理论力学-第3章new LWG 2003

第3章静力学平衡问题

第1篇工程静力学基础2023年2月5日

基于平衡概念，应用力系等效与力系简化理论，本章将讨论力系平衡的充分与必要条件，在此基础上导出一般情形下力系的平衡方程。并且将力系的平衡方程应用于各种特殊情形，特别是各力作用线位于同一平面被称为平面力系的情形。

第3章力系的平衡

刚体系统的平衡问题是所有机械和结构静力学设计的基础。分析和解决刚体系统的平衡问题，必须综合应用第1、2章中的基本概念、原理与基本方法，包括：约束、等效、简化、平衡以及受力分析等等。

本章还将对桁架杆件的受力分析以及考虑摩擦时的平衡问题作简单介绍。

平面力系平衡方程及其在刚体与简单刚体系统中的应用，是本章的重点。

第3章力系的平衡

平衡与平衡条件任意力系的平衡方程平面力系的平衡方程

结论与讨论平衡方程的应用刚体系统平衡问题平面静定桁架的静力分析

考虑摩擦时的平衡问题

第3章力系的平衡

平衡与平衡条件返回平衡与平衡条件平衡的概念平衡的必要条件平衡与平衡条件平衡的概念

物体相对惯性参考系静止或作等速直线运动，这种状态称为平衡。平衡是运动的一种特殊情形。

平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参考系的，相对于太阳系的参考系则是不平衡的。本章所讨论的平衡问题是以地球（将固联其上的参考系视为惯性参考系）作为参考系的。

工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统，这种系统称为刚体系统。刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。

平衡的概念重要概念：

整体平衡，局部必然平衡整体平衡与局部平衡平衡与平衡条件平衡的概念对于刚体：平衡与平衡条件平衡的概念整体的概念:由二个或二个以上刚体组成的系统。对于变形体：平衡与平衡条件平衡的概念整体的概念:单个物体，或者由二个以及二个以上物体组成的系统CFR2FR1FR1´FRAxFRAy平衡与平衡条件平衡的概念FR1

´FRAxFRCxFRAyFRCy

局部对于刚体：组成系统的单个刚体或几个刚体组成的子系统。FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2

局部

对于变形体：组成物体的任意一部分。FP1FP2FP3M1q(x)x平衡与平衡条件平衡的概念平衡与平衡条件平衡的概念FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2dxq(x)FQ(x)M(x)

局部

对于变形体：组成物体的任意一部分。平衡与平衡条件平衡的概念

局部

对于变形体：组成物体的任意一部分。平衡与平衡条件平衡的必要条件平衡与平衡条件平衡的必要条件

力系的平衡是刚体和刚体系统平衡的必要条件。

力系平衡的条件是，力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。因此，如果刚体或刚体系统保持平衡，则作用在刚体或刚体系统的力系主矢和力系对任一点的主矩都等于零。FR—主矢；

MO—对任意点的主矩平衡与平衡条件平衡的必要条件

第3章力系的平衡

任意力系的平衡方程返回任意力系的平衡方程平衡方程的一般形式yzxOF1FnF2M2M1Mn

对于作用在刚体或刚体系统上的任意力系，平衡方程的一般形式任意力系的平衡方程平衡条件的投影形式为

任意力系的平衡方程平衡方程的一般形式

略去所有表达式中的下标i，空间任意力系平衡方程可以简写为任意力系的平衡方程平衡方程的一般形式

上述方程表明，平衡力系中的所有力在直角坐标系各轴上投影的代数和都等于零；同时，平衡力系中的所有力对各轴之矩的代数和也分别等于零。任意力系的平衡方程平衡方程的一般形式

上述6个平衡方程都是互相独立的。这些平衡方程适用于任意力系。只是对于不同的特殊情形，例如包括平面力系、力偶系以及其他特殊力系，其中某些平衡方程是自然满足的，因此，独立的平衡方程数目会有所不同。任意力系的平衡方程空间力系的特殊情形任意力系的平衡方程空间力系的特殊情形

