电路与电子技术基础第11章(海大)

第十一章数制、编码与逻辑代数11.1数制与数制转换11.1.1数制11.1.2数制间的转换11.2二进制数的编码11.2.1二—十进制编码(BCD码)11.2.2字符编码11.2.3奇偶校验码11.3逻辑代数11.3.1基本逻辑11.3.2基本逻辑运算11.3.3逻辑函数与真值表11.3.4逻辑函数的基本定理11.3.5三个规则11.3.6常用公式11.3.7逻辑函数的标准形式11.4逻辑函数的化简11.4.1代数化简法11.4.2图解法(卡诺图法)11.4.3卡诺图法化简11.4.4具有约束项的逻辑函数化简本节要求：会用逻辑代数的基本运算法则及卡诺图化简逻辑函数第三节逻辑代数

逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。

逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系。这是它与普通代数的本质区别。1.基本逻辑三种基本逻辑：“与”、“或”、“非”①“与”逻辑

S1

S2电源灯亮合合111灭断合001灭合断010灭断断000灯开关S2开关S1PBAAPB&APBAPB

S1

S2电源灯

S1

S2电源灯②“或”逻辑亮合合111亮断合101亮合断110灭断断000灯开关S2开关S1PBA③“非”逻辑

R电源S

灯合1灭0亮1断0灯开关SPA

S1

S2电源灯

S1

S2电源灯≥1+APBAPBAPB1APAPAP2.基本逻辑运算三种基本逻辑：逻辑加、逻辑乘、逻辑非①逻辑加（“或”—“OR”运算）②逻辑乘（“与”—“AND”运算）③逻辑非（“非”—“NOT”运算）2.复合逻辑运算由基本逻辑运算构成的逻辑运算。①逻辑与非（“与非”—“NAND”运算）逻辑与非就是“与”逻辑运算和“非”逻辑运算的复合。它是先将输入变量进行“与”运算，然后进行“非”运算。ABP001011101110ABP001010100110②逻辑或非（“或非”—“NOR”运算）逻辑或非就是“或”逻辑运算和“非”逻辑运算的复合。它是先将输入变量进行“或”运算，然后进行“非”运算。③逻辑与或非（“与或非”—“AND-OR-INVERT”运算）逻辑与或非就是“与”和“或非”逻辑运算的复合。先将输入变量进行逻辑“与”运算，然后进行“或非”运算。ABCDP00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110④逻辑异或和逻辑同或逻辑“异或”和逻辑“同或”是只有两个输入变量的逻辑函数。“异或”指当两个输入变量取值相异时，输出为“1”，否则为“0”。记为：“同或”是“异或”的反函数，即当两个输入变量取值相同时，输出为“1”，否则为“0”。记为：ABP000011101110ABP001010100111（1）常量与变量的关系1.逻辑代数运算法则（2）逻辑代数的基本运算法则自等律0-1律重叠律还原律互补律交换律普通代数不适用！证:结合律分配律

A+1=1

AA=A.110011111100反演律列状态表证明：AB00011011111001000000方程两边的结果一样，等式成立吸收律A+AB=AA(A+B)=A对偶式对偶关系：

将某逻辑表达式中的与(•)换成或

(+)，或(+)换成与(•)，得到一个新的逻辑表达式，即为原逻辑式的对偶式。若原逻辑恒等式成立，则其对偶式也成立。证明：A+AB=A对偶式对偶式2.逻辑函数的表示方法表示方法逻辑式逻辑状态（真值）表逻辑图卡诺图下面举例说明前三种表示方法。例1：有一T形走廊，在相会处有一路灯，在进入走廊的A、B、C三地各有控制开关，都能独立进行控制。任意闭合一个开关，灯亮；任意闭合两个开关，灯灭；三个开关同时闭合，灯亮。设A、B、C代表三个开关（输入变量）；Y代表灯（输出变量）。设：开关闭合其状态为“1”，断开为“0”；灯亮状态为“1”，灯灭为“0”。解：

