2017-2018版高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积(一)学案4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15学必求其心得，业必贵于专精PAGE5从力做的功到向量的数量积（一)学习目标1。了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功。2。掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一两向量的夹角思考1平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点,它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？思考2△ABC为正三角形，设eq\o(AB，\s\up6（→））＝a,eq\o（BC，\s\up6（→）)＝b，则向量a与b的夹角是多少？梳理（1）夹角：已知两个____________a和b，作eq\o（OA,\s\up6（→))＝a，eq\o(OB,\s\up6（→））＝b，则__________＝θ（0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角（如图所示）．当θ＝0°时,a与b________；当θ＝180°时，a与b________。（2）垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量可与任一向量垂直．知识点二平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F的作用下产生位移s,如图．思考1如何计算这个力所做的功?思考2力做功的大小与哪些量有关？梳理(1）数量积：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ，我们把______________叫作a与b的数量积（或内积)，记作a·b,即a·b＝____________。（2）数量积的特殊情况当两个向量相等时，a·a＝__________。当两个向量e1，e2是单位向量时,e1·e2＝________________________。知识点三平面向量数量积的几何意义思考1什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？思考2向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？梳理（1)射影:若非零向量a，b的夹角为θ，则________叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影)．(2）a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a｜与b在a方向上的射影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影____________的乘积．知识点四平面向量数量积的性质思考1向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别?思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定?梳理向量的数量积的性质(1）若e是单位向量，则e·a＝____________＝____________.(2）a⊥b⇔____________.(3)________＝eq\r(a·a）.（4)cosθ＝eq\f（a·b，|a｜｜b｜）(|a||b|≠0)．（5）对任意两个向量a，b，有｜a·b|____｜a|｜b|，当且仅当a∥b时等号成立．类型一求两向量的数量积例1已知|a｜＝4，｜b｜＝5，当（1）a∥b；（2)a⊥b；（3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．反思与感悟求平面向量数量积的步骤：(1）求a与b的夹角θ，θ∈［0°,180°]；（2）分别求｜a|和|b|；（3)求数量积，即a·b＝|a|｜b｜cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×"连接，也不能省去．跟踪训练1已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC＝60°,则eq\o（BD，\s\up6（→)）·eq\o（CD,\s\up6(→)）等于(）A．－eq\f（3，2）a2B．－eq\f(3,4)a2C.eq\f（3,4)a2D.eq\f（3,2)a2类型二求向量的模例2已知|a｜＝｜b|＝5，向量a与b的夹角为eq\f(π，3)，求|a＋b｜,｜a－b｜.引申探究若本例中条件不变，求|2a＋b｜，｜a－2b|。反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝｜a｜2，即｜a｜＝eq\r(a2)，勿忘记开方．跟踪训练2已知｜a｜＝｜b｜＝5，且|3a－2b｜＝5，求|3a＋b｜的值．类型三求向量的夹角例3设n和m是两个单位向量,其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．反思与感悟当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3已知a·b＝－9，a在b方向上的射影为－3，b在a方向上的射影为－eq\f（3,2)，求a与b的夹角θ。1．已知|a|＝8,|b｜＝4，<a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的射影为（）A．4B．－4C．2D．－22．设向量a，b满足｜a＋b｜＝eq\r(10)，｜a－b｜＝eq\r（6）,则a·b等于()A．1B．2C．3D．53．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，｜a｜＝1,|b｜＝2,｜c｜＝3，则（a＋2b－c)2＝________.4．在△ABC中，|eq\o(AB，\s\up6（→))｜＝13，|eq\o（BC,\s\up6(→)）|＝5，｜eq\o(CA,\s\up6（→)）|＝12，则eq\o（AB,\s\up6(→))·eq\o（BC,\s\up6（→)）的值是________．5．已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)eq\o(AB,\s\up6（→）)·eq\o(AC,\s\up6(→））；(2)eq\o(AB,\s\up6（→））·eq\o(BC,\s\up6（→));（3)eq\o(BC，\s\up6(→））·eq\o（AC,\s\up6(→)）。1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正（当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时），也可以为负（当a≠0，b≠0,90°〈θ≤180°时），还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时）．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．在a·b＝｜a｜｜b｜cosθ中，｜b|cosθ和｜a｜cosθ分别叫作b在a方向上的射影和a在b方向上的射影,要结合图形严格区分．4．求射影有两种方法(1）b在a方向上的射影为|b|cosθ（θ为a，b的夹角)，a在b方向上的射影为｜a|cosθ。(2)b在a方向上的射影为eq\f（a·b，|a｜),a在b方向上的射影为eq\f(a·b，|b|）。5．两非零向量a，b,a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a｜＝eq\r(a2).

