第七章 均匀设计

2023/2/51第七章均匀设计

§7.1均匀设计表§7.2均匀设计的使用表§7.3均匀设计的数据分析§7.4均匀混料设计2023/2/52前言

均匀设计(UniformDesign)是由中国数学家王元和方开泰于1978年首次提出的,采用均匀设计表来安排试验的方法。其最初在我国导弹设计中应用，经过20多年的发展和推广，均匀设计已在我国有较广泛的普及，并在医药、生物、化工、航天、电子、军事工程等诸多领域中使用，取得了显著的经济和社会效益。与均匀设计几乎同期出现在西方流行的“拉丁超立方体抽样”与均匀设计在本质上是一致的。2023/2/53王元方开泰中国科学院数学研究所中国科学院院士中国科学院应用数学研究所北京师范大学－香港浸会大学联合国际学院美国数理统计科学院终身院士美国统计学会终身院士2023/2/54§7.1均匀设计表

7.1.1均匀设计概述

例7.1

为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个因子，每一因子取17个水平。试验如何设计？如果采用正交设计，那么至少要进行172=289次试验。如果采用二次回归正交设计那么也至少要进行26-1+2×6+1=45次试验，试验次数都较多。能否减少试验次数？均匀设计便是针对这种情况提出的一种设计方法。2023/2/55

均匀设计是用均匀设计表安排试验，而用回归分析进行数据分析的一种试验设计方法。基本想法是要使试验点在因子空间中具有较好的均匀分散性。均匀设计同正交设计一样，也是部分因子设计的只要方法之一，是一种稳健试验设计。

适用范围：试验因子多、因子取值范围大、因子水平多（不少于5），而试验次数相对较少的情况。因子一般需要是连续性的数值变量，若有个别为定性的分类变量可以采用虚拟哑变量法。2023/2/567.1.2均匀设计表均匀设计表是均匀设计的基本工具，它是用数论方法编制的。

1.均匀设计表Un(qm)

均匀设计表用代号Un(qm)表示，U表示均匀设计表，它有n行，m列，每列的水平数为q。

2023/2/57均匀设计表U7(76)该表的每一列都是的一个特定排列。

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该表的特点是：（1）对任意的n都可以构造均匀设计表，并且行数n可以与水平数q相同，因此试验次数少；（2）列数可按下面规则给出：

当n为素数时，列数最多等于n-1；譬如上面n=7，所以列数最多为n-1=6列；

当n是合数时，设，其中为素数，为正整数，那么列数为

譬如n=9，由于9=32，所以列数为列。

2023/2/592.另一类均匀设计表

对于n为合数的表，一般列数较少，不太适用。譬如n=6时，由于n=2×3，经计算，所以列数只有2列。因为均匀设计表U7(76)最后一行全是“7”组成的，故划去这一行，相当于减少一个水平。所以建议用U7(76)划去最后一行的方法得到，为区别起见，记为2023/2/510§7.2均匀设计的使用表

7.2.1均匀设计表的使用在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均匀性是不同的，用哪些列是有讲究的。譬如用安排两个因子时，用1,3列与用1,6列的均匀性是不同的，试验点在平面上的分布见图7.2.1。前者分布比较均匀。7.2.12023/2/5117.2.2“均匀性”的度量通常用“偏差”来度量均匀性，偏差愈小均匀性愈好。（1）把均匀设计表Un(nm)中每一行看成m维空间中的一个点，其m个坐标必是集合中的某个数。（2）用线性变换将均匀地变换到区间[0，1]中的某个数。此线性变换为：

Un(nm)中n个试验点变换成Cm=[0，1]m中的n个点。考虑Un(nm)中n个试验点的均匀性等价于考虑在

[0，1]m中的均匀性。2023/2/512

（3）设是[0，1]m中任一点，则

为多维矩形的体积，且。（4）记为n个点落在多维矩形的个数，则表示有多少比例的点落在矩形中。若此n个点在[0，1]m中均匀散布，则与该多维矩形的体积相差不大。（5）设是[0，1]m中的n个点，则称

为点集{}在[0，1]m中的偏差(D)，或星偏差。2023/2/513偏差(D)的缺点用（星）偏差来度量均匀性的缺点之一是不够灵敏，有时明显不同的两个均匀设计会出现相同的偏差；缺点之二是与原点有关，所有矩形都从原点开始。为了克服上述偏差的缺点，人们有研究出很多其它的偏差度量方法。其它的偏差

