第7章 梁的弯曲变形(机械类)

材料力学戴宏亮编著湖南大学机械与运载工程学院工程力学系第七章

梁的弯曲变形第七章梁的弯曲变形§5.1梁弯曲变形的概念§5.2挠曲线微分方程和刚度条件§5.3积分法求弯曲变形本章小结§5.5简单超静定梁§5.6提高梁抗弯刚度的措施§5.4叠加法求弯曲变形7-1§7.1梁弯曲变形的概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠曲线挠度转角挠度w：截面形心在y方向的位移。符号：与y轴正方向相同为正。转角θ：截面绕中性轴转过的角度。符号：与y轴正方向相同为正。2.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移用

w

表示，与坐标y

同向为正，反之为负。3.转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用

表示逆时针转动为正，反之为负。

1.挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线挠曲线挠度转角7-2§7.2

挠曲线微分方程和刚度条件1.梁的挠曲线近似微分方程纯弯曲时，得到：MM横力弯曲时,忽略剪力对变形的影响由数学知识可知：略去高阶小量，得所以

由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：2.梁弯曲的刚度条件

工程中根据不同的需要，常限制梁的最大挠度和最大转角使其不超过某一规定数值。建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：§7.3

积分法求弯曲变形

积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件

－弹簧变形例题

求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF例题

求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：解3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：6）确定最大转角和最大挠度令

得，令得，积分法求梁的变形关键点：①分段列弯距方程②寻找边界条件分段AB、BC、CD三段，六个积分常数边界条件PDABC边界条件：分段原则：集中力、集中力偶作用点，分布力的起、终点，梁的自然端点为分段点。边界条件：支承条件、连续条件、光滑条件。有多少积分常数就有且仅有多少个边界条件。ABC

根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B处转角不超过许用数值。B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为：

解例题

已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角θ=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。B2）由刚度条件确定轴的直径：例题

已知：q=10kN/m，L=3m，试设计截面。hbABLq解：(1)按强度条件设计A截面为危险截面(2)按刚度条件设计ABLqhb代入刚度条件可得：综合考虑强度和刚度条件，取：

设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为w，则有：

若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，§7.4

叠加法求弯曲变形1.

叠加法故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：

梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。LAPBABLq挠度：3、8、48、5384转角：

2、6、16、24APBL/2L/2CABqL/2L/2C例题：求A点转角和C点挠度。

BBqBqPP=+AAACaa解：a)载荷分解如图b)查表c)叠加qBACla例题:

已知：悬臂梁受力如图示，q、l、a、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C。解：qBAClaθByByC例题

已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。解3）将结果叠加2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。解：分别考虑AB和BC梁段的情况。LaABCP(a)刚化BC例题求图示荷载作用下，C截面的挠度。LaABCPLaABCPBaB2.逐段叠加法(c)叠加(b)刚化ABBCPLaABCPLaABCPBaB(a)刚化BC例题：

如图，求C截面的挠度和转角

ABC（1）逐段刚化法。分段，区分支承部分和附加部分。ABC（2）刚化BC段。静力等效BC段的均布载荷。（3）刚化AB段。ABC（4）叠加1.超静定梁简述超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.超静定梁的基本求解方法：确定超静定次数——>将超静定梁转化为静定梁——>写出变形协调条件——>联立求解平衡方程、变形协调方程以及物理方程——>解出全部未知力——>进行强度与刚度的计算。变协调方程：根据多余约束对位移的限制，建立各部分位

移之间的几何方程。§7.5

简单超静定梁解：3个反力，2个平衡方程ACqFRBFRAFRCACqFRB例题

求图示梁的约束反力。ABCllq相当系统（或静定基）如图1.变形协调关系：2.物理关系：ACqFRBFRAFRC3.平衡关系：4.联立三式：解例题

求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。1）判定超静定次数2）解除多余约束，转化为静定梁3）进行变形比较，列出变形协调条件4）由物理关系，列出补充方程所以5）由整体平衡条件求其他约束反力例题

梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：FBMAFAwB1FBMCFCwB2物理关系解FBFBMAFAMCFCwB1wB2代入得补充方程：确定A端约束力FBF´BMAFAMCFCwB1wB2确定B端约束力MAFAMCFCA、B端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图§7.6

提高梁抗弯刚度的措施材料——梁的位移与材料的弹性模量

E

成反比；截面——梁的位移与截面的惯性矩

I

成反比；跨度——梁的位移与跨度

l

的

n次幂LAPB1选择合理的截面形状§7.6

提高梁抗弯刚度的措施2合理选择材料影响梁强度的材料性能是极限应力

σu；影响梁刚度的材料性能是弹性模量E。钢材(或各种铝合金)的极限应力虽然差别很大，但它们的弹性模量十分接近。强度极限σb弹性模量E低碳钢Q235400MPa200GPa合金钢30铬锰硅1100MPa210GPa3梁的合理加强超静定加强4合理安排梁的约束与加载方式改变支座