对于力系中所有力的作用线都相交于一点的空间汇交力系，上述平衡方程中三个力矩方程自然满足，因此，平衡方程为：任意力系的平衡方程空间力系的特殊情形

对于力偶作用面位于不同平面的空间力偶系，平衡方程中的三个力的投影式自然满足，其平衡方程为：任意力系的平衡方程空间力系的特殊情形

对于力系中所有力的作用线相互平行的空间平行力系,若坐标系的轴与各力平行，则上述6个平衡方程中自然满足。于是,平衡方程为：

第3章力系的平衡

平面力系的平衡方程返回平面力系的平衡方程平面力系平衡方程的一般形式平面力系的平衡方程平面力系平衡方程的一般形式

所有力的作用线都位于同一平面的力系称为平面任意力系（arbitraryforcesysteminaplane）。这时，若坐标平面与力系的作用面相一致，则任意力系的6个平衡方程中，自然满足，且yxzOyxzO力对轴之矩与力对点之矩的关系Mz(F)=Fxyd

Fxy=Fcos力对点之矩与力对轴之矩力对轴之矩Fx=0,MO=0Fy=0,平衡方程的一般形式任意力系的平衡方程

于是，平面力系平衡方程的一般形式为：

其中矩心O为力系作用面内的任意点。yxzO平面力系的平衡方程平面力系平衡方程的其他形式平面力系的平衡方程平面力系平衡方程的其他形式上述平面力系的3个平衡方程中的

可以一个或两个都用力矩式平衡方程代替，但所选的投影轴与取矩点之间应满足一定的条件。Fx=0,MO=0Fy=0,Fx=0Fy=0yxzO平面一般力系平衡方程的其他形式：Fx=0,MA=0,MB

=0。BAxA、B连线不垂直于x轴任意力系的平衡方程平面力系平衡方程的其他形式

这是因为，当上述3个方程中的第二式和第三式同时满足时，力系不可能简化为一力偶（否则两者不可能为零），只可能简化为通过AB两点(?)的一合力或者是平衡力系。

但是，当第一式同时成立时，而且AB与x轴不垂直，力系便不可能简化为一合力FR，否则，力系中所有的力在x轴上投影的代数和不可能等于零。因此原力系必然为平衡力系。FR平面一般力系平衡方程的其他形式：MA=0，

MB

=0,MC=0。CBAA、B、C三点不在同一条直线上任意力系的平衡方程平面力系平衡方程的其他形式

因为，当式中的第一式满足时，力系不可能简化为一力偶，只可能简化为通过A点的一个合力FR。同样如果第二、三式也同时被满足，则这一合力也必须通过B、C两点。（力偶是自由矢量，对每点都相同）CFR

但是由于A、B、C三点不共线，所以力系也不可能简化为一合力。因此，满足上述方程的平面力系只可能是一平衡力系。

第3章力系的平衡

平衡方程的应用返回单个刚体的平衡问题

基本步骤：1画出刚体的受力分析图2选用合理的平衡方程组3运用数学知识进行未知量求解例题1

图示结构，若FP

和

l

已知，确定四种情形下的约束力lACBllFPllACBl第一种情形第二种情形M=FPl平衡方程的应用例题

1lllFPACBD第三种情形第四种情形lllACBDM=FPl平衡方程的应用

图示结构，若FP

和l

已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用dDBlACllFPFAyFAxFBClACBllFP第一种情形D

图示结构，若FP

和l已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用MA(F)=0:FBCd-FP2l=0dDBlACllFPFAyFAxFBC第一种情形

图示结构，若FP

和l

已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用MB(

F)=0

-

FAy

l-

FPl=0FAy=-

FPdDBlACllFPFAyFAxFBC第一种情形

图示结构，若FP

和l已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用Fx=0FAx+FBCcos=0FAx=-2FPdDBlACllFPFAyFAxFBC第一种情形

图示结构，若FP

和l

已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用分析BC

和

ABD杆受力M=FPlllACBl第二种情形D

图示结构，若FP和l已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy´FBx´FCx´FCy´llACBl第二种情形DM=FPl

图示结构，若FP

和l已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用ABDFAxFByFBxFAy考察ABD杆

的平衡MB(

F

)=0:MA(

F

)=0:FBy=0FAy=0Fx=0:FBx+

FAx=0

FBx=

-FAx

图示结构，若FP和l已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用CB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′考察BC杆的平衡Fx=0:

FBx′

-

FCx′=0

FCx′=FBx′=

FBxFy=0:

FBy′-

FCy′=0

FCy′=FBy′=FBy=0MB'