CD2——中心化L2偏差

WD2——可卷的L2偏差

MD2——修正的L2偏差

SD2——对称化L2偏差其中，用的最多的是CD2偏差和WD2偏差。后来方开泰教授新研制的均匀设计表大都基于最小的CD2偏差。2023/2/5147.2.3

使用均匀设计表偏差D可对任一均匀设计表或中任意二列、任意三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使用列，从而形成使用表。如下表就是的使用表，s表示因子数。均匀设计表的使用表若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到及其使用表。2023/2/515均匀设计表及其使用表

使用表说明：当安排两个因子时，第1、3列是最佳的选择，若安排4个因子，第1、2、3、4是最佳选择。

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均匀设计表U7(74)与的使用表

由表上的D值可知，在表上加“*”的比不加“*”的均匀，因此在实际中我们首先使用加“*”的均匀设计表。但是可安排的因子较少。对于各因子不等水平的均匀设计，可以直接采用混合水平均匀设计表，或者采用拟水平法设计。2023/2/5177.2.4

新均匀设计表由于基于CD2偏差和WD2偏差的均匀设计表具有更好的均匀性，方开泰教授在2000年左右研制了2580多张新的均匀设计表。参见本章提供给大家的附件文件夹“第七章均匀设计表UniformDesign”。或登录方开泰教授的“均匀设计网站”：.hk/UniformDesign/查询。2023/2/518§7.3均匀设计数据分析均匀设计的试验数据的处理通常采用回归分析的方法，回归分析模型可采用线性回归模型、二次回归模型或其它非线性回归模型，可以通过逐步回归的方法筛选变量。下面通过一个例子来说明均匀设计及其数据的分析步骤。

例7.1

为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，为此考察老鼠体内某种细胞的死亡率，为了了解误差，每一水平组合重复三次。2023/2/5197.3.1

试验设计

1．明确试验目的：了解六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响。

2．明确试验指标：老鼠体内某种细胞的死亡率。

3．确定因子与水平：这里因子都是定量的。水平可以是等间隔的，也可以是不等间隔的。

本例中有六种重金属可看作六个因子，每一因子取17个水平，其水平值均为：（单位：ppm）

0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12，14,16，18，20

注意：水平必须按顺序排列2023/2/520

4．选择均匀设计表，利用使用表进行表头设计由于这里考察六个因子，每一因子取17个水平，可以用表U17（1716），六个因子按使用表的规定分别置于1，2，3，5，7，8列上，得到试验计划（见表7.3.6），表中括号内的数据是水平编号，括号外的数据是水平取值。7.3.2

进行试验，获得试验结果本例在每一水平组合下进行三次重复试验，试验结果列在表7.3.6的最后三列上。2023/2/5217.3.62023/2/5227.3.3

数据分析对均匀设计所得到的试验结果通常采用回归分析方法，建立回归方程。设在一个试验中有p个因子。若只考虑y关于的线性关系，则可用多元线性回归方法建立回归方程，并对每一系数作显著性检验，然后逐个删去不显著的变量，直到所有系数显著为止。若考虑y关于的二次回归，除每一变量的线性项外，还要考虑变量间的二次项、乘积项，那么回归系数就有

在本例中p=6，回归系数有28个，超过试验次数n=17，这时可采用筛选变量的方法建立合适的回归方程。2023/2/523

在本例中，根据背景知识，认为死亡率与含量的对数有关，因此先将含量进行变换（这里将六个自变量分别取对数），并考虑其的二次项、交叉乘积项等，用逐步回归或向前、向后回归的方法，在显著性水平0.05上挑选变量，所建立的方程如下：2023/2/524对方程作失拟检验与显著性检验的方差分析表如下：6.3.7

在显著性水平0.05下，Flf=1.24<F0.95(6,34)=2.40，失拟检验的结果是上述方程是合适的，又F=72.83>F0.95(10,40)=2.10，因而此回归方程是显著的。2023/2/525

对每一项回归系数的检验在显著性水平0.05下都是显著的。所以上面所得到的方程是可信的。此方程对应的误差标准差的估计为，决定系数是0.948。此方程反映了该种细胞的死亡率与六种重金属的关系。从方程可以看出Cd、Cu、Ni的含量增加会增加该种细胞的死亡率，Zn与Cd、Ni、Cr、Pb的结合对该种细胞的死亡率有较大影响。若要寻找最优的工艺参数，可通过求极值的方法获得。2023/2/5267.3.4

