武汉理工大学信息工程学院电磁场与电磁波第2章

1.电场力、电场强度与电位4.电偶极子与磁偶极子重点：第2章电场、磁场与麦克斯韦方程5.麦克斯韦方程的导出及意义2.磁场力、磁感应强度与磁位7.电磁场的能量与坡印廷矢量3.洛伦兹力6.

电磁场中的三种电流以及电流连续性原理电磁学的基本定律电磁学三大实验定律库仑定律安培环路定律法拉第电磁感应定律电荷电场求解的基本方法库仑定律高斯定律电流磁场求解的基本方法毕奥-萨伐尔定律安培环路定律2.1电场力、电场强度与电位1.电场力库仑定律适用条件

两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;

无限大真空情况(式中F/m)可推广到无限大各向同性均匀介质中2.电场强度库仑定律还可以换一种方式来阐述：假定电荷q=1C，于是电场力即为q1对单位电荷的作用力,我们将这个特定大小的电场力称为电场强度矢量由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对静止的电荷之间的作用力，所以电场强度表示了电场力。结论如果电荷是沿一曲线连续分布的线电荷

线电荷密度定义为dq在空间产生的电场强度为整个线电荷在空间产生的电场强度为

如果电荷是沿一曲面连续分布的面电荷

面电荷密度定义为整个面电荷在空间产生的电场强度为

如果电荷在某空间体积内连续分布体电荷密度定义为整个体电荷在空间产生的电场强度为

解:轴对称场，圆柱坐标系。

例1.1.1

真空中有一长为L的均匀带电直导线，电荷线密度为,试求P

点的电场。带电长直导线的电场xx无限长直导线产生的电场平行平面场。3.电位已知试验电荷q在电场中的受力为在静电场中欲使试验电荷q处于平衡状态，应有一外力与电场力大小相等，方向相反，即于是，试验电荷q在静电场中由A点移动到B点时外力需做的功为我们将静电场内单位正电荷从A点移动到B点时外力所做的功称为点B和点A之间的电位差在自由空间，如果点电荷位于原点，原点到场点A的距离为RA原点到场点B的距离为RB，则B点和A点之间的电位差为积分表明，空间两点B和A之间的电位差只与场点所在位置有关，而与积分路径无关。因此，在静电场中可将下列左式改写成一个具有普遍意义的式子（右式）

得到空间一段线元上两端点间的电位差为若单位正电荷是从无穷远处出发移到B点的，则电位差为或写成可得电位与电场强度的关系为

此式提供了求解静电场中电场强度的一种方法，即把求解电场强度的问题变成先求解电位而后再通过微分关系求电场强度。一般情况下，用这种方法比直接求解电场强度要简便。由式（1.95）可知2.2磁场力、磁感应强度与磁位1.磁场力

当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，我们称其为磁场力。

假定一个电荷q以速度在磁场中运动，则它所受到磁场力为这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以用一个磁感应强度来描述。

2.磁感应强度

磁场的特征是能对运动电荷施力，其施力的情况虽然比较复杂，但我们可以用一个磁感应强度来描述它,即将其定义为一个单位电流受到另外一个电流的作用力。已知磁场力考虑磁场中载流线元的受力情况，由于

所以如图：电流元和之间的作用力为比较可得毕奥-萨伐尔定律

运用叠加原理，可得闭合回路1在空间所产生的磁感应强度上式是计算线电流周围磁感应强度的公式。磁感应强度的单位为牛顿/（安培米），在国际单位制中的单位为特斯拉。如果电流是分布在某一曲面上时，若面电流密度为，则面电流在空间产生的磁感应强度为

如果电流是分布在某一体积内时，若体电流密度为，则体电流在空间产生的磁感应强度为

当时，例

试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。解:

采用圆柱坐标系，取电流Idz，式中3.矢量磁位穿过某一曲面S的磁感应强度的通量称之为穿过该曲面的磁通量由毕奥-沙伐尔定律根据梯度规则上式中的被积函数变成根据高斯定律即利用矢量恒等式可得因为根据称为矢量磁位单位是韦伯/米根据库伦规范，有约束可得矢量磁位采用面电流密度表示采用体电流密度表示这表明整个积分为零，即4.标量磁位但在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，即标量磁位函数注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。即令对于恒定磁场，安培环路定律表明磁场是一个有旋场，在有电流处磁场的旋度不为零。