(

F

)=0:l

FCx′+M=0FCx′=FBx′=

-FP

图示结构，若FP

和l

已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用llACBl第二种情形DM=FPlABDFPCB'M=FPlFPFPFP

图示结构，若FP

和l已知，确定四种情形下的约束力

分析ABD杆

二力杆例题

1平衡方程的应用lllFPACBD第三种情形ACBDllFPlFCyFAFCx

图示结构，若FP

和l已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用ACBDllFPlFCyFAFCxME(

F

)=0:MA(

F

)=0:MC(

F

)=0:FCx

l-FP2l=0-FA

l-FP2l=0-FCy

2l-FAl=0EFCx=2FP,FCy=FP,FA=-2FP

图示结构，若FP

和l已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用lM=FPlllACBDFAFC第四种情形lllACBDM=FPl

图示结构，若FP

和l已知，确定四种情形下的约束力例题

1平衡方程的应用lM=FPlllACBDFAFCMC(F)=0:

FA=FC=FP-FA×l+M=0

图示结构，若FP和l已知，确定四种情形下的约束力例题2007006

平面刚架的所有外力的作用线都位于刚架平面内。A处为固定端约束。若图中q、FP、M、l等均为已知，试求:A处的约束力。

平衡方程的应用解：1.选择平衡对象

本例中只有折杆ABCD一个刚体，因而是惟一的平衡对象。例题

2平衡方程的应用

解：2.受力分析

刚架A处为固定端约束，又因为是平面受力，故有3个同处于刚架平面内的约束力FAx、FAy和MA。刚架的隔离体受力图如图示。qlFAxFAyMA

其中作用在CD部分的均布载荷已简化为一集中力ql作用在CD的中点。例题

2平衡方程的应用解：3.建立平衡方程求解未知力应用平衡方程

Fx=0,MA=0Fy=0,由此解得qlFAxFAyMA例题

2平衡方程的应用

解：4.验证所得结果的正确性

为了验证上述结果的正确性，可以将作用在平衡对象上的所有力（包括已经求得的约束力），对任意点（包括刚架上的点和刚架外的点）取矩。若这些力矩的代数和为零，则表示所得结果是正确的，否则就是不正确的。qlFAxFAyMA例题3005

作用在水力涡轮发电机主轴上的力：平衡方程的应用

水力推动涡轮转动的力偶矩Mz=1200N.m。

锥齿轮B处受到的力分解为三个分力：圆周力Ft，轴向力Fa和径向力Fr。三者大小的比例为Ft:Fa:Fr=1:0.32:0.17。

已知涡轮连同轴和锥齿轮的总重量为W=12kN，其作用线沿轴Cz；锥齿轮的平均半径OB=0.6m。

试求：止推轴承C和轴承A处的约束力。例题

3平衡方程的应用

解：以“轴－锥齿轮－涡轮”组成的系统为研究对象。

先求锥齿轮B处三个分力大小。根据所有力对z轴的力矩平衡方程，有由此解得作用在锥齿轮上的圆周力FCxFAyFAxFCzFCy

滑动轴承A处有2个约束力；

止推轴承C处有3个约束力；例题

3平衡方程的应用由此解得作用在锥齿轮上的圆周力再由三个力的数值比，得到最后应用空间力系的平衡方程，可以写出FCxFAyFAxFCzFCy例题

3平衡方程的应用由此解得

需要注意的是：在空间力系平衡问题的六个平衡方程中，应使每个方程的未知数尽可能的少，以避免解联立方程。列写六个方程的先后顺序也应灵活选取。FCxFAyFAxFCzFCyPartB单个刚体的平衡问题

例题4计算图中各柔性索受到的力。PartB单个刚体的平衡问题

[解方法1]1)画出刚体ABC的受力分析图2)平衡方程

通过联立上述三个方程，可以解出所有的未知力，但是联立方程组的求解在数学上比较麻烦，因此建立这样的方程组不利于计算。PartB单个刚体的平衡问题

[解方法2]1)画出刚体ABC的受力分析图2)平衡方程利用方程检验结果是否正确PartB单个刚体的平衡问题

[解方法2]很清楚方法2要优于方法1.从上述例题可以总结出两个有用的技巧：技巧1:

矩方程的矩心是任意选择的，因此可以选择刚体形状以外的点作为矩心。技巧2:

