第5章 测量误差的基本知识

第五章

测量误差基础知识一.产生测量误差的原因一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素：仪器原因

仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因

判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响

气象因素(温度变化,风,大气折光)

结论：观测误差不可避免(粗差除外)观测条件:

上述三大因素总称为观测条件等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各次观测（一般指相同等级仪器、相同作业方法，这种观测值也称等精度观测值），称为等精度观测。§5-1测量误差概述二、测量误差的分类与对策（一）测量误差分类1.系统误差:在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值相同，或按一定的规律变化。例：误差

钢尺尺长误差Dk

钢尺温度误差Dt

水准仪视准轴误差i

经纬仪视准轴误差C……处理方法计算改正计算改正操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均)

……系统误差具有累积性，对观测结果的影响很大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的措施消除或减弱其影响。通常可采用以下三种方法：

1）测定系统误差的大小，对观测值加以改正

2）采用对称观测的方法

3）仪器检校2.偶然误差:在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。粗差：也称为错误，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等造成的错误，或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。3、粗差粗差在测量结果中是不允许存在的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施或进行多余观测。测量误差可以通过“多余观测”反映出来。（二）处理原则粗差:细心，多余观测系统误差:找出规律，加以改正偶然误差:多余观测，制定限差如何处理含有偶然误差的数据？例如：对同一量观测了n次观测值为l1,l2,l3,….ln如何取值？如何评价数据的精度？三.偶然误差的特性

1.偶然误差的定义：

设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误差：真误差真值观测值例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为:i=180–(i+i+i)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差i的规律。误差区间负误差正误差误差绝对值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然误差的统计

有界性：偶然误差应小于限值。趋向性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均值的极限趋近于零。偶然误差的特性

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差呈现出系统误差的性质；反之，呈现出偶然误差的性质。因此，对一组剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称平差。结论3.平均误差2.中误差:在等精度观测列中，各真误差平方的平均数的平方根，称为中误差，也称均方误差，即中误差的几何意义：偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。§5-2衡量观测值精度的标准1.标准差：它要求观测个数无限多次、还需知道真值；实际工作中无法实现。按观测值的真误差计算中误差m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值中误差图形的比较：m1=2.7m2=3.6对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。例如，测得某两段距离，一段长200m，另一段长1000m，观测值的中误差均为±0.2m

。从表面上看，似乎二者精度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。2相对误差相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在测量上通常将其分子化为1。即用K=1/N的形式来表示。上例前者的相对中误差为0.2/200=1/1000，后者为0.2/1000=1/5000。显然，相对中误差愈小（分母愈大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。相对中误差的分子也可以是闭合差（如量距往返量测的两个结果的较差）或容许误差，这时分别称为相对闭合差及相对容许误差。与相对误差相对应，中误差、极限（容许）误差等称为绝对误差。返回三、极限误差在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值，这个限值就是极限误差。标准差或中误差是衡量观测精度的一种指标，它不能代表个别观测值真误差的大小。四、容许误差前者要求较宽，后者要求较严，观测值大于实施误差的偶然误差，应舍去，并重测。在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即在对精度要求较高时，常取二倍中误差作为容许误差，即§5.3误差传播定律在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而需要由其它的直接观测值按一定的函数关系计算出来。即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。非线性函数由于独立观测值存在误差，导致其函数也必然存在误差，这种关系称为误差传播。表述观测值中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律称为误差传播定律。例如：h=a-b线性函数误差传播定律：一.观测值的函数和或差函数例：高差平均距离实地距离三角边线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数……倍数函数：Z=KX则例1： 在1：500地形图上量得某两点间的距离 d=234.5mm, 其中误差md=±0.2mm

，求该两点的 地面水平距离D的值及其中误差mD解:§5.3.1倍数函数和差函数Z=X1+X2

且X1、X2独立例2： 已知当水准仪距标尺75m时，一次读数中误差为 （包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差），若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。§5.3.2和函数解：水准测量每一站高差：则每站高差中误差观测n站所得总高差则n站总高差h的总误差若以三倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为例3：用DJ6型光学经纬仪观测角度一测回的测角中误差解：∵已知DJ6型光学经纬仪一个测回一个方向的中 误差mα=±6″

∴由得∴线性函数Z=K1X1+K2X2+….+KnXn+K0例： 设对某一个三角形观测了其中α、β两个角， 测角中误差分别为mα=±3.5″，mβ=±6.2″解：§5.3.3线性函数现按公式γ=180°-α-β

