第4章 剪切与扭转

第四章剪切与扭转

本章主要讨论的几个问题：

(1)剪切构件的受力和变形特点；(2)剪切和挤压的近似计算；(3)扭转变形的特点；(4)圆轴扭转时的内力和应力计算；(5)剪切虎克定律；(6)扭转变形的强度和刚度条件。4.1剪切构件的受力与变形特点受力特点：合力大小相等、方向相反、作用线距离很小。变形特点：两相邻截面间发生错动。发生相对错动的面称为剪切面。4.2剪切和挤压的近似计算一、剪应力计算和剪切强度条件假设剪应力τ在截面上均匀分布：

τ=Q/A强度条件：τ[τ]，

其中：[τ]=τb/nb对塑性材料：[τ]=(0.6～0.8)[σ]对脆性材料：[τ]=(0.8～1.0)[σ]4.2剪切和挤压的近似计算二、挤压应力计算和挤压强度条件假设挤压应力σjy在截面上均匀分布：强度条件为：(注意挤压面面积的算法)[σjy]为材料许用挤压应力，其值由试验确定。对于塑性较好的低碳钢材料：4.2剪切和挤压的近似计算例4-1如图所示的起重吊钩，起吊重物F=20kN,钢板厚度δ=8mm，销钉的材料为16Mn，其许用剪应力[τ]=140MPa，许用挤压应力[σjy]=230MPa，试设计销钉直径d。FF/2F/24.2剪切和挤压的近似计算(1)选取分离体，画出受力图：(2)求剪切面的剪力：(3)应用强度条件：经计算圆整，d=10mm4.2剪切和挤压的近似计算(4)校核挤压强度：所以销钉安全。4.2剪切和挤压的近似计算冲床的最大冲力F=400kN，冲头材料的许用应力[jy]=440MPa，被剪切钢板的剪切强度极限b=360MPa,

求圆孔最小直径和钢板的最大厚度。解：根据挤压条件：根据剪切条件：该冲床在最大载荷作用下所能冲剪的圆孔最小直径为34mm，所能冲剪钢板的最大厚度为10.4mm4.3扭转变形的概念TT'受力特点：在杆件的两端作用着一对大小相等、方向相反的外力矩T。变形特点：两个不同的横截面产生相对的转动。注意：在一般情况下,杆件扭转时,有一系列外力矩作用在杆件上,但是当杆件处于等速转动时,这些外力矩的代数和等于零。4.4传动轴外力矩的计算要研究圆轴受扭转后的强度问题，首先要分析其外力。对于传动轴，通常不直接给出外力矩的数值，而是给出轴的转速n和所传递的功率P。根据功率P和转速n可以换算出外力矩T。T———作用在圆轴上的外力矩，kN·m;P———轴所传递的功率，kW;n———轴每分钟的转数，r/min。4.5纯剪切剪切虎克定律变形特点：(1)纵向线变成螺旋线，原来的小矩形abcd

变成斜平行四边形。(2)周向线各自绕圆筒轴线转过一定的角度,不同的周向线转过的角度大小不一样,但周向线的大小、形状以及各周向线之间的距离均未改变。4.5纯剪切剪切虎克定律由静力平衡条件：这说明:在相互垂直的两个面上如同时存在着剪应力，则它们的大小相等，方向必须都是指向或都是背向两面的交线。剪应力之间的这种关系称为剪力互等定理，又称为剪力双生定律。这种在互相垂直的面上只有剪应力作用的受力情况称为纯剪切。4.5纯剪切剪切虎克定律剪切虎克定律：薄壁圆筒扭转实验表明：当剪应力τ不超过材料的剪切比例极限τp

时，剪应力τ与剪应变γ成正比，即：剪切弹性模量G、拉压弹性模量E以及横向变形系数μ都是表示材料弹性性质的常数，这三个常数都可由实验确定。同时,在它们之间有一定的关系，对于各向同性的材料，它们之间的关系是：4.6圆轴扭转时横截面上的内力和应力根据平衡条件：这个内力矩称为扭矩。可以看出，扭矩Tn

在轴的全长是一个常数。一、横截面上的内力4.6圆轴扭转时横截面上的内力和应力二、扭转时横截面上的应力纵线所倾斜的角度即剪应变，以γ表示。4.6圆轴扭转时横截面上的内力和应力根据剪切虎克定律剪应力τ与剪应变γ成正比这一关系：4.6圆轴扭转时横截面上的内力和应力三、剪应力的计算公式4.6圆轴扭转时横截面上的内力和应力四、极惯性矩和抗扭截面模量的计算4.7圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件为:[τ]为扭转时的许用剪应力，[τ]的值可查阅有关手册。一般在静载荷作用下:4.7圆轴扭转时的强度条件例4-3图中有桨式的搅拌器,搅拌轴上共有上下两层桨叶。已知电动机功率Pk=17kW，搅拌轴转速n=60r/min，机械效率是90%，上、下两层搅拌桨叶因所受的阻力不同，故所消耗的功率各占总功率Pk的35%和65%。此轴采用117mm×6mm，不锈钢管制成，其许用剪应力[τ]=30MPa。试校核此轴的强度。如将此轴改为实心轴，试确定其直径，并比较这两种圆轴的用钢量。4.8圆轴的扭转变形与刚度条件工程上一般都用l为1m时的相对扭转角φ0表示扭转变形的大小,φ0的单位为°/m,如果力矩的单位是kN·m,Iρ

的单位是m4,l用1m表示,则上式可改写为：扭转刚度条件：G·Iρ

称为轴的抗扭刚度,决定于轴的材料与截面的形状与尺寸。轴的G·Iρ

值越大,则扭转角φ0

越小,表明抗扭转变形的能力越强。4.8圆轴的扭转变形与刚度条件例4-4试校核例4-3的搅拌轴刚度,已知G=80×103

MPa,[φ0]=0.5°/m。所以，刚度足够。本章习题讲解习题4-4图示为安装铰刀用的摇动套筒,已知T=0.05kN·m，销钉的直径为6mm，它的许用应力[τ]=80MPa，设摇动套筒与铰刀柄间的间隙很小，试核算销钉的剪切强度。本章习题讲解习题4-5图中键的尺寸为b×h×l=10mm×8mm×35mm，若键的许用应力[τ]=60MPa，摇柄套的许用挤压应力[σjy]=200MPa。问加在摇柄端部的力F可以有多大?本章习题讲解本章习题讲解习题4-12阶梯形圆轴如图所示,d1=40mm,d2=70mm。已知由轮3输入的功率P3=30kW，轮1输出的功率为P1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用剪应