湖北省武汉市2024届数学高二下期末综合测试模拟试题含解析

湖北省武汉市2024届数学高二下期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用反证法证明命题“若，则方程至少有一个实根”时，应假设（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根2．为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，则估计该次数学成绩的中位数是（）A．71.5 B．71.8 C．72 D．753．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是偶数”，则（）A． B． C． D．4．已知，，则A． B． C． D．5．若随机变量满足，且，，则（）A． B． C． D．6．已知向量满足，点在线段上，且的最小值为，则的最小值为（）A． B． C． D．27．已知随机变量的分布列为（）01若，则的值为（）A． B． C． D．8．把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（）A． B． C． D．9．若，且，则“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知高为3的正三棱柱ABC-A1B1C1的每个顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，则此正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为()A． B． C． D．1811．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种 B．18种 C．24种 D．48种12．已知数列的前n项和为，满足，，若，则m的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数（为虚数单位），则______.14．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为_____．（写出一个方向向量的坐标）15．以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是_______.16．已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.18．（12分）已知是函数的一个极值点．（1）求的值；（2）求函数在上的最大值和最小值．19．（12分）（1）已知，是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以为其中一根的实系数一元二次方程；（2）求纯虛数的平方根．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为8，求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）＝|f（x）|+f（x）﹣16有4个零点，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：直接利用命题的否定写出假设即可,至少的反面是一个都没有。详解：用反证法证明命题“若，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是方程没有实根．故选：A．点晴：本题主要考察反证法，注意反证法证明问题时，反设实际是命题的否定2、C【解题分析】的频率为：；的频率为：；的频率为：；的频率为：；的频率为：；的频率为：.所以，得：.的频率和为：.由，得中位数为：.故选C.点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.3、B【解题分析】分析：事件A发生后，只剩下8个数字，其中只有3个偶数字，由古典概型概率公式可得．详解：在事件A发生后，只有8个数字，其中只有3个偶数字，∴．故选B．点睛：本题考查条件概率，由于是不放回取数，因此事件A的发生对B的概率有影响，可考虑事件A发生后基本事件的个数与事件B发生时事件的个数，从而计算概率．4、A【解题分析】，故选A.5、A【解题分析】

根据二项分布的数学期望和方差求解.【题目详解】由题意得：解得：，故选A.【题目点拨】本题考查二项分布的数学期望和方差求解，属于基础题.6、D【解题分析】

依据题目条件，首先可以判断出点的位置，然后，根据向量模的计算公式，求出的代数式，由函数知识即可求出最值．【题目详解】由于，说明点在的垂直平分线上，当是的中点时，取最小值，最小值为，此时与的夹角为，与的夹角为，∴与的夹角为，的最小值是4，即的最小值是2.故选D.【题目点拨】本题主要考查了平面向量有关知识，重点是利用数量积求向量的模．7、A【解题分析】

先由题计算出期望，进而由计算得答案。【题目详解】由题可知随机变量的期望，所以方差，解得，故选A【题目点拨】本题考查随机变量的期望与方差，属于一般题。8、B【解题分析】

把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率，与组里每个人被选中的概率相等．【题目详解】由题意知，把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9个人中选一个正组长，∴甲被选定为正组长的概率是．故选B．【题目点拨】本题考查了等可能事件的概率应用问题，是基础题目．9、B【解题分析】

由指数函数的单调性可得；由椭圆方程可得，再由充分必要条件的定义，即可得到所求结论．【题目详解】解：若，则，若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则，即“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：【题目点拨】本题考查指数函数的单调性以及椭圆方程，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题．10、C【解题分析】

根据体积算出球O的半径r,再由几何关系求出地面三角形的边长，最后求出其体积即可。【题目详解】因为球O的表面积为，所以球O的半径又因高为3所以底面三角形的外接圆半径为，边长为3底面三角形面积为正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为【题目点拨】本题考查正三棱柱的体积公式，考查了组合体问题，属于中档题。11、C【解题分析】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.考点：排列组合.12、C【解题分析】

