2017-2018版高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理（一）学案1-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10学必求其心得，业必贵于专精PAGE2.1。1合情推理（一)明目标、知重点1。了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理。2。了解归纳推理在数学发展中的作用.1.推理根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式就是推理。推理一般由两部分组成：前提和结论.2。合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.3。归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳）.4。归纳推理具有如下的特点（1)归纳推理是从特殊到一般的推理；（2)由归纳推理得到的结论不一定正确；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理.[情境导学］佛教《百喻经》中有这样一则故事.从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买。”仆人拿好钱就去了.到了果园，园主说:“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看."仆人说:“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠."仆人于是自己动手摘芒果,摘一个尝一口，甜的就都买回去。带回家去,富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做?学习了下面的知识，你将清楚是何道理.探究点一归纳推理的定义思考1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布,燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了;张三今天没来上课，我们会推断-—张三生病了；谚语说：“八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯"等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理.思考2观察下面两个推理,回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：6＝3＋38＝3＋510＝5＋512＝5＋714＝7＋716＝5＋11……1000＝29＋9711002＝139＋863……猜想：任何一个不小于6的偶数都可写成两个奇质数之和.(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.问题：①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？②其结论一定正确吗？答①共同特点：部分推出整体,个别推出一般。（这种推理称为归纳推理)②其结论不一定正确.探究点二归纳推理的应用例1已知数列{an｝的第1项a1＝1，且an＋1＝eq\f（an，1＋an）（n＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式.解当n＝1时，a1＝1；当n＝2时,a2＝eq\f（1，1＋1）＝eq\f(1,2)；当n＝3时，a3＝eq\f(\f(1，2)，1＋\f(1，2)）＝eq\f（1，3)；当n＝4时，a4＝eq\f(\f（1，3），1＋\f(1，3））＝eq\f（1，4）。通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝eq\f(1，n).反思与感悟归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)。归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式。跟踪训练1已知数列｛an｝满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3,…）(1)求a2，a3，a4，a5；（2)归纳猜想通项公式an.解（1）当n＝1时，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1得a2＝3,a3＝7，a4＝15,a5＝31.(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1,a5＝31＝25－1,可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N＋）.例2在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3，4,…堆最底层（第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）＝______；f（n)＝______(答案用含n的代数式表示)。答案10eq\f(nn＋1n＋2，6)解析观察图形可知：f(1）＝1，f(2）＝4，f（3)＝10，f（4）＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)＝f（1)＋3;f(3）＝f（2)＋6；f（4）＝f(3）＋10；…；f（n)＝f(n－1)＋eq\f(nn＋1，2）。将以上(n－1）个式子相加可得f(n)＝f（1)＋3＋6＋10＋…＋eq\f(nn＋1，2）＝eq\f(1,2)[(12＋22＋…＋n2)＋（1＋2＋3＋…＋n）]＝eq\f(1，2)［eq\f(1，6)n(n＋1)（2n＋1）＋eq\f(nn＋1,2）]＝eq\f（nn＋1n＋2，6）。反思与感悟解本例的关键在于寻找递推关系式：f（n）＝f（n－1）＋eq\f（nn＋1,2），然后用“叠加法”求通项,而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前n项和的变化规律。跟踪训练2在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…由此猜想凸n（n≥4且n∈N＋)边形有几条对角线？解凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条,……于是猜想凸n边形比凸(n－1）边形多（n－2)条对角线。因此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f（1，2）n（n－3）(n≥4且n∈N＋)。1.已知eq\r（2＋\f（2,3））＝2eq\r（\f（2,3）),eq\r(3＋\f(3，8))＝3eq\r(\f(3,8)），eq\r（4＋\f（4,15））＝4eq\r(\f(4，15)），…,若eq\r（6＋\f（a，b)）＝6eq\r(\f（a,b)）(a、b均为实数）。请推测a＝______，b＝________.答案635解析由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1,由此推测eq\r（6＋\f(a，b）)中，a＝6，b＝62－1＝35。2。将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为________.答案eq\f(n2－n＋6，2)解析前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即eq\f（n2－n，2）个，因此第n行第3个数是全体正整数中第eq\f(n2－n,2）＋3个，即为eq\f(n2－n＋6，2).[呈重点、现规律]归纳推理的一般步骤（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；（2）从已知的