江苏省百校大联考2024届数学高二下期末监测试题含解析

江苏省百校大联考2024届数学高二下期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数导数是()A． B． C． D．2．已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（）A． B．C． D．3．如图，已知函数，则它在区间上的图象大致为（）A． B． C． D．4．已知，则（）A． B． C． D．或5．下列命题是真命题的是（）A．，B．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件C．“”是“”的充分不必要条件D．的充要条件是6．已知函数，当时，取得最小值，则等于（）A．-3 B．2 C．3 D．87．某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（）A．80种 B．90种 C．120种 D．150种8．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项9．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4×100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（）A． B．或 C． D．或11．双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（）A． B． C． D．12．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为和，则该二面角的大小为________（结果用反三角函数表示）．14．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．15．己知，集合中有且仅有三个整数，则实数的取值范围为________.16．甲、乙两位射击爱好者在某次射击比赛中各射靶5次，命中的环数分别为：甲：7,8,7,4,9；乙：9,5,7,8,6,则射击更稳定的爱好者成绩的方差为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵中，.（1）求证：四棱锥为阳马；并判断四面体是否为鳖臑，若是，请写出各个面的直角（要求写出结论）.（2）若，当阳马体积最大时，求二面角的余弦值.18．（12分）已知，R，矩阵的两个特征向量，．（1）求矩阵的逆矩阵；（2）若，求．19．（12分）在中，角所对的边分别为．已知．（1）若，，求的面积；（2）求的取值范围．20．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，且，证明：.21．（12分）已知在中，，，.（1）求边的长；（2）设为边上一点，且的面积为，求.22．（10分）已知，，求及的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据导数的基本公式和运算法则求导即可．【题目详解】，故选：A．【题目点拨】本题考查了导数的基本公式和运算法则，属于基础题．2、A【解题分析】

首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除，再根据，可排除，从而得到结果.【题目详解】由题意得：为奇函数，图象关于原点对称可排除又当时，，可排除本题正确选项：【题目点拨】此题考查函数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．3、D【解题分析】

首先根据函数的奇偶性排除A，根据排除B，再根据时，，故排除C，即可得到答案.【题目详解】因为的定义域为，，所以为奇函数，故排除A.，故排除B.当时，，故排除C.故选：D【题目点拨】本题主要考查根据函数图象选取解析式，熟练掌握函数的奇偶性和利用函数的特值检验为解题的关键，属于中档题.4、B【解题分析】分析：根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出cos（α）的值，再根据sinα=sin[（α）+]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．详解：∵，，∴∈（，π），∴cos（）=﹣，或（舍）∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin=-=，故选B．点睛：本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，解题关键根据角的取值范围对cos（）的值进行取舍，属于中档题．5、B【解题分析】

取特殊值来判断A选项中命题的正误，取特殊数列来判断B选项中命题的正误，求出不等式，利用集合包含关系来判断C选项命题的正误，取特殊向量来说明D选项中命题的正误．【题目详解】对于A选项，当时，，所以，A选项中的命题错误；对于B选项，若，则等比数列的公比为，但数列是递减数列，若，等比数列是递增数列，公比为，所以，“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，B选项中的命题正确；对于C选项，解不等式，得或，由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，C选项中的命题错误；对于D选项，当时，，但与不一定垂直，所以，D选项中的命题错误．故选B.6、C【解题分析】

配凑成可用基本不等式的形式。计算出最值与取最值时的x值。【题目详解】当且仅当即时取等号，即【题目点拨】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。7、D【解题分析】

不同的分配方案有(C8、C【解题分析】解：n=k时，左边="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k时，左边="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故选C9、C【解题分析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【题目详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．故跑第三棒的是丙．故选：C．【题目点拨】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．10、B【解题分析】试题分析：设，或，点的坐标为或考点：导数的几何意义11、B【解题分析】

根据渐近线得到，得到离心率.【题目详解】双曲线的渐近线方程为，则，，.故选：.【题目点拨】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.12、B【解题分析】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设锐二面角的大小为，利用空间向量法求出的值，从而可求出的值.【题目详解】设锐二面角的大小为，则，，故答案为.【题目点拨】本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.14、【解题分析】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的2倍，所以，则，所以，解得，故，所以椭圆的标准方程为15、【解题分析】

首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为，，三种情况讨论，求的取值范围.【题目详解】，，所以集合里的元素一定有1，集合有3个元素，当集合是时，有，集合是空集；当集合是时，有，解得：；当集合是时，有，集合是空集；综上：的取值范围是故答案为：【题目点拨】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.16、2【解题分析】

分别计算出甲，乙的方差，较小的更加稳定，故为答案.【题目详解】根据题意，，，同理，，故更稳定的为乙，方差为2.【题目点拨】本题主要考查统计量方差的计算，难度不大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；是，，，，；（2）.【解题分析】

（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，推导出，，从而BC⊥平面，由此能证明四棱锥为阳马，四面体是否为鳖臑;（2）阳马B﹣A1ACC1的体积：阳马的体积：，当且仅当时，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当阳马体积最大时，二面角的余弦值．【题目详解】证明：（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，底面，平面，，又，，平面，面，四棱锥为阳马，四面体为鳖臑，四个面的直角分别是，，，.（2），由（1）知阳马的体积：，当且仅当时，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设当阳马体积最大时，二面角的平面角为，则，当阳马体积最大时，二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查棱锥的结构特征的运用，直线与平面垂直的性质，线面垂直的判定，二面角的向量求法，关键在于熟练掌握空间的线面、面面关系，二面角的向量求解方法，属于中档题.18、（1）（2）【解题分析】

（1）由矩阵的特征向量求法，解方程可得，再由矩阵的逆矩阵可得所求；（2）求得，再由矩阵的多次变换，可得所求.【题目详解】解：（1）设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，则，则．（2）因，所以．【题目点拨】本题考查矩阵的特征值和特征向量，考查矩阵的逆矩阵，以及矩阵的变换，考查运算求解能力，属于中档题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）根据正弦定理和利用，得到，最后求面积；（2）由已知可得，所以，转化为三角函数恒等变形，得到，根据角的范围求函数的取值范围.【题目详解】解：（1）在中，∵，∴，∵，，由正弦定理得：，∴，∴，，∴．（2）.∵，∴.∴，则.【题目点拨】本题考查了利用正余弦定理解三角形，和三角恒等变换求函数的最值，第一问也可利用余弦定理求边，利用求面积.20、(1)见解析.(2)证明见解析.【解题分析】分析：(1)先求导数，再根据二次方程=0根得情况分类讨论：当时，.∴在上单调递减.当时，根据两根大小再分类讨论对应单调区间，(2)先化简不等式消m得，再利用导数研究，单调性，得其最小值大于-1，即证得结果.详解：（1）由，得，.设，.当时，即时，，.∴在上单调递减.当时，即时，令，得，，.当时，，在上，，在上，，∴在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递减，当时，在，上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）∵有两个极值点，，且，∴由（1）知有两个不同的零点，，，，且，此时，，要证明，只要证明.∵，∴只要证明成立.∵，∴.设，，则，当时，，∴在上单调递增，∴，即，∴有两个极值点，，且时，.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21、（1）3；（2）.【解题分析】

（1）利用三角形内角和定理，将转化为，化简已知条件求得，然后求得，利用等腰三角形求得的长.（2）利用三角形面积列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值.【题目详解】解：（1