第七讲 微分方程模型(Ⅱ)

第三章微分方程建模（Ⅱ）

§3.4战争模型

§3.5饿狼追兔问题

§3.6放射性废物的处理问题

战争分类：正规战争，游击战争，混合战争兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例§3.4战争模型第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型只考虑双方兵力多少和战斗力强弱3.4.1一般战争模型1）每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，f(x,y)~甲方战斗减员率，g(x,y)~乙方战斗减员率2）每方非战斗减员率与本方兵力成正比，比例系数分别为3）甲乙双方的增援率分别为u(t),v(t)f,g

取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型建立（1）3.4.2正规战争模型甲(乙)方战斗减员率只取决于乙(甲)方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战忽略非战斗减员

假设没有增援f(x,y)=ay,a~乙方每个士兵的杀伤率a=ry

py,ry

~射击率，

py

~命中率0正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系平方律模型乙方胜上式说明双方初始兵力之比y0/x0以平方关系影响着战争的结局，如乙方兵力增加到原来的2倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增加到4倍，或者若甲方的战斗力如射击率ry增加到原来的4倍（px,rx,py不变），乙方只要将初始兵力y0增加到原来的2倍就可抗衡．平方律模型结果分析乙方胜3.4.3游击战争模型双方都用游击部队作战甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加忽略非战斗减员假设没有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每个士兵的杀伤率c=ry

pyry~射击率py

~命中率py=sry

/sxsx

~甲方活动面积sry

~乙方射击有效面积0游击战争模型线性律模型线性律模型结果分析乙方胜即初始兵力之比y0/x0以线性关系影响战争结局，并且当射击率和射击有效面积一定时，增加活动面积Sx与增加初始兵力y0起着同样的作用．03.4.4混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方的兵力方可取胜.设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)正规战模型检验

EngelJ.H.利用二次大战末期美日硫黄岛战役时美军的战地记录验证了正规战争模型．美军1945年2月19日开始进攻硫黄岛，战斗36天，日军21500人全部阵亡或被俘，战地记录全部遗失，美军投入兵力73000人，伤亡20265人．美国曾用这个模型分析越南战争．美国正规部队（乙方）要取胜越南游击部队（甲方），至少要投入8倍于游击部队一方的兵力，而美国最多只能派出6倍于越南的兵力，美国得出不可取胜的结论，最终撤出了越南．

美军有增援，日军没有增援.用A(t)和J(t)表示美军和日军第t天的人数，在模型（1）中取且（1）由u(t)及每天的伤亡人数可算出A(t)，t=1,2,…,36（见图3.4.4中虚线）于是有图3.4.4由A(t)的实际数据可得对式（13）用求和代替积分得因J(36)=0,J(0)=21500,式（15）中令t=36求得再将b=0.0106代入(15)式，又可算出J(t),t=1,2,…,36在式（14）中令t=36，得（16）代入式（14）得其中分子是美军的总伤亡数，为20265人，分母可由已算出的J(t)得到，为372500人，于是从（16）式有图3.4.4由式（17）就可算出A(t)的理论值，图3.5.4中用实线画出，与实际值（虚线）相比，可以看出吻合的情况．§3.5饿狼追兔问题现有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米处．假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子．已知兔子、狼是匀速跑而且狼的速度是兔子的两倍，问题是兔子能否安全回到巢穴．问题兔子在O处，狼在A处．由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线．设狼的行走轨迹为y=f(x)，

首先建立坐标系如图3.5.1．图3.5.1则有又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内，狼走的距离为兔子走的距离的两倍．假设在某时刻，兔子跑到(0,h)处,而狼在C(x,y)处，则有两边求导并整理解方程可得狼的行走轨迹为因所以狼追不上兔子．若狼和兔子的行走路线不在坐标轴上，如何考虑？

某些类型的导弹对目标追击的数学模型与此数学模型相似．环境污染是人类面临的一大公害，放射性污染对人类生命安全和地球上的生物存在严重的威胁，所以特别为人们所关注．和平利用原子能可为人类造福，但是核废物处置不好，将对人类是一大危害．核废料如何处置为好，必须进行科学论证．过去一段时间，美国原子能委员会为了处理浓缩的放射性废物，他们把废物装入密封的圆桶，然后扔到水深为300英尺的海里．一些生态学家和科学家为此表示担心，圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？经过实验证明不会破裂.圆桶扔到海洋中时是否因与海底碰撞而发生破裂？§3.6放射性废物的处理问题问题几位工程师进行了大量的实验以后发现：当圆桶的速度超过40英尺/秒时，就会因为碰撞而破裂．如图3.6.1选取坐标系，ω~圆桶重量，使圆桶向下，m~圆桶质量，g~重力加速度，建模与求解B~水作用在圆桶上浮力，B=470.327磅

D

~水作用在圆桶上的阻力.图3.6.1为此我们需计算圆桶同海底碰撞时的速度，是否会超过40英尺/秒？D=0.08v磅秒/英尺（通过大量实验得出如下结论：圆桶方位对于阻力影响甚小，可以忽略不计）．则作用在圆桶上的力为由牛顿第二定律：而所以（1）是一个二阶常微分方程．将其解为代入（1）得由(2)式可知，圆桶的速度为时间t的函数，要确定圆桶同海底的碰撞速度，就必须算出桶碰到海底所需的时间t．但作为y的显函数求出t是困难的，所以不能用(2)来求圆桶同海底的碰撞速度．但由（2）我们可以得到圆桶的极限速度vT显然有如果极限速度小于40英尺/秒，那么圆桶就不可能因同海底碰撞而破裂．然而这个数值太大了，还不能断定v(t)究竟是否能超过40英尺/秒.下面将速度v作为位置y的函数v(y)

来考虑.由v(t)=v[y(t)],利用复合函数微分法代入（1）中，得对于（3），利用微分方程数值解法，借助于计算机很容易求出v(300).下面用一个简便的方法得到v(300)的一个很好的近似值.在(3)中令c=0（即不考虑水的阻力），用u代替v得积分，得由此，得1.无阻力时，圆桶的速度总会大一些，因此2.当y增加时，速度v增加，所以对于有由此可以得出水作用在桶上的阻力D总是小于然而使圆桶向下的合力ω-B≈57.1磅.比D大得多，因而可忽略D

．所以可以认为u(y)是的一个很好的近似值．实际上，用数值解法可算出v(300)=45.1英尺/秒，与u(300)=45.7英尺/秒是比较接近的．其理由是：u(300)就是v(300)的一个很好的近似值,

综上得出结论，圆桶能够因与海底碰撞而破裂．工程师们的说法是正确的．这一模型科学地论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的，从而改变了美国政府过去的错误做法．现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物