当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，我们称这样的合力为洛伦兹力。我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的定义式。即2.3洛伦磁力重要特性：电荷在电场中会受到力(称电场力)的作用。E取决于源(带电体)的电量、形状及分布情况,它可以是时变的点电荷产生的场及所受的力是计算其它复杂情况的基础电场实验证明：电场力大小与电荷所在位置的电场强度大小成正比，即：重要特性：在磁场中运动的电荷(电流)会受到力(称磁场力)的作用。磁感应强度矢量B:描述空间磁场的分布(大小和方向)。B的方向由磁场力和速度的方向确定。B取决于源(带电体)的电量、形状及运动分布情况磁场2.4电偶极子两个相距很近（距离为d）的等量异号点电荷+q与-q所组成的带电系统。式中和分别是两电荷到P点的距离。电偶极子的定义电偶极子在任意一点P的电位为如果两电荷沿z轴对称分布并且距离P点很远，于是近似的表示并且所以，P点电位变成当时，电偶极子平分面上的任意点处电位都为零。于是，在这个平面上如果将电荷从一点移动到另一点是没有能量损耗的。为了便于描述电偶极子，我们定义一个电偶极矩矢量，该矢量的大小为而其方向则由负电荷指向正电荷，即我们可以得到电偶极子在空间任意一点的电位为2.5磁偶极子

在定义磁偶极子之前，首先来分析一个闭合电流回路在空间所产生的磁场。正如电偶极子是常见的电场源的存在形式一样，闭合电流回路是磁场源的最常见形式。如图所示，在电流回路所产生的磁场中，任取一闭合回路

,设P是回路上的一点，则电流回路在P点处产生的磁感应强度为计算在回路上的闭合线积分有角的积分为所张立体因此，由上式可得根据势函数与有势场的对应关系，可得到空间一点P处的标量磁位与磁场强度的关系为P0是标量磁位的参考点当场源电流分布在有限区域内时，一般将参考点选在无穷远处，此时P点的标量磁位为可得空间任意点P的标量磁位为其中的是点P对电流回路所张的立体角因为一般情况下，求任意点P对回路面积的立体角并不很容易，但是当P点与回路的距离比起电流回路的尺寸大得多的时候立体角可以近似地表示为可得到电流回路在远区P点处产生的标量磁位其中是与的夹角。为了便于描述磁偶极子，我们定义一个磁偶极矩矢量经过整理可见，磁偶极子是根据电磁对偶性派生出来的一种概念。磁偶极子与电偶极子不同，它不能在物理上实现，在工程上它是一个载有交变电流的小圆环的等效模型。大小方向由确定即磁偶极子与电偶极子对比模型极距

电场与磁场电偶极子磁偶极子2.6由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程凡是矢量场，均有通量可言。电力线的数目就称为电通量。规定一个电荷q所产生的力线条数（即电通量）等于用库仑表示的电荷的大小。用符号表示球面上的电通量密度，即于是，通过整个球面的电通量为电通量密度与电场强度的关系为根据高斯定律可得麦克斯韦第一方程：或若闭合曲面所包围的电荷多于一个以上，则电通量关系应改写为并且电场强度穿出球面的电场强度通量为2.7由法拉第电磁感应定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第二方程法拉第电磁感应定律可得麦克斯韦第二方程：感应电动势闭合路径所包围的磁通根据斯托克斯定律2.8由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程磁通连续性原理可得麦克斯韦第三方程：穿过开表面积S的磁通根据高斯定律

作闭合曲线

c

与导线交链，根据安培环路定律●恒定磁场中的安培环路定律应用于时变场时的矛盾●麦克斯韦提出位移电流假说：在电容器两极板之间存在另一种电流，其值与传导电流i相等,即位移电流。经过S1面经过S2面2.9由安培环路定律与斯托克斯定律导出麦克斯韦第四方程1.传导电流、运流电流和位移电流自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成传导电流η为电阻率此式说明传导电流密度服从于欧姆定律(ohm’slaw)，并且传导电流为

形成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用，即使存在与其它粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微，可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。电荷在无阻力空间作有规则运动而形成运流电流假设存在一个电荷体密度为的区域，在电场作用下，电荷以平均速度v运动，在dt时间内，电荷运动的距离为dl则如果存在一个面积元dS，当运动电荷垂直穿过面积元时，dt时间内穿过的总电量为式中运流电流密度为通常，传导电流与运流电流并不同时存在。则穿过的电流为所以，运流电流为44则穿过闭合面S的位移电流为：电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成位移电流作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定律可知式中位移电流密度

