2023年最全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义:一般地，假如是常数,，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴．(2)函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.3.二次函数的图像是对称轴平行于（涉及重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式,其中.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①；②;③;④;⑤.6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点．①的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上；当时,开口向下；相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于轴(或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,假如二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1）公式法:,∴顶点是，对称轴是直线.(2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为（,),对称轴是直线.（3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才干做到万无一失．9．抛物线中，的作用（1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全同样.(2）和共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线的对称轴是直线,故：①时,对称轴为轴;②(即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号)时,对称轴在轴右侧.（3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时,，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0,）：①，抛物线通过原点;②，与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.10.几种特殊的二次函数的图像特性如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴)（0,０)（轴）（0,)(，0）(,）（)1１.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式:.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2）顶点式:．已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式:.12.直线与抛物线的交点（１)轴与抛物线得交点为(0,).(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(３）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是相应一元二次方程的两个实数根．抛物线与轴的交点情况可以由相应的一元二次方程的根的判别式鉴定:①有两个交点抛物线与轴相交;②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.（4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3）同样也许有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等,设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来拟定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故第二部分典型习题1.抛物线ｙ=ｘ2+２ｘ-2的顶点坐标是(D）A.(2,-2）B.（1，-2)C.（1，-３）D.(-1，－3）２.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论对的的是(C)Ａ.ａｂ>０,c＞0Ｂ．aｂ＞０，c＜0Ｃ．aｂ<０,c>０D.ab＜0，ｃ<0第２，３题图第４题图３.二次函数的图象如图所示,则下列结论对的的是(D）Ａ.a>0,b<０,c＞0B.a＜0，b<0，c>0Ｃ．a<0,b＞０,ｃ<0D．ａ<0,ｂ＞0，c>0４．如图，已知中,ＢＣ=8,BC上的高,D为BC上一点，,交AB于点E，交ＡＣ于点F(EF但是Ａ、B），设Ｅ到BＣ的距离为，则的面积关于的函数的图象大体为(D）5.抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4．６.已知二次函数与x轴交点的横坐标为、(）,则对于下列结论:①当x＝－2时，y＝１；②当时,y>０;③方程有两个不相等的实数根、；④,;⑤，其中所有对的的结论是①③④（只需填写序号）.7.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.（1)若该抛物线过点Ｂ,且它的顶点Ｐ在直线上，试拟定这条抛物线的解析式;(2)过点B作直线BC⊥ＡＢ交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试拟定直线的解析式.解：(1)或将代入，得．顶点坐标为,由题意得，解得.（2)8.有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为,且是x的二次函数，已知输入值为,0，时,相应的输出值分别为５，,.(1）求此二次函数的解析式；(２）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围.解：（1)设所求二次函数的解析式为，yOx则,即,解得yOx故所求的解析式为:.(2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值为正数时,输入值的取值范围是或.第9题9．某生物爱好小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,并且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：第9题⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶爱好小组又在研究中发现，图中10时到２２时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式.解:⑴第一天中，从４时到１6时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要1２小时⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶10.已知抛物线与ｘ轴交于A、B两点，与y轴交于点C.是否存在实数ａ,使得△ABC为直角三角形．若存在,请求出a的值；若不存在,请说明理由.解:依题意，得点Ｃ的坐标为（０，4）.设点Ａ、Ｂ的坐标分别为（,0），（，0）,由,解得,．∴点A、Ｂ的坐标分别为（-３,0),(，0）．∴,，．∴，,．〈ⅰ〉当时，∠ACB=９0°.由,得.解得．∴当时，点Ｂ的坐标为(,０),，，.于是.∴当时，△ABC为直角三角形.〈ⅱ〉当时，∠ABC=９0°.由,得.解得.当时，，点Ｂ（-3，0)与点A重合,不合题意.〈ⅲ〉当时，∠BAC=90°.由,得.解得.