2024届湖北宜昌市示范高中协作体高二数学第二学期期末调研模拟试题含解析

2024届湖北宜昌市示范高中协作体高二数学第二学期期末调研模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的值为（）A． B． C． D．2．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（）A． B． C． D．3．曲线作线性变换后得到的回归方程为，则函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．4．已知命题，则命题的否定为()A． B．C． D．5．已知函数，若方程有三个实数根，且，则的取值范围为（）A． B．C． D．6．设函数，则函数的定义域为（）A． B． C． D．7．函数y＝﹣ln（﹣x）的图象大致为（）A． B．C． D．8．正项等比数列中，，若，则的最小值等于（）A．1 B． C． D．9．设随机变量，且，，则（）A． B．C． D．10．一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里取出一个小球，若已知第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是（）A． B． C． D．11．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的期望为（）A．0.6 B．1 C．3.5 D．212．的展开式中的常数项是（）A．192 B． C．160 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取300辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有_____辆.14．若＝，则x的值为_______．15．一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…、第五志愿的顺序填写志愿表，若专业不能作为第一、第二志愿，则他共有____种不同的填法。(用数字作答)16．已知……根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标系中，弧所在圆的圆心分别为，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出的极坐标方程；（2）直线的参数方程为（为参数），点的直角坐标为，若直线与曲线有两个不同交点，求实数的取值范围，并求出的取值范围.18．（12分）随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF快递收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.某县SF分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：重量（单位：kg）（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]件数43301584对近60天，每天揽件数量统计如下表：件数范围0~100101~200201~300301~400401~500件数50150250350450天数663016以上数据已做近似处理，将频率视为概率.（1）计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？19．（12分）中，三内角所对的边分别为，已知成等差数列．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求角的取值范围．20．（12分）完成下列证明：（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求证：.21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的普通方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求.22．（10分）已知．（1）求函数的单调递增区间与对称轴方程；（2）当时，求的最大值与最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：，故选C.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题.2、B【解题分析】

建立空间直角坐标系，先求得向量的夹角的余弦值，即可得到异面直线所成角的余弦值，得到答案.【题目详解】分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，可得,所以，所以，所以异面直线和所成的角的余弦值为，所以异面直线和所成的角为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、D【解题分析】分析：令，对函数进行二次拟合得出a，b的值，代入计算即可.详解：令，解得，，开口向上，的单调递增区间为.故选D.点睛：本题考查了非线性相关的二次拟合问题，选择对数变换是关键.4、D【解题分析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得结果.详解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选D.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.5、B【解题分析】

先将方程有三个实数根，转化为与的图象交点问题，得到的范围，再用表示，令，利用导数法求的取值范围即可.【题目详解】已知函数，其图象如图所示：因为方程有三个实数根，所以，令，得，令，所以，所以，令，所以，令，得，当时，，当时，，所以当时，取得极小值.又，所以的取值范围是：.即的取值范围为.故选：B【题目点拨】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.6、B【解题分析】

由根式内部的代数式大于等于0求得f（x）的定义域，再由在f（x）的定义域内求解x的范围得答案．【题目详解】由2﹣2x≥0，可得x≤1．由，得x≤2．∴函数f（）的定义域为（﹣∞，2]．故选：B．【题目点拨】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．7、C【解题分析】

分析函数的定义域，利用排除法，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，函数的定义域为，所以可排除A、B、D，故选C．【题目点拨】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理使用函数的性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了判断与识别能力，属于基础题．8、D【解题分析】分析：先求公比，再得m,n关系式，最后根据基本不等式求最值.详解：因为，所以，因为，所以，因此当且仅当时取等号选点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9、A【解题分析】

根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于，的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出的值，再求出的值，得到结果．【题目详解】解：随机变量，，，，①②把①代入②得，，故选：．【题目点拨】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题．10、B【解题分析】分析：设已知第一次取出的是红球为事件，第二次是白球为事件，先求出的概率，然后利用条件概率公式进行计算即可．详解：设已知第一次取出的是红球为事件，第二次是白球为事件．

