第18章 测量不确定度与回归分析

第18章测量不确定度与回归分析18.1测量误差概述任何测量的目的是为了获得被测量的真实值。量是物体可以从数量上进行确定的一种属性。由一个数和合适的计量单位表示的量称为量值。量值有理论真值、约定真值和实际值或标称值与指示值之分。真值理论真值是在理想情况下表征一个物理量真实状态或属性的值，它通常客观存在但不能实际测量得到，或者是根据一定的理论所定义的数值。约定真值是为了达到某种目的按照约定的办法所确定的值，或以高精度等级仪器的测量值约定为等精度等级仪器测量值的真值。实际值是在满足规定准确度时用以代替真值使用的值。标称值和指示值标称值是计量或测量器具上标注的量值。指示值（即测量值）是测量仪表或量具给出的量值。精度对于具体物体的测量：精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度不一定高，但精确度高，精密度和准确度都高。误差的来源测量环境误差：测量仪器的工作环境与规定的标准状态不一致时所造成的误差。典型的有温度、湿度、大气压力、振动、重力加速度、电磁干扰等。测量装置误差：是指由于测量仪表本身不完善或测量精度不高所带来的误差。测量方法误差：是指由于测量方法不合理或不完善所引起的误差。测量人员误差：是指由于测量人员本身的专业素质不高所引起的误差。误差的分类根据测量数据中误差的规律，有三类：系统误差：由于测量系统本身的性能不完善、测量方法不完善、测量者对仪器的使用不当、环境条件的变化等原因所引起的测量误差成为系统误差。随机误差：对同一被测量进行多次重复测量时，绝对误差的绝对值和符号不可预知的随机变化，但就误差的总体而言，具有一定的统计规律性，这类误差称之为随机误差。粗大误差：明显偏离测量结果的误差称为粗大误差（也称疏忽误差，或过失误差）。提问：系统误差和粗大误差的产生原因都提到了环境条件变化，试区分它们的异同？随机误差是否受环境影响？误差的表示绝对误差Δ：测量值x与真实值L间的差值。

Δ=x-L相对误差：绝对误差与真实值（或测量值）之比。工程上，在无法得到真值时，常采用在被测参量没有发生变化的条件下重复多次测量，用多次测量的平均值代替真值。附加误差：当仪表的使用条件偏离标准条件时出现的误差（如温度、压力、频率、电源电压波动附加误差等）。引用误差：绝对误差与仪表满量程之比。这里的满量程是指仪表的测量范围的上下限之差。

其中，xm为仪表的满量程。相比于相对误差，这里使用满量程代替了真值，但引起误差的分子仍为绝对误差Δ；当测量值为检测系统测量范围的不同数值时，各测量值的绝对误差Δ也可能不同。因此，即使是同一检测系统，其测量范围内的不同测量值处的引用误差也不一定相同。但是，在没有修正值的情况下，通常认为在整个测量范围内各处的最大绝对误差是一个常数。例题：检定一台满量程Am=5A，精度等级为1.5的电流表，测得在2.0A处其绝对误差Δ=0.1A，请问该电流表是否合格？解：

显然该电流表不合格。最大引用误差：在检测系统全量程所有测量值引用误差（绝对值）的最大者，或者说所有测量值中最大绝对误差（绝对值）与量程的比值的百分数，用符号γmax表示。检测仪表的精度等级仪表的精度等级是根据引用误差来定义的，如0.5级表的引用误差不超过±0.5%，根据国家标准的规定，引用误差分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0共7个等级。检测仪表的精度等级由生产厂商根据其最大引用误差的大小并以选大不选小的原则就近套用上述精度等级。例如，量程为0~1000V的数字电压表，如果其整个量程中最大绝对误差为1.05V，则有该数字电压表的精度等级应为0.2级。检测仪表的工作误差工作误差是指检测仪表在额定工作下可能产生的最大误差范围，它也是衡量检测仪表的最重要的质量指标之一。根据国标的规定，工作误差通常直接用绝对误差表示。例题：被测电压实际值为21.7V，现有四种电压表，A表：1.5级、量程为0~30V；B表：1.5级、量程为0~50V；C表：1.0级、量程为0~50V；D表：0.2级、量程为0~360V；选用哪种规格的电压表测量时所产生的测量误差较小？被测电压实际值为21.7V，A表：1.5级、量程为0~30V；B表：1.5级、量程为0~50V；C表：1.0级、量程为0~50V；D表：0.2级、量程为0~360V；解：最大绝对误差A表：B表：C表：D表：检测仪表产生的测量误差不仅与所选仪表精度等级有关，而且与所选仪表的量程有关。通常测量值与量程差距越小，测量准确度越高。（要求示值落在仪表满刻度的三分之二以上）粗大误差的处理1、3