矩方程矩心选择在两个未知力的作用线的交点可以简化方程。

第3章力系的平衡

刚体系统平衡问题返回静定和静不定问题的概念刚体系统平衡问题的解法刚体系统平衡问题返回静定和静不定问题的概念刚体系统平衡问题

前面几节所讨论的平衡问题中，未知力的个数正好等于独立平衡方程的数目，由平衡方程可以解出全部未知数。这类问题，称为静定问题（staticallydeterminateproblems），相应的结构称为静定结构（staticallydeterminatestructures）。

工程上，为了提高结构的强度和刚度，或者为了满足其他工程要求，常常在静定结构上再附加一个或几个约束，从而使未知约束力的个数大于独立平衡方程的数目。这时，仅仅由静力学平衡方程无法求得全部未知约束力。这类问题称为静不定问题或超静定问题（staticallyindeterminateproblems），相应的结构称为静不定结构（staticallyindeterminatestructures）。静定和静不定问题的概念

刚体系统平衡问题

静不定问题中，未知量的个数Nr与独立的平衡方程数目Ne之差，称为静不定次数（degreeofstaticallyindeterminateproblem）。与静不定次数对应的约束对于结构保持静定是多余的，因而称为多余约束。

静不定次数或多余约束个数用i表示，由下式确定：i=Nr－Ne

静定和静不定问题的概念

刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题的解法刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题的解法

刚体系统平衡问题

由两个或两个以上的刚体所组成的系统，称为刚体系统（rigidmultibodysystem）。工程中的各类机构或结构，当研究其运动效应时，其中的各个构件或部件均被视为刚体，这时的结构或机构即属于刚体系统。

刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统的整体或某个局部（单个刚体或局部刚体系统），不能确定全部未知力。

为了解决刚体系统的平衡问题，需将平衡的概念加以扩展，即：系统若整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个刚体也必然是平衡的。

根据这一重要概念，应用平衡方程，即可求解刚体系统的平衡问题。已知

:

FP、l、r求:

A、D

二处约束力例题4ABCDEll1.5llr1.5llllABCDE2FP

FP简单的刚体系统平衡问题例题

4ABCDE2FPABCDE2FPFAyMAFAxBCE2FPFDEFByFBx刚体系统平衡问题1.5llllABDEClllr

FP1.5llllABDEClllr

FPFP'FPFAyMAFAx例题

4刚体系统平衡问题ABCDEBECFDEFPFPFPFAyMAFAxFBxFByFPFP例题

4刚体系统平衡问题1.5llllABDEClllr1.5lllABDEClllrlqq—载荷集度2qlFPFP例题

4刚体系统平衡问题ABCDEBECFDEFPFPFAyMAFAxFBxFByFPFP2ql2qlFP例题

4刚体系统平衡问题讨论：在不改变结构和载荷FP的位置与方向的情形下，怎样改变缆索CH的位置，才能使A端的约束力偶MA

减小?例题

4C1.5lllABDEllrHlFP刚体系统平衡问题例题5刚体系统平衡问题

结构由杆AB与BC在B处铰接而成。结构A处为固定端，C处为辊轴支座。结构在DE段承受均布载荷作用，载荷集度为q；E处作用有外加力偶，其力偶矩为M。若q、l、M等均为已知，试求A、C二处的约束力。例题

5

解：1.受力分析，选择平衡对象

考察结构整体，在固定端处有3个约束力，设为FAx、FAy和MA；在辊轴支座处有1个竖直方向的约束力FRC。FAxFAyMAFRC

这些约束力称为系统的外约束力（externalconstraintforce）。仅仅根据整体的3个平衡方程，无法确定所要求的4个未知力。因而，除了整体外，还需要其他的平衡对象。为此，必须将系统拆开。

刚体系统平衡问题B例题

5

将结构从B处拆开，则铰链B处的约束力可以用相互垂直的两个分量表示，但作用在两个刚体AB和BC上同一处B的约束力，互为作用与反作用力。这种约束力称为系统的内约束力（internalconstraintforce）。内约束力在考察结构整体平衡时并不出现。受力图中ql为均布载荷简化的结果。FAxFAyMAFRCMAFRCFAxFAyFBxFByF'BxF'By刚体系统平衡问题例题

