2017-2018版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17学必求其心得，业必贵于专精PAGE2。2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征［学习目标］1．会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．3．会应用相关知识解决简单的统计实际问题．［知识链接]1．在数据2，2，3，4,4，5，5,6，7，8中众数为2，4,5.2．一组数据的和除以数据的个数所得到的数叫做这组数据的平均数．例如，数据1,2，3,3,4，5的平均数为3.［预习导引]1．有关概念（1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数．若有两个或两个以上的数据出现得最多,且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．(2)中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数)叫这组数据的中位数．(3)平均数：指样本数据的算术平均数．即eq\x\to(x)＝eq\f(1，n）(x1＋x2＋…＋xn)．2．平均距离假设样本数据是x1，x2，…，xn，eq\x\to（x)表示这组数据的平均数．xi到eq\x\to(x)的距离是|xi－eq\x\to（x）|（i＝1，2,…，n）．于是,样本数据x1,x2,…，xn到eq\x\to（x）的“平均距离”是S＝eq\f（|x1－\x\to（x）｜＋|x2－\x\to（x)|＋…＋|xn－\x\to(x)｜,n).3．标准差由于平均距离中含有绝对值，运算不太方便，因此改用如下公式来计算标准差s＝eq\r（\f(1，n）［x1－\x\to(x）2＋x2－\x\to（x)2＋…＋xn－\x\to（x)2］）.显然,标准差越大，数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小．所以标准差可以用来刻画数据的分散程度的大小．4．方差标准差s的平方s2，即s2＝eq\f(1，n）[(x1－eq\x\to(x））2＋(x2－eq\x\to（x））2＋…＋(xn－eq\x\to(x）)2］叫这组数据的方差．方差也是用来测量样本数据的分散程度的特征数．在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．但在解决实际问题时，一般多采用标准差。要点一众数、中位数、平均数的简单运用例1在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，制作出了这些样本数据的频率分布直方图：从中可以看出，月均用水量的众数估计是________;中位数是________;平均数为________．答案2。25t2。02t2。02t解析众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标，因此众数估计是2。25t;在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数使得在它左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值,下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2。02t.平均数是频率分布直方图的“重心”,是直方图的平衡点,因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数，平均数为2。02t。规律方法根据样本频率分布直方图，可以分别估计总体的众数、中位数和平均数．（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标；(2）中位数:直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和．跟踪演练1在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:成绩（单位：m)1。501.601.651.701。751。801.851。90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．解在17个数据中，1。75出现了4次,出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1。70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是eq\x\to(x)＝eq\f(1，17)(1。50×2＋1.60×3＋…＋1。90×1）＝eq\f（28。75，17)≈1.69(m）．答17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m，1.70m,1.69m。要点二平均数和方差的运用例2甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量,各从中抽取6件测量，数据为:甲：9910098100100103乙:9910010299100100（1）分别计算两组数据的平均数及方差；(2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．解(1）eq\x\to（x）甲＝eq\f(1,6）（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1，6）(99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100。seq\o\al(2，甲)＝eq\f（1，6)［(99－100)2＋（100－100)2＋（98－100)2＋（100－100）2＋(100－100）2＋(103－100)2]＝eq\f(7，3）,seq\o\al(2，乙)＝eq\f(1，6）[（99－100)2＋(100－100)2＋（102－100）2＋（99－100）2＋(100－100)2＋(100－100)2］＝1。（2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq\o\al（2,甲)＞seq\o\al（2，乙）,所以乙机床加工零件的质量更稳定．规律方法1.几个性质：(1）若x1，x2，…，xn的平均数是eq\x\to（x),那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\x\to(x）＋a.（2)数据x1，x2，…,xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等．(3)若x1，x2，…,xn的方差为s2，那么ax1，ax2,…，axn的方差为a2s2。2．(1)方差的基本公式：s2＝eq\f（1，n)[(x1－eq\x\to(x）)2＋（x2－eq\x\to（x））2＋…＋（xn－eq\x\to(x）)2]．