根据an＝sn﹣sn﹣1可以求出{an}的通项公式，再利用裂项相消法求出sm，最后根据已知，解出m即可．【题目详解】由已知可得，，，，（n≥2），1，即，解之得，或7.5，故选：C．【题目点拨】本题考查前n项和求通项公式以及裂项相消法求和，考查了分式不等式的解法，属于中等难度．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

把复数z=1-2i及它的共轭复数代入，将其化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【题目详解】复数（为虚数单位），则，，故答案为：6−2i.【题目点拨】本题考查复数的基本概念，复数基本运算，属于基础题.14、（，1，﹣2）【解题分析】

设直线l的一个方向向量为，根据，列式可得答案.【题目详解】设直线l的一个方向向量为，依题意可知，所以，令，则，，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了平面的法向量，考查了求直线的方向向量，属于基础题.15、【解题分析】分析：由椭圆的焦点为，顶点为，可得双曲线的焦点与顶点，从而可得双曲线方程.详解：椭圆的焦点为，顶点为，双曲线的顶点与焦点分别为，可得，所以双曲线方程是，故答案为.点睛：本题考查椭圆与双曲线的简单性质应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，解题时要认真注意审题，特别注意考虑双曲线的焦点位置.16、2【解题分析】

由两直线平行，可先求出参数的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果.【题目详解】因为直线，平行，所以，解得，所以即是，由两条平行线间的距离公式可得.故答案为2【题目点拨】本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)详见解析【解题分析】试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率.(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,,,,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:;;;;所以的分布列如下:

则数学期望.考点：分布列数学期望概率18、（1）（2）最大值为，最小值为【解题分析】

（1）求出，因为是函数的极值点，所以得到求出的值；（2）求出的单调区间．研究函数在特定区间上的最值，比较极值点和端点值的大小即判断最值．【题目详解】解：（1）∵，∴．∵是函数的一个极值点，∴．∴．∴（检验符合）．（2）由（1），知．∴．∴．令，得，解之，得，．列表如下：∴当时，取得极大值；当时，取得极小值．而，，，且．∴函数在上的最大值为，最小值为．【题目点拨】本题考查利用导数研究函数极值和单调性的能力，考查构造函数比较大小，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19、（1）（2）或【解题分析】

(1)先求出的值，再写出一个以为其中一根的实系数一元二次方程；(2)设，求出即得解.【题目详解】(1)所以，所以.所以.一个以为其中一根的实系数一元二次方程是.(2)设，所以所以，所以或.故纯虛数的平方根为或.【题目点拨】本题主要考查纯虚数的概念和复数的运算，考查复数的平方根的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、（1），82；（2）见解析【解题分析】

（1）由频率分布直方图面积和为1，可求得．取每个矩形的中点与概率乘积和求得平均数．（2）由二项分布求得分布列与数学期望．【题目详解】1由题意：，估计这200名选手的成绩平均数为．2由题意知，XB(3,1/3)，X可能取值为0，1，2，3，，所以X的分布列为

：

X的数学期望为

．【题目点拨】本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，意在考查离散型随机变量的分布列期望和独立性检验等基础知识的掌握能力，考查学生基本的运算推理能力.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范围，判断，为正，去掉绝对值，转化为在时恒成立,得到，，在恒成立，从而得到的取值范围.【题目详解】（1）当时，，由，得，即，或，即，或，即，综上：或，所以不等式的解集为.（2），，因为，，所以，又，，，得.不等式恒成立，即在时恒成立，不等式恒成立必须，，解得.所以，解得，结合，所以，即的取值范围为.【题目点拨】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.22、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解题分析】

（Ⅰ）利用换元法，结合二次函数进行分类讨论求解；（Ⅱ）先求的零点，结合二次方程根的分布情况可得实数a的取值范围．【题目详解】（Ⅰ）函数，令，易知t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），则h（t