第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计09-10-1

第6章无限长单位脉冲响应（IIR）

数字滤波器的设计方法6.1基本概念6.2

常用模拟低通滤波器的设计方法6.3模拟滤波器的频率变换6.4

用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器6.5

用双线性变换法设计IIR数字滤波器

学习目标理解数字滤波器的基本概念掌握Butterworth低通滤波器的特点了解利用模拟滤波器设计数字滤波器的过程了解利用频带变换法设计各种类型滤波器的方法掌握脉冲响应不变法掌握双线性变换法0001§6.1基本概念

数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。优点：

高精度、高稳定性、体积小、重量轻、灵活；不要求阻抗匹配；可实现特殊滤波功能；通过A/DC和D/AC，使用数字滤波器对模拟信号处理

一、

数字滤波器的分类1、一般分类经典滤波器：输入信号中的有用频率成分和希望滤除的频率成分占用不同频带

通过选频滤波器达到滤波目的现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信号的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号，如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等w0-|H(ejw)|低通(LF)频率响应2····-2w0-|H(ejw)|高通(HF)频率响应2····-2w0-|H(ejw)|带通BF频率响应2····-2w0-|H(ejw)|带阻BS频率响应2····-2特点：(1)单位脉冲响应是非因果且无限长，不可能实现，只能尽可能逼近；(2)DF的传输函数是以2为周期，低通的中心频带处于2的整数倍处，高通的中心频带处于的奇数倍附近。

2、按功能分：LP、HP、BP、BS、全通滤波器

0101如何用实际特性逼近理想特性？3、按实现的网络结构或单位抽样响应分：IIR滤波器（N阶）FIR滤波器（N-1阶）全极点系统或零、极点系统全零点系统

二、

数字滤波器的设计过程

1）按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标；

2）用一个因果稳定的LTI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标，根据不同要求可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近；

3）利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等。

三、数字滤波器的技术指标|H(ejw)|—系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。β(ejw)—系统的相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。两个滤波器幅频特性相同，相频特性可能不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。选频滤波器的技术指标由幅频特性给出，对相频特性一般不作要求，但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如，语音合成、波形传输、图像信号处理等。本章主要研究由幅频特性提出指标的选频滤波器的设计。0通带截止频率阻带截止频率过渡带通带阻带

通带容限

阻带容限在通带内，幅度响应以最大误差δ1逼近于1，即

在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即

ωs≤|ω|≤π|ω|≤ωp

在过渡带，从通带平滑地下降到阻带在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）和阻带应达到的最小衰减描述，定义分别为：

假定|H(ej0)|=1(已被归一化)|H(ejωc)|=0.707，则=3dB；wc为3db通带截止频率|H(ejωs)|=0.001，则=60dB。IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。四、

IIR数字滤波器的设计方法设计方法通常有以下两种：

1.先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器wp

,wsαp,αsH(s)H(z)巴特沃思设计切比雪夫设计脉冲响应不变双线性变换法2.直接设计法零极点位置累试法计算机辅助设计法6.2

常用模拟低通滤波器的设计方法

常用的模拟滤波器原型有:

巴特沃思（Butterworth）滤波器具有单调下降的幅频特性切比雪夫（Chebyshev）滤波器幅频特性在通带或阻带有波动椭圆（Ellipse）滤波器通带和阻带均为等波纹特性贝塞尔（Bessel）滤波器

通带内有较好的线性相位特性以这些数学函数命名的滤波器是低通滤波器的原型图

各种理想模拟滤波器的幅频特性

|Ha(j)|0.707ps通带阻带过渡带10Cps通带过渡带阻带(dB)衰减pS0一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法1、模拟低通滤波器的设计指标有：Ωp、Ωs、αp、αsΩp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率;αp是通带中的最大衰减系数，αs是阻带的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：图中Ωc称为3dB截止频率，因

2、逼近方法——用频率响应的幅度平方函数逼近由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(jΩ)满足

如何由|Ha(jΩ)|2求Ha(s)？？稳定的滤波器要求左半平面的极点一定属于Ha(s)，则右半平面的极点必属于Ha(-s)；将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为Ha(s)的零点，虚轴上的零点一半归Ha(s)。由|Ha(jΩ)|2确定Ha(s)的方法：由幅度平方函数得象限对称的s平面函数；将Ha(s)Ha(-s)因式分解，得到各零极点；对比Ha(jΩ)和Ha(s)，确定增益常数；由零极点及增益常数，得Ha(s)。二、巴特沃思低通逼近

N为正整数，代表滤波器的阶数。当Ω=0时，|Ha(j0)|=1；当Ω=Ωc时，|Ha(jΩc)|=0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jΩc)|=3dB，Ωc为3dB截止频率。（3分贝带宽）