5解：2.整体平衡根据整体结构的受力图(为了简便起见，当取整体为研究对象时，可以在原图上画受力图)，由平衡方程FAxFAyMAFRC刚体系统平衡问题例题

5解：3.局部平衡

杆AB的A、B二处作用有5个约束力，其中已求得FAx=0，尚有4个未知，故杆AB不宜最先选作平衡对象。

杆BC的B、C二处共有3个未知约束力，可由3个独立平衡方程确定。因此，先以杆BC为平衡对象。MAFAxFAyFBxFByFRCF'BxF'ByB刚体系统平衡问题例题

5先考察BC杆的平衡，由

求得BC上的约束力后，再应用B处两部分约束力互为作用与反作用关系，考察杆AB的平衡，即可求得A处的约束力。FRCF'BxF'ByB

也可以在确定了C处的约束力之后再考察整体平衡也可以求得A处的约束力。刚体系统平衡问题例题

5

再考察整体平衡，将DE段的分布载荷简化为作用于B处的集中力，其值为2ql，由平衡方程FAxFAyMAFRC刚体系统平衡问题例题

5

解：4.讨论

上述分析过程表明，考察刚体系统的平衡问题，局部平衡对象的选择并不是惟一的。正确选择平衡对象，取决于正确的受力分析与正确地比较独立的平衡方程数Ne和未知量数Nr。

刚体系统平衡问题例题

5解：4.讨论

此外，本例中，主动力系的简化极为重要，处理不当，容易出错。

例如，考察局部平衡时，即系统拆开之前，先将均匀分布载荷简化为一集中力FP，FP=2ql。系统拆开之后，再将力FP按下图所示分别加在两部分杆件上。请读者自行分析，图中的受力分析错在哪里？MAFRCFAxFAyFBxFByF'BxF'By刚体系统平衡问题系统拆开之后，再简化作业1－2，1－3，1－6;2－2，2－4，2－6，2－7，2－9，2－10;3－3，3－4，3－5，3－8;

4－1，4－2，4－3，4－4，4－5，4－6，4－8，4－15，4－16，4－17，4－21，4－22，4－23。平面力系的平衡条件与平衡方程007005

006平面一般力系的平衡条件与平衡方程

悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索，A处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起重电动机E与重物的总重力为FW(因为两滑轮之间的距离很小，FW可视为集中力作用在大梁上)，梁的重力为FQ。已知角度θ=30º。

求：1.电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和支座A处的约束力；2.分析电动机处于什么位置时，钢索受力的最大，并确定其数值。

例题1平面力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题1

解：

1．选择研究对象本例中要求的是钢索BC所受的力和支座A处的约束力。钢索受有一个未知拉力，若以钢索为研究·对象，不可能建立已知力和未知力之间的关系。

吊车大梁AB上既有未知的A处约束力和钢索的拉力，又作用有已知的电动机和重物的重力以及大梁的重力。所以选择吊车大梁AB作为研究对象。将吊车大梁从吊车中隔离出来。

解：

1．分析受力

因为要求电动机处于任意位置时的约束力，所以假设力FW作用在坐标为x处。于是，可以画出吊车大梁AB的受力图。

在吊车大梁AB的受力图中，FAx、FAy和FTB均为未知约束力与已知的主动力FW和FQ组成平面力系。因此，应用平面力系的3个平衡方程可以求出全部3个未知约束力。

平面力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题1

建立Oxy坐标系。

A处约束力分量为FAx和FAy

；钢索的拉力为FTB。选择吊车大梁AB作为研究对象。将吊车大梁从吊车中隔离出来。

解：

2．建立平衡方程

因为A点是力FAx和FAy的汇交点，故先以A点为矩心，建立力矩平衡方程，由此求出一个未知力FTB

。然后，再应用力的平衡方程投影形式求出约束力FAx和FAy

。平面力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题1

解：

2．建立平衡方程平面力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题1

解：

3．讨论

由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为

平面力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题1

平面力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程例题2

A端固定的悬臂梁AB受力如图示。梁的全长上作用有集度为q的均布载荷；自由端B处承受一集中力和一力偶M的作用。已知FP＝ql，M=ql2；l为梁的长度。试求固定端处的约束力。求：固定端处的约束力。

