝4x,问：k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？反思与感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练1设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是()A．[－eq\f（1,2），eq\f（1，2）] B．[－2,2]C．[－1,1］ D．［－4，4]类型二弦长与中点弦问题例2已知抛物线y2＝6x，过点P（4，1）引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.反思与感悟中点弦问题解题策略两方法跟踪训练2已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：eq\f（y2,a2）＋eq\f（x2,b2)＝1(a〉b〉0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2eq\r(6),过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点,且eq\o（AC,\s\up6(→）)与eq\o（BD，\s\up6(→））同向．(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝｜BD|,求直线l的斜率．类型三抛物线中的定点（定值）问题例3在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1）如果直线l过抛物线的焦点，求eq\o（OA，\s\up6(→)）·eq\o(OB，\s\up6（→)）的值；(2）如果eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o(OB，\s\up6（→）)＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．反思与感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这类问题的关键是代换和转化．跟踪训练3如图，过抛物线y2＝x上一点A（4，2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证:直线BC的斜率是定值．1．过点P（0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有（）A．4条 B．3条C．2条 D．1条2．若抛物线y2＝2x上有两点A,B，且AB垂直于x轴，若｜AB|＝2eq\r（2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A.eq\f(1，2） B.eq\f（1，4）C.eq\f（1,6） D。eq\f（1,8）3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且｜AK｜＝eq\r（2)|AF|，则△AFK的面积为（)A．4 B．8C．16 D．324．设O为坐标原点,F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上任意一点，若eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o（AF，\s\up6（→）)＝－4，则点A的坐标为________．5．已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1，0），线段AB恰被M（2,1)所平分．（1)求抛物线E的方程；（2)求直线AB的方程;（3）求弦AB的长．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法:直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决;抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略,对题目进行转化．

答案精析问题导学知识点思考1三种：相离、相切、相交．思考2不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．梳理两一没有平行或重合一题型探究例1解由方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,，y2＝4x,））消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝（2k2－4)2－4k4＝16（1－k2)．(1)若直线与抛物线有两个交点，则k2≠0且Δ〉0，即k2≠0且16（1－k2)>0，解得k∈(－1,0）∪(0，1)．所以当k∈(－1，0)∪(0，1）时,直线l和抛物线C有两个交点．（2)若直线与抛物线有一个交点，则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0,解得k＝0或k＝±1。所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．（3）若直线与抛物线无交点，则k2≠0且Δ<0。解得k>1或k<－1.所以当k〉1或k<－1时，直线l和抛物线C无交点．跟踪训练1C[准线方程为x＝－2，Q(－2,0)．设l：y＝k(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，，y2＝8x,)）得k2x2＋4（k2－2）x＋4k2＝0.当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0）；当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k〈0或0〈k≤1，综上，k的取值范围是［－1，1］．]例2解方法一由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y－1＝k（x－4)．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y2＝6x，,y＝kx－4k＋1，)）得ky2－6y－24k＋6＝0.当k≠0时,Δ＝62－4k（－24k＋6）>0.①设弦的两端点P1(x1,y1）,P2(x2，y2),∴y1＋y2＝eq\f（6,k），y1y2＝eq\f（6－24k，k).∵P1P2的中点为（4，1),∴eq\f（6,k）＝2，∴k＝3，适合①式．∴所求直线方程为y－1＝3（x－4)，即3x－y－11＝0,∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，∴｜P1P2｜＝eq\r(1＋\f（1，k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r（1＋\f（1，9))eq\r（22－4×－22)＝eq\f(2\r（230),3）.