大学物理第五章

第五章刚体力学基础刚体（理想模型）:在力作用下，大小和形状都不改变的物体。刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。什么是刚体？§1刚体的平动、转动和定轴转动一.刚体的运动形式1.平动（translation）平动——刚体内两点作任一直线，运动时始终和自身平行。可以证明：各点轨迹相同，运动状态也都相同。即：知道任意点的运动整个刚体运动。平动点（常用质心代表）

2.转动（rotation）

▲定轴转动：

▲定点转动：运动中各点都绕同一直线作圆周运动，直线——（转轴）。刚体的一般运动=平动+转动ZI二.刚体定轴转动的描述（转动运动学）I——与轴固定PIIII——过P所做平面——两平面夹角（自I算起，上看逆正）——角坐标

=f(t)

——运动方程1、角速度

●通过刚体内所做的任意动平面，在同一时间间隔内转过的角度（角位移

）必相等。

●是描述整个刚体绕定轴转动的物理量。任意时刻，绕定轴转动的刚体只有一个角速度。

ZIPII2、角加速度

●描述整个刚体定轴转动的物理量,任时刻，绕定轴转动的刚体只有一个角加速度。

3、定轴转动的匀、匀变速转动

匀：=常，

=0匀变：

=常、、和圆周运动一样：

4、绕定轴转动刚体各点的速度、加速度

（1）速度

（2）加速度

注意（1）（2）

对刚体上所有点都同，即与半径夹角都一样，但注意并非都同。5、角速度的矢量性

（1）定义

沿转轴画出：指向——与转向成右手法则长——的大小（2）用

表示任意点的

：

角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。小结xOPrv§2转动动能

转动惯量一、定轴转动动能设t:取

、rk的质点k质点K

的动能为：△Mkrkvk整个刚体动能—是与刚体本身性质有关的量，称转动惯量。

即：绕定轴转动刚体的动能，等于刚体对轴的转动惯量与其2之积的一半。二、转动惯量（rotationalinertia）刚体质量连续分布：V—遍及刚体整个体积

决定的因素：说明：对形状复杂的刚体，理论不易求得，常用实验测定。

①、转轴位置②、质量③、质量对轴的分布转动惯量的计算质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布面分布1、对于转动惯量：例1．

长l，质量M的均匀细杆，求杆对通过中心并与杆垂直的轴的转动惯量。xoydxY’O’解：取O为坐标原点，oxy坐标系取x处取一个杆元dx讨论：求绕y’轴

例2

半径R、质量M的均质圆盘对通过其中心O并垂直盘面的轴的转动惯量。

oRrdr

解：设圆盘分成许多同心环，每一环可视很薄，则环上各点对o的r相同

取半径为r的环，厚dr，则面积:

讨论：若要求内、外半径R1、R2绕垂直自己，过圆心的轴的转动惯量

—为环质量面密度

看出，将同样M的材料，制成环，J增大，在机械上常看到飞轮是为了增大J。负质量法求环的转动惯量表明：为求内、外半径为

R1

和R2

匀质圆环对Z轴的转动惯量，只要求以R2为半径的匀质圆盘对轴的转动惯量，再加上一个假想以R1为半径质量为负的匀质圆盘对轴的转动惯量即可。常见刚体的转动惯量薄圆盘球体细棒细棒三．平行轴定理质心轴-----通过刚体质心的轴。可以证明：即：刚体对任意已知轴的转动惯量，等于刚体通过质心并与该已知轴平行的质心轴的转动惯量加上刚体质量与两轴垂直距离h平方之积。

设质量M、质心C

据平行轴定理

，在已知刚体对质心轴转动惯量情况下（可查），可方便地算出该刚体对与质心轴平行的任意轴的转动惯量。

zyxC过C：JzZ'与Z平行的任意轴，两轴距h。z′hP如例1中

例2中

看出：刚体在某一方向上的平行轴中，以过质心轴的转动惯量最小。一、力矩

力—引起质点平动。

力矩—引起刚体转动。①

沿转轴，指向按右手法则。

§3力矩

转动定律（转动动力学）

分解为：

2、力不在垂直轴的平面内

二、转动定律转动定律表明：外力距是定轴转动状态改变的原因。—转动定律转动定律牛顿定律三、转动定律的应用例1滑轮半径R质量M，两段悬m1、m2，绳不伸长，质量不计，绳轮之间无滑动，轮轴间无摩杈，求：m1、m2的加速度，轮的及绳的张力。