解：

1．研究对象、隔离体与受力图本例中只有梁一个构件，以梁AB为研究对象，解除A端的固定端约束，代之以约束力FAx、FAy和约束力偶MA。于是，可以画出梁AB的受力图。平面力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题2

图中FP

、M、q为已知的外加载荷，是主动力。

2．将均布载荷简化为集中力作用在梁上的均匀分布力的合力等于载荷集度与作用长度的乘积，即ql；合力的方向与均布载荷的方向相同；合力作用线通过均布载荷作用段的中点。

ql

解：

3．建立平衡方程，求解未知约束力通过对A点的力矩平衡方程，可以求得固定端的约束力偶MA；利用两个力的平衡方程求出固定端的约束力FAx和FAy。

平面力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题2

ql考虑摩擦时的平衡问题返回

第3章力系的平衡

考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题

梯子不滑倒的最小倾角考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题θ钢丝不滑脱的最大直径工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题夹纸器的最小倾角工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题夹持器的最小倾角考虑摩擦时的平衡问题磨削工具利用摩擦力工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题磨削工具利用摩擦力考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题利用摩擦力锚紧泊船考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题刹车器利用摩擦力考虑摩擦时的平衡问题轮轴承工程中的摩擦问题轴承中摩擦力越小越好考虑摩擦时的平衡问题赛车后轮的摩擦力是驱动力WFNFs工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题放大后的接触面工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题接触面的计算机模拟工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题滑动摩擦力库仑定律考虑摩擦时的平衡问题干摩擦—滑动摩擦力库仑定律流体摩擦—考虑摩擦时的平衡问题固体对固体的摩擦；流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切向力。FPWFFN干摩擦时的摩擦力－库仑定律滑动摩擦力库仑定律考虑摩擦时的平衡问题

考察质量为m、静止地放置于水平面上的物块，设二者接触面都是非光滑面。在物块上施加水平力Fp，并令其自零开始连续增大，使物块具有相对滑动的趋势。因为是非光滑面接触，故作用在物块上的约束力除法向力FN外，还有一与运动趋势相反的力，称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力（static

frictionforce）,用F表示。

FFPO45°FmaxFd运动状态静止状态临界状态FPWFFN

当FP＝0时，由于二者无相对滑动趋势，故静摩擦力F＝0。当FP开始增加时，静摩擦力F随之增加，直至F＝FP时，物块仍然保持静止。

物块开始运动后，静滑动摩擦力突变至动滑动摩擦力Fd。此后，主动力FP的数值若再增加，则摩擦力基本上保持为常值Fd。

FP再继续增加，达到某一临界值FPmax时，摩擦力达到最大值，F＝Fmax。这时，物块开始沿力Fp的作用方向滑动。滑动摩擦力库仑定律考虑摩擦时的平衡问题FmaxFd运动状态静止状态临界状态FFPO静止状态F＝Fmax=fsFNF＝Fd；F<Fmax；运动状态临界状态滑动摩擦力库仑定律考虑摩擦时的平衡问题干摩擦时的摩擦力－库仑定律滑动摩擦力库仑定律考虑摩擦时的平衡问题

根据库仑(Coulomb)摩擦定律，最大静摩擦力（maximumstaticfrictionforce）与正压力成正比，，其方向与相对滑动趋势的方向相反，而与接触面积的大小无关。

式中，fs称为静摩擦因数（staticfrictionfactor）。静摩擦因数fs主要与材料和接触面的粗糙程度有关，可在机械工程手册中查到，但由于影响摩擦因数的因素比较复杂，所以如果需要较准确的fs数值，则应由实验测定。

上述分析表明，开始运动之前，即物体保持静止时，静摩擦力的数值在零与最大静摩擦力之间，即

从约束的角度，静滑动摩擦力也是一种约束力，而且是在一定范围内取值的约束力。

考虑摩擦时构件的平衡问题007

考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时构件的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题，与不考虑摩擦时的平衡问题有着共同特点，即：物体平衡时应满足平衡条件，解题方法与过程也基本相同。