传导电流与位移电流位移电流和传导电流的区别位移电流与传导电流两者相比，唯一共同点仅在于都可以在空间激发磁场，但二者本质是不同的：位移电流的本质是变化着的电场，而传导电流则是自由电荷的定向运动；传导电流在通过导体时会产生焦耳热，而位移电流则不会产生焦耳热；位移电流也即变化着的电场可以存在于真空、导体、电介质中，而传导电流只能存在于导体中位移电流的磁效应服从安培环路定理。2.电流连续性原理麦克斯韦假设，S面内自由电量q的增长应与穿出的位移电流相一致，并且若指定穿出S面的电流为正，则

在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则穿入的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量q的增加率，即于是可得即

此式称为电流连续性原理电流连续性原理表明：在时变场中，在传导电流中断处必有运流电流或位移电流接续。其中

通常，又将电流连续性原理称为全电流定律，该定理揭示了不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。麦克斯韦由此预言电磁波或

称为全电流密度

传导电流与位移电流散度定理所以电流连续性方程微分形式对于恒定电流则有由式2.85得：3.电流连续性方程解：忽略边缘效应和感应电场位移电流密度位移电流电场

例已知平板电容器的面积S

,相距d

,介质的介电常数，极板间电压u(t)。试求位移电流id；传导电流ic与id的关系是什么?

传导电流与位移电流定义自由空间用磁场强度表示的磁通密度为

则安培环路定律可写成

在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电流，即

其中4.麦克斯韦第四方程

麦克斯韦第四方程由斯托克斯定律得

即

或2.10微分形式的麦克斯韦方程组

将上面推导出的麦克斯韦方程列写在一起，就得到了微分形式的麦克斯韦方程组。或将电场与其场源——电荷密度联系了起来，实际上，它是库仑定律的另一种形式。

第一方程表明了随时间变化的磁场会产生电场——这是法拉第电磁感应定律的微分形式。

第二方程表明了在形成磁场的源中，不存在“点磁荷——磁力线始终闭合。

第三方程表明了产生磁场的源是电流或变化的电场——安培定律的另一种表现形式。

第四方程例2.2利用高斯定律，有Maxwell第一方程导出描述连个点电荷之间的受力关系的库仑定律。解，将

电荷放在原点，则此在周围空间产生的电场强度满足：由高斯散度定理得：在电荷附近的电荷q所受的作用力：2.11麦克斯韦方程的积分形式

根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯韦方程转化为积分形式的麦克斯韦方程。转化为其中引出了三个媒质特性方程以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方程）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组，又称为电磁场的完整方程组。其所以称为“完整”方程组，是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面——电场与磁场的相互关系，以及电场、磁场本身所具有的规律，和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。具体地说，第一方程表明，电场是有散度场，即电场可以由点源电荷所激发；第三方程表明，磁场为无散度场，即磁场不可能由单极磁荷所激发；而第二和第四方程则描述了电场与磁场相互依存、相互制约并且相互转化。例：试证明：由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程及电流连续性方程，可导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。证明：对第四方程两边取散度得：将电流连续性方程代入上式得同理：2.12麦克斯韦方程的时谐形式

时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场（time–harmonicfield）,简称时谐场。所谓时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的场。在线性系统中，一个正弦变化的源在系统中所有的点都将产生随时间按照同样规律（正弦）变化的场。对于时谐场，我们可以用相量分析获得单频率（单色）的稳态响应。

在直角坐标系中，电场强度矢量可用沿三个互为垂直的坐标轴的分量来表示，即其中的三个分量可表示为用复数的实部表示为即复数形式瞬时矢量

例将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（2）解：（1）由于（1）所以（2）因为故所以

例已知电场强度复矢量解其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量以电场旋度方程为例，代入相应场量的矢量，可得上式对任意t

均成立。令t＝0，得复矢量的麦克斯韦方程令ωt＝π/2，得即从形式上讲，只要把微分算子用代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程略去“.”和下标m运用上述规则，可将麦克斯韦方程改写为时谐形式微分形式的时谐表示积分形式的时谐表示

例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为式中

解：（1）因为故电场的复矢量为试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量磁场强度瞬时值2.13电磁场的能量与坡印廷矢量

电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印亭定理，坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。

由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程，该方程中包含了这样一项，它可以用电磁场