一、

定轴转动刚体动能第

i个质元的动能刚体转动动能转动惯量说明o刚体平动动能§4绕定轴转动刚体的动能

动能定理

二、

力矩的功力矩做功等于(积分形式

）od三、定轴转动动能定理对于一有限过程讨论外力做功等于定轴转动刚体的动能增量(3)刚体动能的增量，等于外力的功。(2)刚体的内力做功之和为零；为什么？(1)质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功；刚体重力势能定轴转动刚体的机械能质心的势能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立四、刚体的机械能解例1滑轮

r、M，在绳的一端挂一重物

m，开始时静止，不计摩擦力。hm的重力势能转化为滑轮和m

的动能求

重物下落高度

h时重物的速度v

。均匀细直棒m

、l

，可绕轴

O

在竖直平面内转动，初始时它在水平位置.求

它由此下摆

角时的

。Olm解一

机械能守恒(以初始位置为0势能点)例2ch=解二

定轴转动动能定理

m动能的增量等于重力做的功重力矩其大小质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关特例：质点作圆周运动OS惯性参照系§5动量矩(角动量)和动量矩守恒定律

1、质点定点转动的动量矩（对o点）一、

动量矩动量矩与质点动量

对比，

Jz—m，—

v2、刚体定轴转动的动量矩（对z轴）o刚体对z轴的动量矩第

i个质元对z轴的动量矩z说明质点动量矩定理：

对t求导

表明：在惯性系中，质点对任意固定点o的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上所有力的合力对同一点之矩--------质点动量矩定理。二、

质点定点转动的动量矩定理质点动量矩定理向

z

轴投影—外力矩，—质点动量矩三、

刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩刚体动量矩变化的快慢取决于外力矩

Mz定轴转动刚体的动量矩定理说明

若Jz

=恒量，有转动定律

四、

质点定点转动的动量矩守恒定律证明：有心力作用下，质点动量矩守恒？

当

力矩为0时，由知不变，则动量矩守恒。五、

刚体定轴转动的动量矩守恒定律当

时，刚体动量矩

守恒说明当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒解：对象―卫星

有心力作用，动量矩守恒

例1

人造地球卫星在地球引力作用下沿平面椭圆轨道运动，地心可视为固定点，且为椭圆之一焦点。卫星近地点A距地面距４３９km，远地点B距地面距２３８４km，其中

VA=8.12km/s,地球半径R=6370km求卫星远地点的速度大小？

例2

质量m的小球系绳一端，绳穿过一铅直套管，使小球限制在光滑水平面上运动。先使小球以v0绕管心做半径为r0的圆周运动，然后向下拉绳，使小球运动最后成为半经为r1的圆。求：①小球距管心r1时速度v的大小?②由r0缩短到r1过程中，力所做的功?解：绳子作用为有心力，对o点之矩为0--------动量矩守恒可见，速度增加了，动能也增大了。动能增加是由于作了功，据动能定理例3

质量为m，长为L的均匀细棒，竖直悬挂于一水平光滑轴，现用力F打击棒的中部(如图)，打击时间为t.求：打击后棒的角速度?解：由动量矩定理:即例4

一长L，质量M的匀质杆，可绕过一端的水平光滑轴转动，最初杆静止于竖直位置。现有一质量m的子弹以水平速度

射入杆中部并嵌在杆中，求：(1)子弹射入瞬间杆转动的角速度（2）杆能摆动的最大角度φφv0解：（1）以m、M为系统子弹射入的过程,系统对o轴的合外力矩为零.由动量矩守恒定律（1）(2)子弹射入后的摆动过程M、m和地球组成的系统机械能守恒以竖直位置杆质心所在平面为零势能面将（1）式代入，化简后即可得。[例5]质量为M、半径为R的圆盘水平放置在转台上，两质量均为m的电动汽车模型可分别沿半径为R和r(R＞r)两轨道运行。最初小车和转台都不动，令外轨道小车作反时针转动，内轨道小车顺时针转动，相对于转台的速率均为