准则通常把3作为极限误差。如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值时，则可认为该值含有粗大误差，应舍弃。2、肖维勒准则该准则以正态分布为前提，假设多次重复测量得到的n个测量值中，某个测量值的残余误差，则舍弃该测量值。Zc值的选取与测量列的测量值个数n有关。3、格拉布斯准则该准则对于某个测量值的残余误差的绝对值，则判断此值中含有粗大误差，应剔除。G的确定与重复测量次数N和置信概率Pa有关，如下表所示。随机误差的处理假定对某个被测参量x0

（恒值）进行等精度重复测量n次，得到n个测量值x1,x2,……,xn，则各次测量值xi与真值x0的差即为随机误差δi=xi-x0，n次测量对应的随机误差分别为δ1,δ2,……

,δn。大量实验结果表明，在没有起决定性影响的误差源存在时，随机误差的分布多数都服从正态分布。1、随机误差的正态分布曲线单峰性有界性对称性x：测量值；y：概率密度；：标准差；L：数学期望；δ：随机误差，

δ=x-L不同均方根下正态分布曲线真值（或数学期望）标准差对测量系统而言，当测量次数n为无穷大时2、正态分布的随机误差的数字特征实际测量中，由于测量次数n也不能无穷大，所以真值x0无法知道。通常用多次测量值的算术平均值代替真值x0。各测量值与算术平均值的差值称为残余误差vi由残差可计算标准差的估计值

，即贝塞尔公式：设在相同条件下对被测量进行了m组的“多次测量”，即分别对每一组做n次测量，各组所得的算术平均值为每组的算术平均值并不相同，它也存在一个随机波动，但其波动范围比单次测量的波动范围要小。由误差理论可以证明，均值标准差正常情况下，每一组的都是不同值，但假设在不变的情况下，可以画出与n的如下关系曲线：由图中可以看出，随着n的增大，测量精度相应提高，但当测量次数达到一定值后（如n>10），下降很慢。所以单纯依靠增加测量次数很难无3、正态分布的概率计算限地提高精度，需要从其他方面考虑。一般取n=5~10。为了确定测量的可靠性，需要计算正态分布在不同区间的概率，分布曲线下的全部面积应等于总概率（即100%）。由残余误差表示的正态分布密度函数为由于是正态分布的特征参数，误差区间通常表示成的倍数，如t。由于正态分布的对称性特点，计算概率通常取成对称区间的概率，即测量结果的两种表示由上表可知，当t=1时，P=0.6827，即测量结果中随机误差出现在-~+间的概率为68.27%；当t=3时，即出现在-3~+3间的概率为99.73%。所以测量结果通常表示为如下两种例题有一组（10个）测量值为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求测量结果。解：首先根据测量值可计算出测量平均值：接着计算出标准差的估计值因此，测量结果可表示为：系统误差的处理从误差根源上消除系统误差系统误差：是由测量系统本身的缺陷或测量方法的不完善造成的，使得测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差。特点：系统误差不具有抵偿性，也不能通过重复测量来消除，因此在处理方法上与随机误差完全不同。处理原则：找出系统误差产生的根源，然后采取相应的措施尽量减小或消除系统误差。分析系统误差的产生原因一般从以下5个方面着手：所用测量仪表或元件本身是否准确可靠；测量方法是否完善；传感器或仪表的安装、调整、放置等是否正确合理；测量仪表的工作环境条件是否符合规定条件；测量者的操作是否正确。如读数时的视差、视力疲劳等都会引起系统误差。系统误差的发现与判别（1）实验对比法通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件下的测量，以发现系统误差适用于：发现固定的系统误差（2）残余误差观察法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律来判断有无变化的系统误差（3）准则检查法马利科夫准阿贝准则3、系统误差的消除要绝对地消除系统误差是不可能的（1）消除系统误差产生的根源测量前，仔细检查仪表，正确调整和安装；防止外界干扰的影响；选择好观测位置消除视差；选择环境条件较稳定时进行测量和读数。（2）在测量系统中采用补偿措施找出系统误差的规律，在测量过程中自动消除系统误差。（3）实时反馈修正当查明某种误差因素的变化对测量结果有明显的影响时，可尽量找出其影响测量结果的函数关系或近似函数关系，然后按照这种函数关系对测量结果进行实时的自动修正。（4）在测量结果中进行修正对于已知的系统误差，可以用修正值对测量结果进行修正；对于变值系统误差，设法找出误差的变化规律，用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正；对未知的系统误差，则归入随机误差一起处理。测量误差的传递