则由题意知，所以已知第一次取出的是白球，则第二次也取到白球的概率为．

故选：B．点睛：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．11、C【解题分析】

写出分布列，然后利用期望公式求解即可．【题目详解】抛掷骰子所得点数的分布列为123456所以．故选：．【题目点拨】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．12、D【解题分析】分析：利用二项展开式的通项公式令的幂指数为0，求得的值，从而可得的展开式中的常数项．详解：设二项展开式的通项为，

则令得：，

∴展开式中的常数项为故选D．点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、150【解题分析】

先计算出速度在以下的频率，然后再计算出车辆的数量【题目详解】因为速度在以下的频率为，所以速度在以下的汽车有.【题目点拨】本题考查了频率分布直方图的应用求解实际问题，先计算出频率，然后再计算出结果，较为简单14、4或9.【解题分析】分析：先根据组合数性质得，解方程得结果详解：因为＝，所以因此点睛：组合数性质：15、【解题分析】根据题意，分2步进行分析：①、由于A专业不能作为第一、第二志愿，需要在除A之外的6个专业中,任选2个,作为第一、二志愿,有种填法，②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，有种填法，则该学生有30×60=1800种不同的填法；故答案为：1800.点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．16、【解题分析】

试题分析：根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到，分母为，右式为；将规律表示出来可得答案：考点：归纳推理．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；；；，或（2），【解题分析】

（1）设弧上任意一点根据ABCD是边长为2的正方形，AB所在的圆与原点相切，其半径为1，求得，同理求得其他弧所对应的极坐标方程.（2）把直线的参数方程和的极坐标方程都化为直角坐标方程，利用数形结合求解，把直线的参数方程化为直线的标准参数方程，直角坐标方程联立，再利用参数的几何意义求解.【题目详解】（1）如图所示：设弧上任意一点因为ABCD是边长为2的正方形，AB所在的圆与原点相切，其半径为1，所以所以的极坐标方程为；同理可得：的极坐标方程为；的极坐标方程为；的极坐标方程为，或（2）因为直线的参数方程为所以消去t得，过定点，直角坐标方程为如图所示：因为直线与曲线有两个不同交点，所以因为直线的标准参数方程为，代入直角坐标方程得令所以所以所以的取值范围是【题目点拨】本题主要考查极坐标方程的求法和直线与曲线的交点以及直线参数的几何意义的应用，还考查了数形结合思想和运算求解的能力，属于难题.18、（1）28533125（2）①15，②代办点不应将前台工作人员裁员1【解题分析】

（1）由题意得到样本中包裹件数在101~300之间的概率为35，进而得到包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布X（2）①利用平均数的计算公式，求得样本中每件快递收取的费用的平均值，即可得到结论；②根据题意及①，分别计算出不裁员和裁员，代办点平均每日利润的期望值，比较即可得到结论.【题目详解】（1）由题意，可得样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率f=36故可估计概率为35，显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布，即X～故所求概率为1-P（（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：kg）12345快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为10×43+15×30+20×15+25×8+30×4100故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为15元.②代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：根据题意及（2）①，搅件数每增加1，代办点快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下：包裹件数范围0~100101~200201~300301~400401~500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.1EY50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故代办点平均每日利润的期望值为260×15×13若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如下：包裹件数范围0~100101~200201~300301~400401~500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250300300频率0.10.10.50.20.1EY50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235则代办点平均每日利润的期望值为235×15×1故代办点不应将前台工作人员裁员1人.【题目点拨】本题主要考查了二项分布的应用，以及期望的求解及应用，其中解答中正确理解题意，熟记利用二项分布的概率计算方法，以及准确计算代办点平均每日利润的期望是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.19、(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)【解题分析】

(Ⅰ)由成等差数列，可得，结合基本不等式和正弦定理可以证明出；(Ⅱ)运用余弦定理可以求出的表达式，利用重要不等式和(Ⅰ)中的结论，可以求出，结合余弦函数的图象和角是三角形的内角，最后可求出角的取值范围．【题目详解】解:(Ⅰ)成等差数列，，，即，当且仅当时取等号由正弦定理得(Ⅱ)由余弦定理，当且仅当时取等号由(Ⅰ)得，，，故角的取值范围是【题目点拨】本题考查了等差中项的概念，考查了正弦定理、