答案精析问题导学知识点一思考1存在夹角,不一样．思考2如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则eq\o（BD,\s\up6（→）)＝a，∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.梳理（1）非零向量∠AOB同向反向知识点二思考1W＝｜F||s｜cosθ.思考2与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．梳理(1）｜a｜|b｜cosθ｜a｜｜b｜cosθ(2）｜a|2｜e1|｜e2｜cosθ＝cosθ知识点三思考1如图所示，eq\o(OA，\s\up6（→）)＝a，eq\o(OB，\s\up6（→））＝b，过B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则OB1＝｜b|cosθ.｜b｜cosθ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cosθ叫作向量a在b方向上的射影．思考2由射影的定义知,二者不一定相同．梳理（1)｜b|cosθ（2）|b|cosθ|a|cosθ知识点四思考1向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量．思考2由两个非零向量的夹角决定．当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数．当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°时,非零向量的数量积为负数．梳理（1）a·e|a｜cosθ（2）a·b＝0（3）|a|(5)≤题型探究例1解(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝｜a｜｜b｜cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°,∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝4×5×（－1）＝－20。(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|｜b|cos90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝｜a｜|b|cos30°＝4×5×eq\f（\r(3），2)＝10eq\r（3）.跟踪训练1D例2解a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×eq\f（1，2)＝eq\f（25,2)。｜a＋b｜＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋｜b|2)＝eq\r(25＋2×\f(25，2)＋25）＝5eq\r（3).｜a－b|＝eq\r(a－b2）＝eq\r（｜a｜2－2a·b＋|b｜2)＝eq\r(25－2×\f(25，2）＋25）＝5.引申探究解a·b＝|a｜｜b｜cosθ＝5×5×eq\f（1,2)＝eq\f(25，2），｜2a＋b｜＝eq\r（2a＋b2）＝eq\r(4｜a|2＋4a·b＋｜b｜2)＝eq\r(4×25＋4×\f(25，2)＋25)＝5eq\r(7)。｜a－2b|＝eq\r(a－2b2）＝eq\r（｜a｜2－4a·b＋4｜b|2）＝eq\r（25－4×\f（25,2)＋4×25)＝5eq\r(3）。跟踪训练220例3解∵|n|＝|m｜＝1且m与n的夹角是60°，∴m·n＝|m|｜n｜cos60°＝1×1×eq\f（1,2)＝eq\f（1,2)。｜a|＝｜2m＋n|＝eq\r(2m＋n2)＝eq\r（4×1＋1＋4m·n）＝eq\r(4×1＋1＋4×\f(1，2))＝eq\r（7)，|b｜＝|2n－3m｜＝eq\r(2n－3m2）＝eq\r(4×1＋9×1－12m·n）＝eq\r(4×1＋9×1－12×\f(1,2))＝eq\r(7），a·b＝(2m＋n）·(2n－3m）＝m·n－6m2＋2n2＝eq\f(1,2）－6×1＋2×1＝－eq\f(7，2）.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,｜a|｜b｜)＝eq\f(－\f(7,2），\r（7)