有限冲激响数字滤波器设计

第五章

有限冲激响应数字滤波器设计赵发勇zfy_72@163.com

序言

§5.1线性相位FIR滤波器的特性

§5.2窗口设计法（时间窗口法）

§5.3频率采样法

§5.4FIR数字滤波器的最优化设计

§5.5IIR与FIR数字滤器的比较

引言IIR数字滤波器和优缺点优点

可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。缺点

相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本也高。

引言输入输出的卷积关系为FIR数字滤波器的差分方程为对应的系统函数为比较可得：系数ai即为系统的单位抽样响应，无极点(或极点在原点)引言优点（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；（2）可得到多带幅频特性；（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；（5）无反馈运算，运算误差小。

稳定性及可实现和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点。语音处理，图象处理以及数据传输中具有重要的应用。引言缺点（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。5.1线性相位FIR滤波器的特点系统的频率响应包括幅频特性和相频特性。幅频特性反映了信号通过系统后各频率成分衰减情况。相频特性反映了信号的各频率成分经过系统后在时间上发生的位移情况。很多场合下，一个理想的离散时间系统（滤波器）除了具有希望的幅频特性外（如低通、高通、带通等），最好具有线性相位,即产生什么效果？若：其中k为常数也称线性相位5.1线性相位FIR滤波器的特点分析：现假设系统的幅频特性为1，考虑信号经过线性相位系统后的输出。设系统的输入序列为x(n)，则输出序列为y(n)的频率特性为由DTFT的性质可知输出序列此式说明，输出序列y(n)为输入序列为x(n)在时间上位移。结论当系统具有线性相位时，信号无失真（指无相位失真、有一定的延迟）。5.1线性相位FIR滤波器的特点定义系统的群延迟由上面的分析可知，线性相位的群延迟为一常数。可以将群延迟作为相频特性是否线性的度量，同时，它也表示了系统输出的延迟。5.1线性相位FIR滤波器的特点当FIR系统h(n)满足该系统具有线性相位。其中+表示偶对称，-表示奇对称(如图示)

。同时由于N可取奇或偶，共有四种情况，下面分析这四种情况下的线性相位特性和幅度特性。第一类FIR系统第二类FIR系统第三类FIR系统第四类FIR系统5.1线性相位FIR滤波器的特点h(n)=h(N-1-n)为偶对称h(n)=-h(N-n-1)为奇对称N为偶N为奇N为偶N为奇5.1线性相位FIR滤波器的特点1、且N为奇数5.1线性相位FIR滤波器的特点令则系统的频率响应5.1线性相位FIR滤波器的特点系统的相频特性为系统的幅度函数由定义可知，此时的FIR系统具有线性相位。令，则令则由于偶对称，因此对这些频率也呈偶对称。p2p05.1线性相位FIR滤波器的特点5.1线性相位FIR滤波器的特点２、h(n)=h(N-1-n),且N为偶数5.1线性相位FIR滤波器的特点令则系统的频率响应5.1线性相位FIR滤波器的特点系统的相频特性为系统的幅频特性为由定义可知，此时的FIR系统具有线性相位。令，则

或写为：

由于奇对称，所以对也为奇对称，且由于时，处必有一零点，因此这种情况不能用于设计时的滤波器，如高通、带阻滤波器。5.1线性相位FIR滤波器的特点5.1线性相位FIR滤波器的特点同理可求出N奇、偶时系统的相频特性分别为

通过以上分析可知，当FIRDF的抽样响应满足对称时，该滤波器具有线性相位，其中，当h(n)为奇对称时，通过滤波器的所有频率分量将产生90º的相移。下面讨论具有线性相位FIR滤波器零点分布及幅频响应问题5.1线性相位FIR滤波器的特点一、零点分析利用h(n)的对称性可知其中+表示偶对称，-表示奇对称。由上式容易可以看出H(Z-1)的零点也是H(Z)的零点。5.1线性相位FIR滤波器的特点①、情况一：分析：在这种情况下H（Z-1）的零点也是H（Z）的零点,即Zk为零点