SAS回归分析Datasasuser.DOE346;InputCdCuZnNiCrPbY;CdCu=Cd*Cu;CdZn=Cd*Zn;CdNi=Cd*Ni;CdCr=Cd*Cr;CdPb=Cd*Pb;CuZn=Cu*Zn;CuNi=Cu*Ni;CuCr=Cu*Cr;CuPb=Cu*Pb;ZnNi=Zn*Ni;2023/2/5277.3.4

SAS回归分析ZnCr=Zn*Cr;ZnPb=Zn*Pb;NiCr=Ni*Cr;NiPb=Ni*Pb;CrPb=Cr*Pb;Cd2=Cd*Cd;Cu2=Cu*Cu;Zn2=Zn*Zn;Ni2=Ni*Ni;Cr2=Cr*Cr;Pb2=Pb*Pb;2023/2/5287.3.4

SAS回归分析Cards;…；ProcRegdata=sasuser.DOE346;ModelY=CdCuZnNiCrPbCdCuCdZnCdNiCdCrCdPbCuZnCuNiCuCrCuPbZnNiZnCrZnPbNiCrNiPbCrPbCd2Cu2Zn2Ni2Cr2Pb2/selection=stepwisesls=0.05sle=0.05;Run;2023/2/5297.3.4

SAS回归分析

在本例中R2=0.9479

模型：F=72.83，P<0.0001

可得回归方程（取对数后值）：

Y=27.8951+4.8334*Cd+5.2749*Cu+2.2917*Ni-0.5764*Cd*Zn+0.3934*Zn*Ni-0.4010*Zn*Cr+0.3844*Zn*Pb+0.6695*Cd*Cd+0.3671*Cu*Cu+0.7102*Ni*Ni

经SAS或Lingo求极小值得到：

Cd=0.00，Cu=0.00，Ni=0.00，Zn=3.00Cr=3.00，Pb=0.00时，Ymin=24.28612023/2/530§7.4均匀混料设计（UniformMixtureDesign）前面讲了单形格子设计和单形重心设计，但是这些方法都存在一些缺陷：一、众多个试验点都被安排在试验区域的顶点或者边界上，这样的试验相当于缺少几种混料成分，不是真正的混料试验；二、试验点在试验区域内部的分布十分不均匀，影响混料效果。特别是在生物化学反应试验中，缺少某些混料成分，化学反应可能不会进行，或者生成了其它产物。为此，人们提出了均匀混料设计。所谓均匀混料设计，就是在均匀设计中使所有试验点在试验区域内尽可能均匀地散布。2023/2/531§7.4均匀混料设计（UniformMixtureDesign）

均匀混料设计的主要步骤如下：（1）给定试验因子p和试验次数n，欲生成均匀混料设计表UMn(np)，应选用合适的均匀设计表Un(np-1)，用ukj记表中第k行第j列的元素。（2）对于每个k和j，计算（3）计算2023/2/532§7.4均匀混料设计（UniformMixtureDesign）（4）计算（5）计算（6）计算2023/2/533§7.4均匀混料设计（UniformMixtureDesign）

例7.2：对p=3,n=11的均匀设计，采用均匀设计表U11(112)生成均匀混料设计UM11(113)的过程。此时上述公式可以简化为：2023/2/534§7.4均匀混料设计（UniformMixtureDesign）

结果见下表UM11(113)试验u1u2c1c2x1x2x31141/227/220.7870.1450.0682293/2217/220.6310.0840.2853375/2213/220.5230.1950.2824417/221/220.4360.5390.02655119/2221/220.3600.0290.61166311/225/220.2930.5460.16177613/2211/220.2310.3840.38488815/2215/220.1740.2630.56399217/223/220.1210.7590.12010101019/2219/220.0710.1270.8031111521/229/220.0230.5770.4002023/2/535§7.4均匀混料设计（UniformMixtureDesign）

均匀混料设计UM11(113)单形重心设计

可以看到均匀混料设计试验点的相当均匀的分布在单形内，试验完成后，同样采用回归分析。回归分析模型可采用线性回归模型、二次回归模型或其它非线性模型。2023/2/536

例7.3在一个新金属材料研制中，含三种金属成分，拟采用均匀混料设计UM15(153)。NOx1x2x3YNOx1x2x3Y10.81740.10350.07918.225690.24720.17570.577110.136220.68380.05270.26358.7794100.20420.76930.02659.376030.59180.36740.04089.5115110.16330.25100.585710.277240.51700.17710.30599.5619120.12440.55450.32119.865250.45230.41990.12789.9145130.08710.09130.821610.102260.39450.02020.58539.5526140.05130.79060.15819.179270.34170.32910.32929.9481150.01680.42610.55719.95658