第三章(2) 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布§5随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布三、最大最小值的分布一、离散型随机变量函数的分布方法：分两步1、找出Z所有可能的取值；2、求出Z取每一个可能值的概率是多大。设二维随机变量的联合分布律为求随机变量的分布律。例1设随机变量相互独立且都服从参数为p的分布，已知矩阵为正定矩阵的概率为1/8，求（1）参数p的值；（2）随机变量的分布律。例2设X与Y相互独立,且求的分布律。二、连续型随机变量函数的分布设二维随机变量的联合密度为，求随机变量的概率密度。方法：分布函数法先求分布函数，再求概率密度。随机变量Z的分布函数为随机变量Z的密度函数为例1设二维随机变量的联合概率密度函数为令求Z的分布函数及密度函数。例2设二维随机变量(X,Y)的密度函数为（1）求；（2）求的概率密度。（2007）例3设二维随机变量的概率密度函数为求:(I)的边缘概率密度(II)的概率密度(2005)y=2x例4设X与Y相互独立，且均服从标准正态分布，求的概率密度。1、若且X与Y相互独立，则结论：2、若且X与Y相互独立，则3、若且相互独立，则例5在一简单电路中，两电阻和串联连接，设与相互独立，它们的概率密度均为求总电阻的概率密度。例6设X与Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为求的概率密度。三、最大最小值的分布设相互独立的随机变量的分布函数分别为记随机变量M的分布函数为若独立同分布，其分布函数为，此时，随机变量M的分布函数为三、最大最小值的分布设相互独立的随机变量的分布函数分别为记随机变量N的分布函数为若独立同分布，其分布函数为，此时，随机变量N的分布函数为例1某系统L由两个子系统A与B联接组成,联接的方式有三种(1)A与B串联;(2)A与B并联;(3)A与B一个工作一个备用.已知子系统A,B的寿命X,Y均服从指数分布,其概率密度分别为其中常数且设系统L的寿命为Z,分别求三种情况下,L的寿命Z的概率密度.例2设X,Y相互独立，同服从(0,2)上的均匀分布，例5设随机变量X和Y都服从正态分布，且则例2设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为Y的密度分布为记（1）求（2）求Z的概率密度。例4设随机变量X与Y相互独立,且X服从参数为p的几何分布,即(1)U=X+Y的分布函数；(2)V=XY的分布函数。第三章小结主要内容一、二维随机变量的定义设E是一个随机试验，其样本空间为，设是定义在S上的两个随机变量，则由它们构成的一个向量称为二维随机向量或二维随机变量。二、二维随机变量的分布函数1、联合分布函数的定义称为二维随机变量的分布函数(或称联合分布函数).设是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数性质1对任意的有且有性质2是变量x和y的单调非降函数;2、联合分布函数的性质性质4对任意的x(或y)都是右连续的,即对任意的均有性质3对任意的总有且1、二维离散型随机变量的定义如果二维随机变量的所有可能取的值是有限对或若及的全部不同的可能取值分别为则的全部可能取值为:2、二维离散型随机变量的联合概率分布三、二维离散型随机变量及其分布可列无限对,则称是离散型随机变量.称概率函数为二维离散型随机变量的(联合)概率分布(律).或列表为(概率分布也称为联合分布列)称概率函数为二维离散型随机变量的(联合)概率分布(律).或列表为(概率分布也称为联合分布列)(1)(2)3、概率分布的性质4、二维离散型随机变量的分布函数设二维离散型随机变量的联合概率分布为则有进行的。这个求和式是对满足及的一切下标i和j1、联合概率密度的定义对于二维随机变量的联合分布函数，如果存在一个二元非负值函数使得对任意有则称为二维连续型随机变量.称为二维连续型随机变量的联合概率密度函数.（简称联合密度函数或联合密度）四、二维连续型随机变量及其分布2、联合密度函数的性质（1）（2）具有性质(1),(2)的二元函数f(x,y),必是某个注:二维连续型随机变量的密度函数。（3）设R为xoy平面内任一区域,则有（4）在的连续点处，有五、边缘分布1、边缘分布函数若二随机变量的联合分布函数为，则随机变量（X,Y）关于X的边缘分布函数为同理有2、边缘分布律设二维离散型随机变量的联合分布律为则随机变量X的边缘分布律为同理随机变量Y的边缘分布律为3、边缘概率密度设二维连续型随机变量的联合分布函数为,联合概率密度函数为。于是，随机变量X的分布函数为得X的密度函数为同理可得随机变量Y的分布函数为密度函数为1、二维离散型随机变量的条件分布设二维离散型随机变量的联合分布律为六、条件分布2、二维连续型随机变量的条件分布在条件下,连续型随机变量X的条件密度函数为:条件分布函数为在条件下,连续型随机变量Y的条件密度函数为:条件分布函数为1、随机变量相互独立的定义设是两个随机变量,若对任意实数都有则称随机变量X与Y是(相互)独立的.七、随机变量的独立性2、二维随机变量相互独立的充要条件X与Y相互独立3、离散型随机变量相互独立的充要条件2、二维随机变量相互独立的充要条件X与Y相互独立4、连续型随机变量相互独立的充要条件八、随机变量函数的分布1、离散型随机变量函数的分布方法：分两步1、找出Z所有可能的取值；2、求出Z取每一个可能值的概率是多大。设二维随机变量的联合分布律为求随机变量的分布律。2、连续型随机变量函数的分布设二维随机变量的联合密度为，求随机变量的概率密度。方法：分布函数法先求分布函数，再求概率密度。随机变量Z的分布函数为随机变量Z的密度函数为3、最大最小值的分布设相互独立的随机变量的分布函数分别为记随机变量M，N的分布函数为若独立同分布，其分布函数为，此时，随机变量M，N的分布函数为4、二维正态分布若二维随机变量的联合密度函数为则称服从参数为的正态分布.记为其中为常数，且。结论:则若九、关于正态分布的一些重要结论则若1、2、二元正态分布的条件分布仍是正态分布。则X与Y相互独立当且仅当。若3、习题选讲2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只数，Y表示取到红球的只数。求X和Y的联合分布律。3.设随机变量（X,Y）的概率密度为（1）确定常数k；（2）求；（3）求；（4）求；4.将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现H的次数，以Y表示3次中出现H的次数。求X，Y的联合分布律及边缘分布律。6.设随机变量（X,Y）的概率密度为求边缘概率密度。7.设随机变量（X,Y）的概率密度为（2）边缘概率密度。（1）试确定常数c;9.以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数，设X和Y的联合分布律为（1）求边缘分布律；（2）求条件分布律；（3）特别，写出当时，Y的条件分布律。解随机变量X的分布律为(利用二项式定理)9.以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数，设X和Y的联合分布律为（1）求边缘分布律；（2）求条件分布律；（3）特别，写出当时，Y的条件分布律。解随机变量Y的分布律为(利用)12.设随机变量（X,Y）的概率密度为求条件概率密度。14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为（1）求X和Y的联合概率密度；（2）试求二次方程为有实根的概率。进行打靶，设弹着点A(X,Y)的坐标X和Y相互独立，且都服从分布，规定点A落在区域得2分；点A落在得1分；点A落在得0分。以Z记打靶的得分。写出X,Y的联合概率密度，并求Z的分布律。19.设随机变量（X,Y）的概率密度为（1）问X与Y是否相互独立；（2）求的概率密度。21.设随机