，Zk-1也是零点,(两者称为单位圆镜像对称);同时,零点为复数，应当成对出现，即此时有四个互为倒数的两组共轭对零点，如下图所示：5.1线性相位FIR滤波器的特点②、情况二：分析：此时零点不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点,如下图所示：5.1线性相位FIR滤波器的特点③、情况三：分析：此时零点在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点，如下图所示：5.1线性相位FIR滤波器的特点④、情况四：分析：此时零点既在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以以单出现，且只有两种可能，zk=1或zk=-1。如下图所示：5.1线性相位FIR滤波器的特点通过以上分析可知，一个具有线性相位的FIRDF，其转移函数可表示为上述四情况的级联，即上述子传输函数分别对应四种情况下的一阶、二阶和四阶子系统。由于其均具有对称的系数，它们均为线性相位子系统。为实现H（Z）提供了方便，H（Z）各种情况下的零点位置示意图如下如所示。5.1线性相位FIR滤波器的特点5.1线性相位FIR滤波器的特点二、线性相位FIRDF幅频响应特点在一个FIR系统中，满足图5.3.1所示的对称性，称此进的H（Z）为镜像对称多项式（MIP），下面分析这引MIP在z=1或z=-1处幅频响应的特点。5.1线性相位FIR滤波器的特点第一类FIRDF(偶对称,N为奇)的特点：●恒相时延，相位曲线是过原点的直线。●H(1)=H(1),H(-1)=H(-1),即Z=-1和1(或零点和л点)都能保证5.3.1式成立,л点相当模拟频率ƒ

s／2，或者说模拟频率的最高频(高频端),因此,此类FIRDF可灵活设置低通\高通和带通滤波器.5.1线性相位FIR滤波器的特点第二类FIRDF(偶对称,N为偶)的特点：●恒相时延，相位曲线是过原点的直线。●H(1)=H(1),

H(-1)=-H(-1),即л点一定是幅度函数的零点,以保证对称性成立。л点是零点说明高端不通，所以这类FIR系统只能做低通和带通,不能设计高通和带阻滤波器.5.1线性相位FIR滤波器的特点第三类FIRDF(奇对称,N为奇)

的特点：●恒群时延，有л/2附加相移，相位曲线是截距为л/2、斜率为-(N-1)/2的直线。●对零频和л频均为奇对称,即H(1)=-H(1)，H(-1)=-H(-1)，所以零频和л频都必须是H(ω)的零点，以保证对称性。所以这类FIR系统只能做带通。5.1线性相位FIR滤波器的特点第四类FIRDF(奇对称,N为偶)的特点：●恒群时延，有л/2附加相移。相位曲线与第三类相同。●幅度曲线对原点奇对称，H(1)=-H(1)零频是的零点。幅度曲线对H(-1)=H(-1),即л点偶对称。所以这类FIR系统只能做高通和带通滤波器。5.1线性相位FIR滤波器的特点小结：线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。FIR滤波器设计的基本思想：

如果希望得到的滤波器的理想频率响应为，那么FIR滤波器的设计就在于寻找一个系统函数，频率响应去逼近

§5.2窗口设计法逼近方法有三种:①窗数设计法（时域逼近）②频率采样法(频域逼近）③最优化设计（最佳一致逼近、等波纹逼近）一、思路与方法：

如果希望得到的滤波器的理想频率响应为

，时间窗设计法是从单位冲响应序列着手，使设计的滤波器单位冲激响应h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)，hd(n)可以从理想频响通过傅里叶反变换获得§5.2窗口设计法如理想低通滤波器的单位冲激响应为:一般来说，理想频响是分段恒定，在边界频率处有突变点，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往是无限长序列、非因果的序列。但FIR的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。方法是：§5.2窗口设计法特点：

无限长非因果偶对称解决方法：截短移位保留

这种截取可想象为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)，因此这种方法称为窗函数法。h(n)也可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积，即h(n)=w(n)hd(n)。最简单的窗口函数就是矩形脉冲函数RN(n），后面我们还可看到,为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。