1)在通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小；

2)过渡带及阻带内快速单调减小；

3)N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄；

4)3dB不变性;1.幅度函数的特点Ha(s)Ha(-s)的极点为

k=0,1,2,…,2N-1

Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上。

2.幅度平方特性的极点分布全极点系统极点在s平面呈象限对称，分布在巴特沃思圆上，共2N个；极点间的角度间隔为π/N

rad；极点不会落在虚轴上（起点(π/2)+

(π/2N)）；

N=奇数实轴上有极点，N=偶数实轴上无极点。

为形成稳定的滤波器，Ha(s)Ha(-s)的2N个极点中只取S左半平面的N个极点为Ha(s)的极点，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)的极点。k=0,1,2,…,2N-1

3.

滤波器系统函数Ha(s)设N=3，极点有6个，它们分别为由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化

s/Ωc=jΩ/Ωc

λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；

p=jλ，p称为归一化复变量，归一化巴特沃斯的传输函数为4、归一化系统函数pk为归一化极点，用下式表示：将极点展开可得到的Ha(p)的分母p的N阶多项式，用下式表示：

（1）确定模拟滤波器的技术指标Ωp,Ωs，αp

αs

；（2）根据技术指标求出滤波器阶数N：5.滤波器的设计步骤通带截止频率关于Ωc归一化阻带截止频率关于Ωc归一化取大于等于N的最小整数3）求出归一化系统函数Ha(p)k=0,1,2,…,N-1

巴特沃思圆巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数

4）去归一化

通带指标刚好，阻带指标有富裕阻带指标刚好，通带指标有富裕例6-1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。

(2)其极点为归一化传输函数为pk=ej(½+(2k+1)/2N)k=0,1,2,…,N-1由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。得到：将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：

此时算出的截止频率比题目中给出的小，或者说在截止频率处的衰减大于30dB，所以说阻带指标有富裕量。b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.23614Chebyshev低通滤波器的设计方法比同阶的Butterworth滤波器具有更陡峭的过渡带和更优的阻带衰减特性.振幅具有等波纹.(1)Chebyshev低通滤波器特点，表示通带波纹大小，越大，波纹越大N：滤波器的阶数幅度平方函数：：N阶Chebyshev多项式幅度函数特点：N为偶数N为奇数

(2)设计原理(3)滤波器的设计步骤:其中6.3模拟滤波器的频率变换

AF滤波器LP其他AF滤波器HP,BP,BS设：传输函数归一化截止频率归一化拉氏变量p=jq=j归一化传输函数G(p)H(q)各类模拟滤波器的设计过程图

HPBPBS指标LP指标G(j)传输函数传输函数频率变换频率变换设计00低通到高通0例6-2

设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。解:①高通技术要求：fp=200Hz,αp=3dB;

fs=100Hz,αs=15dB归一化频率②低通技术要求：

③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故④求模拟高通H(s)：设计技术成熟有相当简便的公式和图表模拟滤波器AF由此设计数字滤波器DF要求DF特性模仿AF的特性实际上是个映射问题Mapping离散时间域(Z平面)转换关系连续时间域(S平面)（1）H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应也即S平面虚轴jΩ必须映射到Z平面的单位圆ejω上（2）因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z)

也即S平面的左半平面Re［s］<0必须映射到Z平面单位圆的内部|z|<1

对转换关系提出两点要求:满足上述转换关系的映射方法有：脉冲响应不变法和双线性变换法一、变换原理数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足：

§6.4用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器Ha(s)H(z)Ha(s)LT-1[Ha(s)]ha(t)时域采样h(n)ZT[h(n)]H(z)所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法S平面到Z平面的映射关系为：jS/2-S/23S/2ImZReZ二、混叠失真数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混叠失真。

|ω|<π任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

脉冲响应不变法只适合于设计LP和BP滤波器图

脉冲响应不变法中的频响混叠现象

解决混叠的方法：滤波器指标以模拟域形式给出，此时Ha(jΩ)、Ha(s)、ha(t)已确定，采样频率T增加，混叠减小；滤波器指标以数字域形式给出，此时Ha(jΩ)、Ha(s)、ha(t)未确定，但ωp

ωs已定，采样频率增加，为保证ωs不变，必有Ωs增加，增加滤波器的阶数N，混叠减小。

三、模拟滤波器的数字化方法

设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母的阶数高于分子的阶数

（1）极点：S平面s=sk

Z平面上z=eskT（2）系数相同：Ak

（3）稳定性不变：S平面Re［sk］<0

Z平面|eskT|<1（4）零点位置没有这种代数对应关系Ha(s)有共轭复数对极点：Ha(s)的极点si一般是一个复数，以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。AF二阶基本节形式一：极点-1j1－AF二阶基本节形式二：极点-1j1|ω|<π