不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当时，△ABC为直角三角形．11.已知抛物线y＝-x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝,试求m的值;（2)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNＣ的面积等于27，试求ｍ的值.解:(1）A（x1，0）,Ｂ(x2,０).则x1，x2是方程x2-ｍx＋m－２=０的两根．∵ｘ1+x2＝m,ｘ1·ｘ2=m－2<0即m＜2；又AB=∣ｘ1—x2∣＝,∴m2－４m+3＝０.NMCxyO解得:m＝1或NMCxyO(２)M(a，ｂ）,则Ｎ(-a,－b).∵M、N是抛物线上的两点,∴①+②得:-2ａ2-2m+４＝0.∴ａ2＝－m+2．∴当ｍ<２时，才存在满足条件中的两点Ｍ、Ｎ.∴.这时Ｍ、N到ｙ轴的距离均为,又点C坐标为(0，2－m），而S△MNC=27,∴２××（2－m)×=２7.∴解得m=－７.12.已知:抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0).(1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;(２）D是抛物线与ｙ轴的交点,C是抛物线上的一点,且以ＡB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；(3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，假如点E在（２)中的抛物线上，且它与点Ａ在此抛物线对称轴的同侧，问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．解法一:（1）依题意，抛物线的对称轴为x=-2．∵抛物线与x轴的一个交点为A（-1,0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3,０）.(2）∵抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0)，∴．∴ｔ=3a．∴.∴Ｄ（０,3a）．∴梯形ABＣD中,AB∥CD,且点C在抛物线上，∵C(-4，3a）.∴AB＝2,CD＝4．∵梯形AＢＣD的面积为9，∴.∴.∴a±1.∴所求抛物线的解析式为或.（3)设点Ｅ坐标为（，）.依题意，,,且．∴.①设点E在抛物线上，∴.解方程组得∵点Ｅ与点A在对称轴x＝－２的同侧，∴点E坐标为（,）．设在抛物线的对称轴ｘ=-2上存在一点Ｐ,使△APＥ的周长最小．∵AE长为定值,∴要使△APE的周长最小,只须ＰA＋PE最小.∴点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3,0)，∴由几何知识可知，P是直线ＢE与对称轴ｘ＝-2的交点.设过点Ｅ、Ｂ的直线的解析式为,∴解得∴直线BE的解析式为．∴把x=-２代入上式,得．∴点Ｐ坐标为(-2,）．②设点E在抛物线上,∴．解方程组消去,得.∴△<0.∴此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P（-2，），使△APE的周长最小．解法二：（1)∵抛物线与ｘ轴的一个交点为A(－1,0),∴.∴t＝3a.∴.令y＝0,即．解得，．∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(－3，0）．(2)由,得D（0，３a）.∵梯形ABCD中，AB∥CＤ，且点C在抛物线上，∴C(-4,3a)．∴AB＝2，CD=4．∵梯形ABＣD的面积为9,∴．解得OＤ=３．∴．∴ａ±1.∴所求抛物线的解析式为或.(3）同解法一得，P是直线ＢE与对称轴x=-2的交点．∴如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q.设对称轴与ｘ轴的交点为Ｆ．由ＰF∥ＥQ，可得．∴.∴.∴点P坐标为（-２,).以下同解法一.1３．已知二次函数的图象如图所示.(１）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．（2)若点Ｎ为线段BM上的一点，过点Ｎ作x轴的垂线，垂足为点Q．当点Ｎ在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合),设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;（3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Ｐ的坐标;若不存在,请说明理由;（4）将△OAC补成矩形，使△OAＣ的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程)．解：（1)设抛物线的解析式,∴.∴．∴.其顶点Ｍ的坐标是.（2）设线段BM所在的直线的解析式为，点N的坐标为Ｎ(ｔ，h)，∴.解得,.∴线段BM所在的直线的解析式为．∴,其中.∴．∴ｓ与t间的函数关系式是,自变量t的取值范围是.（3）存在符合条件的点P，且坐标是，．设点P的坐标为P，则.，．分以下几种情况讨论：i)若∠PAC＝９0°，则.∴解得：,（舍去）.∴点.ｉｉ）若∠PCA＝９0°,则．∴解得：(舍去).∴点.iiｉ）由图象观测得,当点Ｐ在对称轴右侧时,,所以边ＡC的对角∠APC不也许是直角.(4）以点O,点A(或点Ｏ，点C）为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边ＯA(或边ＯＣ）的对边上,如图a，此时未知顶点坐标是点D(-1,－2)，以点Ａ,点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边ＡＣ的对边上,如图b，此时未知顶点坐标是E，Ｆ．图ａ图b１4.已知二次函数的图象通过点（１,－1).求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与ｘ轴的交点的个数.解:根据题意，得a-２=-1.∴a=1．∴这个二次函数解析式是.由于这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是（０，-２)，所以该函数图象与x轴有两个交点.15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶1１000的比例图上，跨度AB＝5cｍ，拱高OC=0.9cm,线段DＥ表达大桥拱内桥长,ＤE∥AB，如图（1)．在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴，以1cｍ作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2)．（1)求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;(2）假如DE与AB的距离OM=0.４5cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:,计算结果精确到1米）．解：（1)由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为．由于点A（，0）（或B（,0))在抛物线上,所以，得．因此所求函数解析式为．（2）由于点Ｄ、E的纵坐标为，所以,得.所以点Ｄ的坐标为（,)，点Ｅ的坐标为（，）．所以.因此卢浦大桥拱内实际桥长为(米）.１6.已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是x轴正半轴上的两点,点A在点B的左侧,如图．二次函数(a≠0)的图象通过点A、B,与y轴相交于点C.(1）a、c的符号之间有何关系?（2）假如线段OC的长度是线段ＯA、OＢ长度的比例中项,试证a、c互为倒数；(3）在（2）的条件下，假如b=-4，,求ａ、ｃ的值．解:（１）a、c同号.或当a>0时,c>０；当a＜０时，c＜0.（２)证明：设点A的坐标为（,0)，点B的坐标为（,0)，则．