§5.2窗口设计法即：隐含着使用了窗函数1）由定义3）卷积插值§5.2窗口设计法设计步骤矩形窗口法则

以一个边界频率为ωc的线性相位理想低通滤波器为例,讨论FIR的设计问题。a.对于给定的理想低通滤波器，计算§5.2窗口设计法

这是一个以为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时应为h(n)长度N的一半,即理想特性的hd(n)和Hd(ω)如图所示。§5.2窗口设计法§5.2窗口设计法其中b.计算

c.计算。设为窗口函数的频谱:

用幅度函数和相位函数来表示，则有

其线性相位部分则是表示延时一半长度

§5.2窗口设计法对频响起作用的是它的幅度函数§5.2窗口设计法

理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式其中幅度函数为

两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有§5.2窗口设计法如果也以幅度函数和相位函数来表示H（ejω）,则实际FIR滤波器的幅度函数H（ω）为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。§5.2窗口设计法§5.2窗口设计法从四个特殊频率点看卷积结果§5.2窗口设计法窗函数对理想特性的影响：①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为4π/N，等于WR(ω)的主瓣宽度。（决定于窗长）②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强，与N无关。（决定于窗口形状）③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。

其中x=Nω/2,所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变WR（ω）的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。§5.2窗口设计法

改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。

但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。§5.2窗口设计法几种常用的窗函数（１）矩形窗：已讲过，不再重述§5.2窗口设计法(２)汉宁窗（Hanning、升余弦窗）0N-1/2N-11W(n)n利用DTFT的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数W(ω)可用矩形窗的幅度函数表示为：§5.2窗口设计法当Ｎ>>1,N-1≈N,则幅度函数近似为§5.2窗口设计法优点由于频谱是由三个互有频移的不同幅值的矩形窗函数相加而成，这样使旁瓣大大抵消，从而能量相当有效地集中在主瓣内。可达到减少肩峰，余振，提高阻带衰减。代价（缺点）主瓣加宽一倍，过滤带加大§5.2窗口设计法(３)汉明窗（改进的升余弦窗，Hamming）§5.2窗口设计法它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内，主瓣宽度与汉宁窗相同。(４)布莱克曼窗（二阶升余弦，Blackman窗）§5.2窗口设计法增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，为。增加N可减少过渡带。频谱的幅度函数为：§5.2窗口设计法图5.7四种常用的窗口函数§5.2窗口设计法四种窗函数的比较§5.2窗口设计法图5.8窗口函数的频谱N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|§5.2窗口设计法图5.9四种窗口函数在同一指标下设计滤波器的的频率特性例

用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,ωc=0.2πrad。§5.2窗口设计法解：1、根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)，由题意得§5.2窗口设计法2、选择适当的窗函数，计算滤波器的单位取样响应h(n)用矩形窗设计：用汉宁窗设计：用布莱克曼窗设计：§5.2窗口设计法3、设计出的滤波器频率响应用下式计算：§5.3频率采样设计法

窗函数设计法是从时域出发的一种设计法。工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计更直接。尤其对于Hd(ejw)公式较复杂，或Hd(ejw)不能用封闭公式表示而用一些离散值表示时，频率抽样设计法更为方便，有效。一、基本思想

使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。§5.3频率采样设计法§5.3频率采样设计法

令，则§5.3频率采样设计法

单位圆上的频响为：这是一个内插公式。其中为内插函数内插公式表明：在每个采样点上，逼近误差为零，频响严格地与理想频响的采样值H(k)相等；在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近，会产生肩峰和波纹。N增大，则采样点变密，逼近误差减小。§5.3频率采样设计法§5.3频率采样设计法图5.14频率采样的不同频率特性§5.3频率采样设计法1）确定并得到3）计算2）计算二、设计方法为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值H（k）要满足一定的约束条件。具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)是实序列，且满足，由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。相频响应分别满足§5.3频率采样设计法三、线性相位条件对称性满足：H(-1)=H(-1),H(-1)=-H(-1),H(-1)=-H(-1),H(-1)=H(-1)，即关于PI点奇对称或偶对称，可表示为