方法二设P1（x1，y1)，P2（x2,y2)．则yeq\o\al（2,1）＝6x1,yeq\o\al(2,2）＝6x2,∴yeq\o\al（2,1）－yeq\o\al(2，2)＝6(x1－x2），又y1＋y2＝2,∴eq\f（y1－y2，x1－x2)＝eq\f(6,y1＋y2）＝3，∴所求直线的斜率k＝3，故所求直线方程为y－1＝3（x－4）,即3x－y－11＝0。由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝3x－11，,y2＝6x，）)得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，∴｜P1P2|＝eq\r(1＋\f（1，k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(1＋\f（1,9）)·eq\r(22－4×－22）＝eq\f（2\r(230），3）.跟踪训练2解(1)由C1方程可知F(0,1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2－b2＝1,又∵C1与C2的公共弦的长为2eq\r(6)，C1与C2的图像都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±eq\r（6），eq\f（3,2)）,∴eq\f(9,4a2）＋eq\f(6，b2)＝1，又∵a2－b2＝1，∴a2＝9，b2＝8，∴C2的方程为eq\f(y2,9)＋eq\f（x2，8）＝1;(2)如图,设A（x1，y1)，B(x2，y2)，C（x3，y3)，D(x4，y4），∵eq\o(AC，\s\up6(→）)与eq\o(BD,\s\up6（→））同向，且|AC｜＝|BD｜,∴eq\o（AC，\s\up6（→))＝eq\o（BD，\s\up6（→）），∴x1－x2＝x3－x4,∴（x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4，设直线l的斜率为k，则l的方程：y＝kx＋1，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx＋1,，x2＝4y，））可得x2－4kx－4＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝kx＋1，,\f（y2,9)＋\f(x2，8）＝1,））得（9＋8k2）x2＋16kx－64＝0，由根与系数的关系可得x3＋x4＝－eq\f(16k,9＋8k2），x3x4＝－eq\f（64，9＋8k2），又∵（x1＋x2）2－4x1x2＝(x3＋x4）2－4x3x4,∴16（k2＋1)＝eq\f(162k2，9＋8k22)＋eq\f（4×64,9＋8k2），化简得16(k2＋1)＝eq\f（162×9k2＋1，9＋8k22)，∴（9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±eq\f（\r（6),4),即直线l的斜率为±eq\f（\r(6),4)。例3解(1)由题意知，抛物线的焦点为（1,0）,设l：x＝ty＋1,代入抛物线方程y2＝4x，消去x,得y2－4ty－4＝0.设A（x1，y1）,B(x2,y2)，则y1＋y2＝4t,y1y2＝－4。所以eq\o(OA，\s\up6（→))·eq\o（OB,\s\up6(→)）＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1）(ty2＋1）＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2）＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2）设l：x＝ty＋b,代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0。设A(x1，y1），B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t,y1y2＝－4b.因为eq\o(OA,\s\up6（→))·eq\o(OB,\s\up6(→）)＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b）（ty2＋b）＋y1y2＝t2y1y2＋bt（y1＋y2）＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，又eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o(OB，\s\up6（→))＝－4，∴b2－4b＝－4,解得b＝2，故直线过定点(2，0）．跟踪训练3证明方法一设kAB＝k（k≠0）．∵直线AB，AC的倾斜角互补,∴kAC＝－k(k≠0），即直线AB的方程是y＝k(x－4）＋2。由方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx－4＋2，，y2＝x，）)消去y后，整理得k2x2＋（－8k2＋4k－1）x＋16k2－16k＋4＝0.∵A（4，2），B(xB，yB）是上述方程组的解，∴4xB＝eq\f（16k2－16k＋4,k2），即xB＝eq\f(4k2－4k＋1,k2)。以－k代换xB中的k,得xC＝eq\f(4k2＋4k＋1,k2)。∴kBC＝eq\f(yB－yC,xB－xC）＝eq\f(kxB－4＋2－[－kxC－4＋2］，xB－xC)＝eq\f(kxB＋xC－8,xB－xC)＝eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（8k2＋2，k2)－8))，\f（－8k,k2)）＝－eq\f(1,4）.∴直线BC的斜率为定值．方法二设B(yeq\o\al(2，1），y1），C(yeq\o\al（2,2），y2)，则kBC＝eq\f(y2－y1,y\o\al（2，2）－y\o\al(2，1)）＝eq\f(1,y2＋y1）。∵kAB＝eq\f(y1－2,y\o\al(2,1）－4）＝eq\f（1，y1＋2)，kAC＝eq\f(y2－2，y\o\al(2，2)－4)＝eq\f（1，y2＋2),由题意得kAB＝－kAC，∴eq\f(1，y1＋2)＝－eq\f(1，y2＋2),则y1＋y2＝－4，则kBC＝－eq\f（1,4）,为定值．当堂训练1．B2.A3。B4。(1,±2)5．解（1)由于抛物线的焦点为（1,0）,所以eq\f（p，2）＝1,p＝2，所以所求抛物线的方程为y2＝4x。（2）设A(x1,y1)，B（x2，y2），则yeq\o\al(2，1）＝4x1，①yeq\o\al(2,2）＝4x2，②且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2。由②－①得，（y1＋y2)(y2－y1）＝4（x2－x1)，所以eq\f(y2－y1,x2－x1)