由于直接测量的结果有误差，由直接测量值经过计算得到的间接测量结果也会有误差，这就是误差的传递（也称为误差的合成）即已知被测量与各个参数的函数关系以及各个参数测量值的分项误差，求被测量的总误差。系统误差的传递

随机误差的传递

总的误差如果测量系统的系统误差与随机误差相互独立，则总的误差表示为

18.3测量不确定度测量不确定度是指对测量结果不确定性的评价，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，测量结果中所包含的测量不确定度用以表示被测量值的分散性。所有的不确定度分量均用标准差表征，它们或者由随机误差引起，或者由系统误差引起，都对测量结果的分散性产生相应的影响。测量不确定度的来源

测量不确定度常见的10项可能来源：被测量的定义不完整；被测量的定义复现不理想；抽样可能不完全代表定义的被测量；对环境条件的影响或测量程序的认识不足，或对环境条件的测量和控制不完善；模拟式仪器的读数偏差；测量仪器分辨力和鉴别阈值不够；计量标准器和标准物质不准确；用于数据计算的常量和其他参量不准确测量方法、测量系统和测量程序中的近似和假设；在表面上看来相同的条件下，被测量在重复观测中的变化。测量不确定度与误差的比较相同点：都是评价测量结果质量高低的重要指标，都可作为测量结果的精度评定参数。区别：从定义上讲，误差是测量结果与真值之差，它以真值或约定真值为中心；测量不确定度是以被测量的估计值为中心。因此误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量；而测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，是可以定量评定的。在分类上，误差按自身特征和性质分为系统误差、随机误差和粗大误差，并可采取不同的措施来减小或消除各类误差对测量结果的影响。但由于各类误差之间并不存在绝对界限，故在分类判别和误差计算时不易准确掌握。曲线拟合的最小二乘法2什么是最小二乘法3最小二乘法的求法1曲线拟合的问题

如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往节点上的函数值是由实验或观测得到的数据，这些函数值不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐，缺乏实用价值。

希望从给定的数据(xi,yi)出发,在某个函数类中寻求一个近似函数φ(x),

来拟合这组数据。要求所得的近似曲线能最好的反映数据的基本趋势，如图所示。一、问题的提法二、目的1曲线拟合的问题曲线拟合示意图

也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小.三、方法曲线拟合方法四、曲线拟合的问题设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为

求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必满足插值原则。这时没必要取φ(xi)=yi,而要使i=φ(xi)yi

总体上尽可能地小。这种构造近似函数的方法称为曲线拟合,称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。使最小最小二乘原则三、最小二乘原则（方法）1、定义：使“偏差平方和最小”的原则称为最小二乘原则。2、定义:按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法,称为最小二乘法。主要讨论线性最小二乘问题，基本提法是：在某个函数类Φ={φ0(x),φ1(x),…φn(x)}来寻求一个函数φ(x)

。是待定常数，

使其满足3、线性最小二乘问题的提法式中，