如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的增益，容易溢出，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令

h(n)=Tha(nT)

|ω|<π

例6-3设模拟滤波器的系统函数为

试利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)

解：数字滤波器的系统函数为

设T=1，则有

模拟滤波器的频率响应Ha(jΩ)以及数字滤波器的频率响应H(ejω)分别为:

把|Ha(jΩ)|和|H(ejω)|画在图上。由该图可看出，由于Ha(jΩ)不是充分限带的，所以H(ejω)产生了严重的频谱混叠失真。

图

例6-3的幅频特性

四、优缺点

1、优点：

脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好；

模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。

2、缺点——是有频率响应的混叠效应

脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。不适于高通和带阻滤波器的设计，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。§6.5用双线性变换法设计IIR数字滤波器

一、变换原理从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系造成频率响应的混叠失真克服：第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。

j1j1S/2-S/2ImZReZ

为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现

式中,T仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（5-42）写成

将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面：

z=es1T

从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：

S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。

二、逼近的情况

双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。

（1）把z=ejω代入式，可得

即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。

（2）将s=σ+jΩ代入式得

由此看出：

当σ<0时，|z|<1；当σ>0时，|z|>1。

即S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。

因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

三、优缺点

优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系。

双线性变换法的频率变换关系

在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。模拟角频率Ω和数字角频率ω的映射关系Ha(j)2

频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。

首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；

其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变。

双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。

四、模拟滤波器的数字化方法双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上也比较直接和简单。由于双线性变换法中，s到z之间的变换是简单的代数关系，即

频率响应也可用直接代换的方法得到

（1）如果给出的是待设计的带通滤波器的数字域转折频率（通、阻带截止频率）ω1、ω2、ω3、ω4及采样频率(1/T)，则直接利用式计算出相应的模拟滤波器的转折频率Ω1、Ω2、Ω3和Ω4。这样得到的模拟滤波器Ha(s)的转折频率Ω1、Ω2、Ω3和Ω4，经双线性变换后就映射到数字滤波器H(z)的原转折频率ω1、ω2、ω3和ω4。

设计步骤：

如果给出的是待设计的带通滤波器的模拟域转折频率（通、阻带截止频率）f1、f2、f3、f4和采样频率(1/T)，则需要先计算数字滤波器的转折频率（通、阻带截止频率）ω１、ω2、ω3

和ω4。

ω=2πfT再进行预畸变得Ω1、Ω２、Ω3和Ω4Ha(s)经双线性变换后映射到数字滤波器H(z)的转折频率ω1、ω2、ω3、ω4，并且能保证数字域频率ω1、ω2、ω3、ω4与给定的模拟域转折频率f1、f２、f３、f4成线性关系。

（3）将

代入Ha(s)，得H(z)为

（2）按Ω1、Ω2、Ω3和Ω4等指标设计模拟滤波器的系统函数Ha(s)

需要特别强调的是，若模拟滤波器Ha(s)为低通滤波器，应用

变换得到的数字滤波器H(z)也是低通滤波器；若Ha(s)为高通滤波器，应用

变换得到的数字滤波器H(z)也是高通滤波器;若为带通、带阻滤波器也是如此。

在IIR数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好;而在其余情况下，大多采用双线性变换法。

求H(z)时，若阶数较高，可用两种方法进行简化设计：

1.可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数（子系统函数相加）或级联的子系统函数（子系统函数相乘），使每个子系统函数都变成低阶的（例如一、二阶的）；然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。分解为低阶的方法是在模拟系统函数上进行的，而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。

2.可用表格的方法来完成双线性变换设计，即预先求出双线性变换法中离散系统函数的系数与模拟系统函数的系数之间的关系式，并列成表格，便可利用表格进行设计了。设模拟系统函数的表达式为

双线性变换法中Ｈa(s)的系数与H(z)的系数之间的关系

例6-4

设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截止频率为ωc=0.25π，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。

解：数字低通滤波器的截止频率为ωc=0.25π，相应的巴特沃思模拟滤波器的3dB截止频率是Ωc，就有

模拟滤波器的系统函数为

将双线性变换应用于模拟滤波器，有

由上题可知，T不参与设计，即双线性变换法中用

设计与用

设计得到的结果一致。

例6-5

用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4kHz（即采样周期为T=250μs），其3dB截止频率为fc=1kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器为

解：

确定数字域截止频率ωc=2πfcT=0.5π。根据频率的非线性关系式，确定预畸变的模拟滤波器的截止频率

将Ωc代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha(s)，得

将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数

用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响

由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越