(2)方差的简化公式：s2＝eq\f(1，n）[(xeq\o\al（2，1)＋xeq\o\al(2，2）＋…＋xeq\o\al(2，n))－neq\x\to（x)2］．或写成s2＝eq\f（1,n）（xeq\o\al（2,1)＋xeq\o\al（2，2)＋…＋xeq\o\al(2,1））－eq\x\to(x）2,即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．跟踪演练2（1）（2013·山东高考)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91,现场作的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认，在图中以x表示：87794010x91则7个剩余分数的方差为(）A。eq\f(116,9）B。eq\f（36,7）C．36D。eq\f（6\r(7)，7）答案B解析∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据是87,90,90，91,91，94，90＋x.∴这组数据的平均数是eq\f（87＋90＋90＋91＋91＋94＋90＋x，7)＝91，∴x＝4。∴这组数据的方差是eq\f(1,7）（16＋1＋1＋0＋0＋9＋9)＝eq\f（36,7)。(2）（2013·江苏高考）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环）,结果如下:运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．答案2解析由表中的数据计算可得eq\x\to(x）甲＝90，eq\x\to(x）乙＝90，且方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f（87－902＋91－902＋90－902＋89－902＋93－902,5）＝4。seq\o\al（2,乙)＝eq\f（89－902＋90－902＋91－902＋88－902＋92－902，5)＝2.所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2.要点三频率分布与数字特征的综合应用例3已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数频率[121,123）[123，125）［125,127)［127,129）[129,131］合计(2）作出频率分布直方图；（3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．解(1）分组频数频率［121,123）20.1[123,125)30.15［125，127)80。4续表分组频数频率［127，129）40。2［129,131］30.15合计201（2)(3）在［125,127)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126,事实上，众数的精确值为125。图中虚线对应的数据是125＋2×eq\f(5，8)＝126。25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：eq\x\to（x)＝122×0。1＋124×0。15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0。15＝126.3，平均数的精确值为eq\x\to(x）＝125。75。规律方法1。利用频率分布直方图估计数字特征:(1)众数是最高的矩形的底边的中点．(2）中位数左右两侧直方图的面积相等．(3）平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,与实际数据可能不一致．跟踪演练3某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0。40、0.15、0.10、0。05.求：（1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2）高一参赛学生的平均成绩．解(1）由图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0。3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0。04＝0。5,得x＝5,∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0。15＋85×0。1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67.1．下面是高一（18)班十位同学的数学测试成绩：82，91，73，84,98，99，101,118，98，110,则该组数据的中位数是()A．98 B．99C．98。5 D．97。5答案A解析将这组数据按从小到大排列为73,82,84，91，98,98,99,101，110，118，则最中间的两个数为98，98，故中位数是eq\f（1,2)（98＋98）＝98。2．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是(）A．众数 B．平均数C．标准差 D．中位数答案C3．样本101,98,102,100,99的标准差为()A。eq\r(2) B．0C．1 D．2答案A解析样本平均数eq\x\to(x)＝100，方差为s2＝2，∴标准差s＝eq\r（2)，故选A。4．甲乙两名学生六次数学测验成绩（百分制）如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差上面说法正确的是(）A．③④ B．①②④C．②④ D．①③答案A解析甲的中位数为81，乙的中位数为87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分eq\x\to（x）＝eq\f(1，6)(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分eq\x\to(x）′＝eq\f(1,6）（69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85,故②错，③对，故选A.5．（2013·湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下：7,8，7,9，5，4，9,10，7,4则：（1）平均命中环数为________；（2)命中环数的标准差为________．答案（1）7(2)2解析利用平均值和标准差公式求解．（1）eq\x\to(x）＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4，10)＝7.（2)s2＝eq\f(1，10）[(7－7）2＋（8－7)2＋(7－7）2＋（9－7)2＋（5－7)2＋(4－7)2＋（9－7)2＋（10－7)2＋（7－7）2＋（4－7）2