求得γ

角，试求γ角的中误差mγ

一般函数§5.3.4一般函数例4：函数式，测得求的中误差。解：返回观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

例1已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。解：例2量得地形图上两点间长度

=168.5mm0.2mm,

计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式中误差式例3已知有求：错误例3已知

有；求：例4

在地面上有一矩形ABCD，AB＝40.38m±0.03m，BC＝33.42m±0.02m，求面积及其中误差。解设AB＝a＝40.38m，ma＝±0.03m，BC＝

b＝33.42m，mb＝±0.02m

面积计算如下：

对函数式求其偏导数得面积中误差根据公式得：例5

如图5-1，测得AB的垂直角为α＝30˚00′00″±30″，平距AC为D＝200.00m±0.05m，求A、B两点间高差h及其中误差mh。解

A、B两点间高差为对函数式求其偏导数得

由式（5-31），得高差的中误差为解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：例6：要求三角形最大闭合差

，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差。DMPxyXYO由误差传播定律：解：P点的点位中误差：例7：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差，距离中误差，求由此引起的P点的坐标中误差、，以及P点的点位中误差。测量平差：对一系列带有多余观测值的观测值，运用概率统计的方法，消除它们之间的不符值，求出未知量的可靠值，并评定观测结果的精度。而未知量的这个最可靠值叫最或是值。如果对一个未知量的直接观测值进行平差，就叫直接观测平差。§5.4等精度直接观测平差§5.4.1求最或是值设对某量进行了n次同精度观测，其真值为X，观测值为，相应的真误差为则...

相加除以n式中：L为算术平均值根据偶然误差第四个特征， 即当观测次数n无限多时，算术平均值就趋向于未知量的真值。当观测次数有限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似值，称为最或是值或最或然值，用最或是值作为未知量真值的估值。§5.4.2评定精度1、观测值中误差同精度观测值中误差为：由于未知量的真值X无法确知，真误差

也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，多利用观测值的改正数（其意义等同于最或是误差）来计算观测值的中误差。改正数：由改正数可以计算同精度观测值中误差：改正值的特性2、最或是值的中误差设对某量进行了n次同精度观测，其观测值为，观测值中误差为m，最或是值为L。有按中误差传播关系式故例：设对某角进行了5次同精度观测，观测结果如下表，试求其观测值的中误差，及最或是值的中误差。观测值+30+1-3-190191观测值中误差最或是值中误差为返回小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则似真值：二、中误差二、中误差似真误差例6距离误差例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。*§5-5不等精度直接观测平差在对某量进行不同精度观测时，各观测结果的中误差不同。显然，不能将具有不同可靠程度的各观测结果简单地取算术平均值作为最或是值并评定精度。此时，需要选定某一个比值来比较各观测值的可靠程度，此比值称为权。不等精度的直接观测，考虑的是观测条件不同的时候，而不同条件下观测条件的可靠性不同，这个可靠性可以用权值P来表达。而不等精度观测值，它们的最或是值是这组观测值的加权平均值。§5.5.1权的定义设一组不同精度观测值为，相应的中误差为，选定任一大于零的常数λ

，定义权为：一定的观测条件，对应着一定的误差分布，而一定的误差分布对应着一个确定的中误差。对不同精度的观测值来说，显然中误差越小，精度越高，观测结果越可靠，因而应具有较大的权。故可以用中误差来定义权。称为观测值的权。对一组已知中误差的观测值而言，选定一个λ值，就有一组对应的权。由式（6-17）可以定出个观测值的权之间的比例关系为§5.5.2求不同精度观测值的最或是值 ---加权平均值设对某量进行了n次不同精度观测，观测值为，其相应的权为，测量上取加权平均值为该量的最或是值，即§5.5.3不同精度观测的精度评定1、最或是值的中误差2、单位权观测中误差例：在水准测量中，已知从三个已知高程点A、B、C出发，测量E点的三个高程观测值，为各水准路线的长度，求E点高程的最或是值及其中误差。解：取各水准路线长度的倒数乘以C为权，并令C=1，计算如下表测段高程观测值

/m水准路线长度AEBECE42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6E点高程的最或是值为单位权观测值中误差为最或是值中误差为返回加权平均值标准差的算例例：对