方法1：列逻辑状态（真值）表用输入、输出变量的逻辑状态（“1”或“0”）以表格形式来表示逻辑函数。三输入变量有八种组合状态n输入变量有2n种组合状态

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111方法2：逻辑式取Y=“1”(或Y=“0”)列逻辑式取Y=“1”用“与”“或”“非”等运算来表达逻辑函数的表达式。由逻辑状态表写出逻辑式对应于Y=1，若输入变量为“1”，则取输入变量本身；若输入变量为“0”则取其反变量。一种组合中，输入变量之间是“与”关系，

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111各组合之间是“或”关系

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111方法3：逻辑图YCBA&&&&&&&>1CBA

由逻辑状态表直接写出的逻辑式及由此画出的逻辑图，一般比较复杂；若经过简化，则可使用较少的逻辑门实现同样的逻辑功能。从而可节省器件，降低成本，提高电路工作的可靠性。利用逻辑代数变换，可用不同的门电路实现相同的逻辑功能。化简方法公式法卡诺图法3.逻辑函数的化简（1）用“与非”门构成基本门电路①应用“与非”门构成“与”门电路AY&B&由逻辑代数运算法则：②应用“与非”门构成“或”门电路BAY&&&由逻辑代数运算法则：&YA③应用“与非”门构成“非”门电路④用“与非”门构成“或非”门YBA&&&&由逻辑代数运算法则：（2）应用逻辑代数运算法则化简①并项法例2：化简解：②配项法例3：化简解：③加项法例4：化简解：④吸收法吸收例5：化简解：（3）应用卡诺图化简卡诺图:是与变量的最小项对应的按一定规则排列的方格图，每一小方格填入一个最小项。

①最小项：对于n输入变量有2n种组合,其相应的乘积项也有2n个，则每一个乘积项就称为一个最小项。其特点是每个输入变量均在其中以原变量和反变量形式出现一次，且仅一次。三个变量，有8种组合，最小项就是8个，卡诺图也相应有8个小方格。如：三个变量时，、、、是最小项；而、不是最小项。

②卡诺图BA0101二进制数对应的十进制数编号2个变量时BA0101BA010100011011

②卡诺图3个变量时BCA0010011110BCA0010011110BCA0010011110000001011010100101111110注意其布置

②卡诺图AB00011110CD00011110注意：AB、CD的排列4个变量时

②卡诺图5个及以上变量的逻辑函数式用卡诺图化简没有太多的优势5个变量时卡诺图中的相邻项BA0101

2个相邻项的特点：

只有一个变量不同，且互为相反。这样通过提取公因式后，可消除该变量。例:

相邻项：①物理位置相邻的项；②虚线对折后的重叠项。BCA0010011110相邻项：①物理位置相邻的项；②虚线对折后的重叠项。相邻项卡诺图中的相邻项相邻项相邻项相邻项：①物理位置相邻的项；②虚线对折后的重叠项。卡诺图中的相邻项AB00011110CD00011110③卡诺图的画法（a）根据状态表画出卡诺图ABC00100111101111将输出变量为“1”的填入对应的小方格,为“0”的可不填。

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111例如：（b）根据逻辑式画出卡诺图ABC00100111101111如:注意：如果逻辑式不是由最小项构成，一般应先化为最小项，或按例8方法填写（详后）。③卡诺图的画法将逻辑式中的最小项分别用“1”填入对应的小方格。④应用卡诺图化简逻辑函数步骤（a）卡诺图（b）合并最小项（c）写出最简“与或”逻辑式应用卡诺图化简逻辑函数的步骤ABC00100111101111例6：用卡诺图表示并化简下式。将取值为“1”的相邻小方格圈成圈。所圈取值为“1”的相邻小方格的个数应为2n，(n=0,1,2…)，即2个、4个、8个、等。解：（a）画出卡诺图（b）合并最小项ABC001001111011113个圈最小项分别为：合并最小项的过程如下：（c）写出简化逻辑式卡诺图化简法：保留一个圈内最小项的相同变量，而消去相反变量。00ABC100111101111解（1）：写出简化逻辑式多余例7：应用卡诺图化简逻辑函数（1）（2）每画1个圈必须有新元素解（2）：写出简化逻辑式AB00011110CD000111101111相邻（2）解：写出简化逻辑式AB00011110CD0001111011111111注意：

①圈的个数应最少；

②每个“圈”要最大；

③每个“圈”至少要包含一