情况一:设计第一类线性相位FIR滤波器，即N为奇数，h(n)偶对称，则幅度函数(用H(ω)表示)应具有偶对称性：§5.3频率采样设计法三、线性相位条件

令则必须满足偶对称性：而必须取为：

情况二:设计第二种线性相位FIR滤波器，N为偶数，h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，§5.3频率采样设计法因此，Hk

也必须满足奇对称性：

相位关系同上，

其它两种线性相位FIR数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件。§5.3频率采样设计法①根据所设计滤波器的通带和阻带的要求,根据N为奇偶,按线性相位要求指定Hd(k).②计算和,求出所设计滤波器的频率响应。§5.3频率采样设计法综上所述，频率抽样法的设计步骤为例５.６：设计一个FIR数字LP滤波器，其理想特性为

采样点数N=33，要求线性相位。解：根据分析，能设计低通线性相位数字滤波器的只有1、2两种，因为N＝32为奇数，所以只能选择第一种。即h(n)=h(N-1-n)，因此，该系统幅频特性关于π偶对称，也即HK偶对称。利用HK的对称性,求π－2π区间的频响采样值。§5.3频率采样设计法根据指标要求，在0～2π内有33个取样点，所以第k点对应频率为而截止频率0.5π位于之间，所以，k=0～8时，采样值为1；根据对称性，故k=25～32时，采样值也为1，因k=33为下一周期，所以0～π区间有9个值为1的采样点，π～2π区间有8个值为1的采样点，因此：§5.3频率采样设计法

§5.3频率采样设计法N1=33;k1=0:(N1-1)/2;Wm1=2*pi*k1./N1;Ad1(1:(N1+1)/2)=1;Ad1(10:17)=0;Hd1=Ad1.*exp(-j*0.5*(N1-1)*Wm1);Hd1=[Hd1conj(fliplr(Hd1(2:(N1+1)/2)))];h1=real(ifft(Hd1));w1=linspace(0,pi-0.1,1000);H1=freqz(h1,[1],w1);plot(w1/pi,20*log10(abs(H1)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');ylabel('幅度/db');title('过渡带不设采样点');§5.3频率采样设计法§5.3频率采样设计法

从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔2π/33，而最小阻带衰减略小于20dB。

对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不能令人满意的。增大阻带衰减方法：1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带采样点H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔4π/33，重新计算的H(ejω)见图，其阻带衰减增加到约-40dB。§5.3频率采样设计法N1=33;k1=0:(N1-1)/2;Wm1=2*pi*k1./N1;Ad1(1:(N1+1)/2)=1;Ad1(11:17)=0;Ad1(10)=0.5;Hd2=Ad1.*exp(-j*0.5*(N1-1)*Wm1);Hd2=[Hd2conj(fliplr(Hd2(2:(N1+1)/2)))];h2=real(ifft(Hd2));w1=linspace(0,pi-0.1,1000);H2=freqz(h2,[1],w1);plot(w1/pi,20*log10(abs(H2)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');title('过渡带设一个采样点');§5.3频率采样设计法§5.3频率采样设计法

2）过渡带的优化设计

根据H(ejω)的表达式，H(ejω)是Hk的线性函数，因此还可以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择H9、H24,使通带或阻带内的最大绝对误差最小化。

要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达到最大），可计算得H9=0.3904。对应的H(ejω)的幅频特性，比H9=0.5时的阻带衰减大大改善,衰减超过40dB。如果还要进一步改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第三个不等于0的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些取样值。§5.3频率采样设计法

３）增大N,运算量增加

如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数N。例如，同样边界频率ωc=0.5π,以N=65采样，并在k=17和k=48插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值H17=H48=0.5886,在k=18、47处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值H18=H47=0.1065,这时得到的H(ejω)，过渡带为6π/65，而阻带衰减增加了20多分贝，达-60dB以上，当然，代价是滤波器阶数增加，运算量增加。§5.3频率采样设计法N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);Hd=[Hd

conj(fliplr(Hd(2:(N+1)/2)))];h=real(ifft(Hd));w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,[1],w);plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');title('过渡带设两个采样点，总采样点数提高一倍');§5.3频率采样设计法§5.3频率采样设计法图5.15过渡采样点不同的３个FIR滤波器设计实例§5.3频率采样设计法例5.7用频率采样法设计一个线性相位FIR带通滤波器，设N=32，理想频率特性为

