工程力学理论力学第4章

第四章平面任意力系

§4–1平面任意力系向作用面内一点简化

§4–2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

§4–3平面平行力系的平衡

§4–4物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念

§4–5考虑滑动摩擦时的平衡问题

静力学平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。[例]力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）基本概念：静力学§4-1平面任意力系向作用面内一点简化一、力线平移定理：把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来力对新作用点B的矩。[证]力力系静力学①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d

③力线平移定理是力系简化的理论基础。④同一平面内作用在点B的一个力F′和一个力偶矩为m的力偶可以合成一个大小和方向与力F′相同的作用在点A的合力F。说明：静力学一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系

（未知力系）

（已知力系）汇交力系力，

R'(主矢)，(作用在简化中心)

力偶系力偶，MO

(主矩)，(作用在该平面上)

二、平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩

大小：

主矢

方向：

简化中心:

与简化中心位置无关

[因主矢等于各力的矢量和]静力学（移动效应）主矢：静力学

大小：主矩MO

方向：方向规定+—

简化中心：与简化中心有关

（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）（转动效应）固定端（插入端）约束在工程中常见的雨搭车刀静力学固定端（插入端）约束说明

①认为Fi这群力在同一平面内;②将Fi向A点简化得一力和一力偶;③RA方向不定可用正交分力YA,XA表示;④YA,XA,MA为固定端约束反力;⑤YA,XA限制物体平动,

MA为限制转动。静力学简化结果：主矢

，主矩MO

，下面分别讨论。

②

=0,MO≠0

即简化结果为一合力偶,MO=M此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。①

=0，MO

=0，则力系平衡,下节专门讨论。

③

≠0,MO

=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

三、平面任意力系向简化的结果静力学④

≠0,MO

≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简

化为一个合力

。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置静力学结论：

平面任意力系的简化结果

：①合力偶MO

；②合力

合力矩定理：由于主矩而合力对O点的矩

———合力矩定理由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。静力学§4-2平面任意力系的平衡条件与平衡方程

由于=0为力平衡

MO=0为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为：

力系的主矢和主矩MO都等于零，即：

=0，MO

=0。力系平衡方程:所有各力对任选的两个直角坐标投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和也等于零。基本形式一矩式静力学

例1.

已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？解：①选AB梁研究②画受力图★单个物体的平衡问题P1m1mQABC例2.如图所示，水平梁AB，梁的A端固定在墙上，梁在B、C处受到铅垂载荷P、Q作用，已知P=5KN，Q=10KN，试求A点处的约束反力。静力学二矩式三矩式上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。条件：x轴不垂直于AB

的连线条件：A,B,C不在同一直线上例3.塔式起重机翻转问题如图所示塔式起重机的简图。已知机身重W，重心在C处；最大的起吊重量为P。各部分的尺寸如图。求能保证起重机不致翻转的平衡锤重Q大小。PQWCABbeadd 设有F1,F2…Fn

各平行力系，向O点简化得： 合力作用线的位置为： 平衡的充要条件为主矢=0

主矩MO

=0静力学§4-3平面平行力系的平衡平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。静力学所以平面平行力系的平衡方程为：二矩式条件：AB连线不能平行于力的作用线一矩式实质上是各力在x轴上的投影恒等于零，即 恒成立，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。静力学[例2]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m

求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：静力学§4-4物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念一、静定与超静定问题的概念我们学过：平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 三个独立方程，只能求三个独立未知数。力偶系平面任意力系当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）静力学[例]超静定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。静定（未知数三个）超静定（未知数四个）M静力学[例]二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。静力学物系平衡的特点：①物系静止②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）解物系问题的一般方法：

由整体局部（常用），由局部整体（用较少）静力学[例1]

已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为P时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？ 解：研究B静力学[负号表示力的方向与图中所设方向相反]再研究轮[例2]

已知:P=100N.AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m 且AB水平,ED铅垂,BD垂直于斜面；

求

?和支座反力？静力学解：研究整体画受力图选坐标列方程静力学再研究AB杆，受力如图静力学前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。[例]平衡必计摩擦

§4-5考虑滑动摩擦时的平衡问题按接触面的运动情况看：摩擦分为滑动摩擦滚动摩擦30静力学1）定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。（就是接触面对物体作用的切向约束反力）

2）状态：①静止：②临界：（将滑未滑）

③滑动：1.静滑动摩擦力所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N,②加大摩擦系数f

（μ—静滑动摩擦系数）（μ'—动摩擦系数）一、滑动摩擦定律31静力学2.动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）

大小： （无平衡范围）动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反 定律： （μ'与材料和表面情况有关而且与相对滑动速度有关，与接触面积大小无关。）3）特征： 大小： （平衡范围）满足静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反 定律： （μ只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）321.摩擦角：

①定义：当摩擦力达到最大值 时其全反力 与法线的夹角叫做摩擦角。 静力学②计算：二、摩擦角和自锁现象33静力学2.自锁现象

①定义：对于作用于物体的主动力，如果其合力的作用线在摩擦角以内，无论这个合力多大，物体总能保持静止，这种现象称为自锁。

当 时，永远平衡（即自锁）②自锁条件：34静力学摩擦系数的测定：OA绕O轴转动使物块刚开始下滑时测出a角，tan

a=μ,(该两种材料间静摩擦系数)③自锁应用举例35静力学36静力学

考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时可列出 的补充方程。其它解法与平面任意力系相同。只是平衡常是一个范围（从例子说明）。[例1]

已知：a=30º，G=100N，μ=0.2

求：①物体静止时，水平力Q的平衡范围。②当水平力Q=60N时，物体能否平衡？三、考虑滑动摩擦时的平衡问题37静