实变函数第一章2

第一节外测度第二章测度理论1.引言

其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1xi(1)Riemann积分回顾（分割定义域）新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用mEi

表示Ei

的“长度”问题：如何把长度,面积,体积推广?圆的面积内接正n边形的面积（内填）内接外切外切正n边形的面积（外包）达布上和与下和Riemann积分xi-1xi达布下和的极限下积分（内填）xi-1xi达布上和的极限上积分（外包）Jordan测度Jordan外测度（外包）Jordan可测Jordan内测度（内填）例：设E为[0,1]中的有理数全体，则E不Jordan可测由于任一覆盖[0,1]中的有理数全体的有限开覆盖也一定能覆盖除有限个点外的[0,1]，从而由于无理数在[0,1]中稠密，故任一开区间都不可能含在E内，从而所以，即E不Jordan可测([

())(

)(

(

)

]

)０１

([

]

)-ε０１1+ε2Lebesgue外测度(外包)为E的Lebesgue外测度。定义：，称非负广义实数与Jordan外测度比较：下确界：即：用一开区间列“近似”替换集合E例设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0

证明：由于E为可数集，再由ε的任意性知()

2.平面上的x轴的外测度为0思考：１.设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0思考：3.我们知道有理数与无理数在[0,1]上都稠密，问证明中

的开区间列是否覆盖了区间[0,1]由无理数集在[0,1]上稠密可知上面叙述的错误出在取，因为i的取定依赖于δ()

思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖[0,1]中的

有理数全体，则这有限个开区间也覆盖[0,1]

（除有限个点外）注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Ｃantor集的余集的构成区间）([

())(

)(

(

)

]

)０１注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列5.对Lebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）（2）Lebesgue外测度的性质(b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。（b）单调性：（a）非负性：，当E为空集时，（C）次可数可加性证明：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间{Inm}列近似替换An）注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界由的ε任意性，即得注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。若d(A,B)>0,则例证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广对任意区间，有例：Cantor集的外测度为0。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集证明：令第n次等分后留下的闭区间为第二节可测集合第二章测度理论Lebesgue外测度(外包)次可数可加性(即使Ａn两两不交)即：用一开区间列“近似”替换集合E1.可测集的定义注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。EEcT∩ET∩Ec（Caratheodory条件），则称E为Lebesgue可测集，此时E的外测度称为E的测度，记作例：零集E必为可测集即E为可测集。2.Lebesgue可测集的性质证明：(充分性）(必要性)令（a）集合E可测（即）即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；（b）若A,B,Ai

可测，则下述集合也可测

注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得若Ai两两不交，则（测度的可数可加性）若A,B可测，则有可减性可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；也可测。若可测已证明，则易知易知Ac可测证明：由可测集的定义：(1)(2)(3)(4)ＴBA下面证明若A,B可测，

则可测下面证明若Ai两两不交，则例：设[0,1]中可测集A1,A2,…,An满足条件

则必有正测度。注：左边的极限是集列极限，而右边的极限是数列极限，

(b)中的条件不可少(a)若An是递增的可测集列，则(b)若An

是递减的可测集列且如An=(n,+∞)（

n单调可测集列的性质注：若An是递减集列，若An是递增集列，第三节开集的可测性第二章测度理论注：开集、闭集既是型集也是型集；

有理数集是型集，但不是型集；

无理数集是型集，但不是型集。有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余型集与型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）例区间是可测集，且注：零集、区间、开集、闭集、型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。证明见书本p662.可测集与开集、闭集的关系即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取F=Gc，则F为闭集(1).若E可测，则

证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知从而（这里用到mE<+∞）对每个Ei应用上述结果(2)当mE=+∞时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：例证明：对任意的1/n，例：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小测度集的开集和闭集。

开集:(0,1)

闭集：开集：闭集：空集3.可测集与集和集的关系

可测集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若E可测，则存在型集H,使(1).若E可测，则存在型集O,使(1).若E可测，则存在型集O,使(2).若E可测，则存在型集H,使证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取H=Oc，则H为型集，且(1).若E可测，则存在型集O,使证明：对任意的1/n，

例：例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的型集或型集。设E为