解

N=32为偶数，按第二种线性相位FIR滤波器设计。频率间隔为上边界点k在9和10之间；下边界点k在3和4之间。§5.3频率采样设计法MATLAB程序如下:N=32;Hk=[zeros(1,4)ones(1,6)zeros(1,13)-ones(1,6)zeros(1,3)];k=0:N-1;hn=real(ifft(Hk.*exp(-j*pi*(N-1)*k/N)));[Hw]=freqz(hn,1);plot(w/pi,20*log10(abs(H)));axis([01-6010]);grid;xlabel('归一化频率/\pi')ylabel('幅度/dB')§5.3频率采样设计法§5.3频率采样设计法小结频率采样设计法优点：①

直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；②

适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。

缺点：截止频率难以控制。因频率取样点都局限在2π/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。§5.3频率采样设计法§5.4FIR数字滤波器的最优化设计

前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频率特性Hd(ejω)的逼近。说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好”“坏”的恒量标准不同，也会得出不同的结论。窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法，所需变量，然后再讨论其逼近特性。如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计。

§5.4FIR数字滤波器的最优化设计

最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波器最优化设计中，常用的准则有：①最小均方误差准则②最大误差最小化准则。①最小均方误差准则（最小平方逼近法）若以E(ejω)表示逼近误差，则

那么均方误差为均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误差，这一方法注重的是在整个-π－π频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点可能会有较大的误差，§5.4FIR数字滤波器的最优化设计

对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为：如果采用矩形窗则有可以证明，这是一个最小均方误差。其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大,或者说误差分布不均匀。§5.4FIR数字滤波器的最优化设计②最大误差最小化准则（最佳一致逼近法）表示为

其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值(或时域h(n)值)，在给定频带范围内使频响的最大逼近误差达到最小。也叫等波纹逼近。优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。§5.4FIR数字滤波器的最优化设计§5.4FIR数字滤波器的最优化设计设所希望的理想频率响应为

我们的任务是，寻找一，使其在通带和阻带内最佳一致逼近理想频响。

根据交错点组定理，如果H(ejw)是对Hd(ejw)的最佳一致逼近，那么其在通带和阻带内应具有如图5.19的等波动性质。所以最佳一致逼近有时又称等波动逼近。§5.4FIR数字滤波器的最优化设计图5.19等波动逼近的低通滤波器如图，用等波动逼近法设计滤波器需要确定五个参数：

N、ωp、ωs、δ1、δ2按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带

0ωωp

内以最大误差δ1

逼近零，在阻带ωsω内以最大误差δ2逼近零。要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法：

1）给定N、δ1、δ2，以ωp和ωs、为变量。

缺点：边界频率不能精确确定。

2）给定N、ωP和ωS，以δ1和δ2为变量，通过迭代运算，使逼近误差δ1和δ2最小，并确定h(n)——切比雪夫最佳一致逼近。特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。

§5.4FIR数字滤波器的最优化设计§5.4FIR数字滤波器的最优化设计式中为了保证设计的滤波器具有线性相位，仍应遵守h(n)的约束，为了讨论方便，现假设h(n)为偶对称，Ｎ为奇数，则

定义逼近误差函数：

上式中使用加权因数，是考虑在设计滤波器时对通带和阻带常要求不同的逼近精度，故乘以不同的加权函数。根据交错点组定理，Hg(ejω)在子集F上是对Hd(ejw)唯一最佳一致逼近的充要条件是:误差函数在F上至少呈现M十2个“交错”，使得§5.4FIR数字滤波器的最优化设计

如果已知在F上的M+2个交错频率,即

则有§5.4FIR数字滤波器的最优化设计上式变换为写成矩阵形式问题:

一是交错点组ωi事先是不知道的，这样当然无法求解方程式;二是直接求解方程组比较因难。(1)在频率子集F上均匀等间隔地选取M+2个极值点频率

§5.4FIR数字滤波器的最优化设计

为此，J.H.Mc