但是，这类平衡问题的分析过程也有其特点：

首先，受力分析时必须考虑摩擦力，而且要注意摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反；

其次，在滑动之前，即处于静止状态时，摩擦力不是一个定值，而是在一定的范围内取值。

考虑摩擦时构件的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题

放置于斜面上的物块重FW＝1000N；斜面倾角为30º。物块承受一方向自左至右的水平推力，其数值为FP＝400N。若已知物块与斜面之间的摩擦因数fs＝0.2。

求：1.物块处于静止状态时，静摩擦力的大小和方向；

2．使物块向上滑动时，力FP的最小值。

例题9考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

考虑摩擦时的平衡问题

解：根据本例的要求,需要判断物块是否静止。这一类问题的解法是：假设物体处于静止状态，首先由平衡方程求出静摩擦力F和法向反力FN。再求出最大静摩擦力Fmax。将F与Fmax加以比较，若物体处于静止状态，所求F有意义；若，物体已进入运动状态，所求F无意义。考虑摩擦时的平衡问题

解：1．确定物块静止时的摩擦力F值

以物块为研究对象，假设物块处于静止状态，并有向上滑动的趋势，受力如图示。其中摩擦力的指向是假设的，若结果为负，表明实际指向与假设方向相反。由

F＝－153.6N

负号表示实际摩擦力F的指向与图中所设方向相反，即物体实际上有下滑的趋势，摩擦力的方向实际上是沿斜面向上的。

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

考虑摩擦时的平衡问题

最大静摩擦力为

因此，物块在斜面上静止；摩擦力大小为153．6N,其指向沿斜面向上。

解：1．确定物块静止时的摩擦力F值

FN＝1066NF＝－153.6N考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

考虑摩擦时的平衡问题

仍以物块为研究对象，此时，物块处于临界状态，即力FP再大于FPmin，物块将发生运动，此时摩擦力F达到最大值Fmax。这时，必须根据运动趋势确定Fmax的实际方向。

解：2．确定物块向上滑动时所需要主动力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和关于摩擦力的物理方程：

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

考虑摩擦时的平衡问题

解：2．确定物块向上滑动时所需要主动力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和关于摩擦力的物理方程：

联立，解得：FPmin＝878.75N

当力FP的数值超过878.75N时，物块将沿斜面向上滑动。

考虑摩擦时构件的平衡问题－例题9

考虑摩擦时构件的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题梯子的上端B靠在铅垂的墙壁上，下端A搁置在水平地面上。假设梯子与墙壁之间为光滑约束，而与地面之间为非光滑约束。已知：梯子与地面之间的摩擦因数为fs；梯子的重力为W。1．设梯子在倾角1的位置保持平衡，求:

A、B二处约束力FNA、FNB和摩擦力FA；2．若使梯子不致滑倒，求:

倾角的范围。

例题9005考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

解:

1.梯子在倾角1的位置保持平衡时的约束力

这种情形下，梯子的受力如图示。其中将摩擦力FA作为一般的约束力，假设其方向如图示。于是有

由此解得

考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

解:

1.梯子在倾角1的位置保持平衡时的约束力

由此解得

所得FA的结果为负值，表明梯子下端所受的摩擦力与图中所假设的方向相反。思考，能否用物理方程求FA???考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

这种情形下，摩擦力FA的方向必须根据梯子在地上的滑动趋势预先确定，不能任意假设。解:

2.求梯子不滑倒的倾角的范围

平衡方程和物理方程分别为

考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

解:

2.求梯子不滑倒的倾角的范围

联立，不仅可以解出A、B二处的约束力，而且可以确定保持梯子平衡时的临界倾角由常识可知，角度越大，梯子越易保持平衡，故平衡时梯子对地面的倾角范围为

为什么滑动摩擦力的方向不能任意假设

摩擦力不仅要与作用在物体上的其它力共同满足平衡方程，而且还要满足与摩擦有关的物理方程。

结论与讨论考虑摩擦时平衡问题的几个重要概念为什么滑动摩擦力的方向不能任意假设

由于正压力FN一般都沿真实方向，故FN＞0，而摩擦因数fs＞0，所以必有F＞0。而在平衡方程中，若将摩擦力F任意假设方向且没有错时，即可能出现F＜0的情形。这样，包含同一摩擦力的平衡方程和物理方程便不相容，从而导致最后计算结果错误，而不仅仅是正负号的差异。这一问题结合例题中的第二问题，分析：如果，梯子与地面之间的摩擦力方向假设反了，将会产生怎样的结果？

结论与讨论考虑摩擦时平衡问题的几个重要概念考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时构件的平衡问题－例题10

解:

2.求梯子不滑倒的倾角的范围

联立，不仅可以解出A、B二处的约束力，而且可以确定保持梯子平衡时的临界倾角由常识可知，角度越大，梯子越易保持平衡，故平衡时梯子对地面的倾角范围为包含同一摩擦力的平衡方程和物理方程便不相容，从而导致最后计算结果错误，而不仅仅是正负号的差异。摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题FR干摩擦时的摩擦力－摩擦角FsFN

总约束力FR与法向约束力FN作用线之间的夹角用

表示。摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题

开始运动前,角随FP的改变而改变，临近运动时达到最大值m

0

mm摩擦角。FNFmaxFRm干摩擦时的摩擦力－摩擦角摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题干摩擦时的摩擦力－摩擦角关于摩擦角的两点结论：

摩擦角是静摩擦力取值范围的几何表示。

三维受力状态下，摩擦角变为摩擦锥。摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题自锁及其应用WyWxFFNW

斜面上刚性块的运动趋势摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题自锁及其应用－斜面上刚性块的运动趋势WyWxFFN坡度很小时，刚性块不滑动摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题自锁及其应用－斜面上刚性块的运动趋势WyWxFFN坡度增加到一定数值时，刚性块处于临界状态摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题自锁及其应用－斜面上刚性块的运动趋势WyWxFFN坡度增加到一定数值以后，刚性块滑动摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题

不仅斜面与物块系统具有这种现象，考察平面－物块系统的运动趋势：自锁及其应用摩擦角与自锁现象FQFQFQFQFQFQFQ考虑摩擦时的平衡问题

主动力作用线位于摩擦角范围内时，不管主动力多大，物体都保持平衡，这种现象称为自锁。自锁及其应用摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题

主动力作用线位于摩擦角范围以外时，不管主动力多小，物体都将发生运动。摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题自锁及其应用

主动力作用线与法线之间的夹角等于摩擦角时物体处于临界状态。摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题自锁及其应用摩擦角与自锁现象考虑摩擦时的平衡问题自锁及其应用考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题两种运动趋势与临界运动状态滑动（slip)FPWFRFNFmaxFPWFRFNFmaxFPWFRFNFmaxFPWFRFNFmaxFPWFRFNFmax考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题

翻倒（tipover)WFPFsFNWFPFsFNWFPFsFNWFPFsFNWFPFsFN考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题两种运动趋势与临界运动状态两类摩擦平衡问题(1)

F

Fmax，,物体处于静止状态，已知主动力求约束力，与一般平衡问题无异。考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题

平衡问题—临界运动趋势确定平衡位置；F

＝Fmax

不平衡问题—滑动或翻倒确定各主动力之间的关系。[两类摩擦平衡问题(2)考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题

已知：三角块和矩形块的质量分别为20kg和10kg；各部分之间的摩擦因数均为fs

=0.4。F例题1

确定：二物体均不发生运动时，所能施加的最大推力。考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题F解：分析几种可能运动趋势：

三角块滑动；

三角块与矩形块一起滑动。

三角块翻倒；考虑滑动摩擦时的平衡问题例题1

考虑摩擦时的平衡问题F

三角块翻倒—约束力作用在角点A。

二者一起滑动—约束力作用点在C、D两点之间。

三角块滑动—约束力作用点在A、B

两点之间。ABCD考虑滑动摩擦时的平衡问题例题1

考虑摩擦时的平衡问题Fx=0F－FP=0Fy=0FN－W=0库仑定律

FfsFN

FP78.48NFPFFNWAB

三角块滑动—约束力作用点在A、B两点之间。考虑滑动摩擦时的平衡问题例题1

考虑摩擦时的平衡问题三角块翻倒—约束力作用在角点A。MA(F)

=0

FP×1.0－W×0.5=0FP=98.1NWABFPFFN1m0.5m考虑滑动摩擦时的平衡问题例题1

考虑摩擦时的平衡问题Fx=0F-FP=0FP117.7NFPFNFWW

´ABCDFy=0FN-W-W´=0库仑定律F

fsFN二者一起滑动—约束力作用点在C、D两点之间。考虑滑动摩擦时的平衡问题例题1

考虑摩擦时的平衡问题结论

上述结果表明，仅三角块可能发生滑动，可以施加的最大推力为FP78.48N