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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年江西艺术职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.如图所示,设k1,k2,k3分别是直线l1,l2,l3的斜率,则()
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1
D.k1<k3<k2
答案:C2.(选做题)已知x+2y=1,则x2+y2的最小值是______.答案:x2+y2表示(0,0)到x+2y=1上点的距离的平方∴x2+y2的最小值是(0,0)到x+2y=1的距离d的平方据点到直线的距离公式得d=11+4=15∴x2+y2的最小值是15故为153.语句“若a>b,则a+c>b+c”是()
A.不是命题
B.真命题
C.假命题
D.不能判断真假答案:B4.在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为()
A.ρcosθ=2
B.ρsinθ=2
C.ρ=4sin(θ+)
D.ρ=4sin(θ-)答案:A5.抛物线y2=4x,O为坐标原点,A,B为抛物线上两个动点,且OA⊥OB,当直线AB的倾斜角为45°时,△AOB的面积为______.答案:设直线AB的方程为y=x-m,代入抛物线联立得x2-(2m+4)x+m2=0,则x1+x2=2m+4,x1x2=m2,∴|x1-x2|=16m+16∵三角形的面积为S△AOB=|12my1-12my2|=12m(|x1-x2|)=12m16m+16;又因为OA⊥OB,设A(x1,2x1),B(x2,-2x2)所以2x1x1•-2x2x2=-1,求的m=4,代入上式可得S△AOB=12m16m+16=12×4×64+16=85故为:856.已知随机变量ξ~N(3,22),若ξ=2η+3,则Dη=()
A.0
B.1
C.2
D.4答案:B7.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=______吨.答案:某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买400x次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为400x?4+4x万元,400x?4+4x≥2(400x×4)×4x=160,当且仅当1600x=4x即x=20吨时,等号成立即每次购买20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.故为:20.8.在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=3,在BC上任取一点D,使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23答案:由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件对应的是长度为3的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况第一种∠ADB为钝角,这种情况的分界是∠ADB=90°的时候,此时BD=1∴这种情况下,满足要求的0<BD<1.第二种∠OAD为钝角,这种情况的分界是∠BAD=90°的时候,此时BD=4∴这种情况下,不可能综合两种情况,若△ABD为钝角三角形,则0<BD<1P=13故选B9.要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组,则符合按性别比例分层抽样的概率为()
A.
B.
C.
D.
答案:C10.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是______.答案:直线3x+4y-3=0即6x+8y-6=0,它直线6x+my+14=0平行,∴m=8,则它们之间的距离是d=|c1-c2|a2+b2=|-6-14|62+82=2,故为:2.11.下列函数中,与函数y=x相等的是()A.y=(x)4B.y=5x5C.y=x2D.y=x2x答案:函数y=x的定义域为R,选项中A,D定义域不是R,是A、D不正确.选项C的对应法则不同,C不正确.故选B.12.对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,…in)
(n是不小于2的正整数),对于任意p,q∈1,2,3,…,n,当p<q时有ip>iq,则称ip,iq是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组(2,4,3,1)中的逆序数等于______.答案:由题意知当p<q时有ip>iq,则称ip,iq是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,在数组(2,4,3,1)中逆序有2,1;4,3;4,1;3,1共有4对逆序数对,故为:4.13.设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*.
(1)当n=1,2,3,4时,比较f(n)与g(n)的大小.
(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.答案:(1)当n=1时,nn+1=1,(n+1)n=2,此时,nn+1<(n+1)n,当n=2时,nn+1=8,(n+1)n=9,此时,nn+1<(n+1)n,当n=3时,nn+1=81,(n+1)n=64,此时,nn+1>(n+1)n,当n=4时,nn+1=1024,(n+1)n=625,此时,nn+1>(n+1)n,(2)根据上述结论,我们猜想:当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.①当n=3时,nn+1=34=81>(n+1)n=43=64即nn+1>(n+1)n成立.②假设当n=k时,kk+1>(k+1)k成立,即:kk+1(k+1)k>1则当n=k+1时,(k+1)k+2(k+2)k+1=(k+1)?(k+1k+2)k+1>(k+1)?(kk+1)k+1=kk+1(k+1)k>1即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,即当n=k+1时也成立,∴当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.14.AB是圆O的直径,EF切圆O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC长为______.答案:连接AC、BC,则∠ACD=∠ABC,又因为∠ADC=∠ACB=90°,所以△ACD~△ACB,所以ADAC=ACAB,解得AC=23.故填:23.15.与函数y=x相等的函数是()A.f(x)=(x)2B.f(x)=x2xC.f(x)=x2D.f(x)=3x3答案:对于A,f(x)=x(x≥0),不符合;对于B,f(x)=x(x≠0),不符合;对于C,f(x)=|x|(x∈R),不符合;对于D,f(x)=x(x∈R),符合;故选D.16.已知集合A={0,1,2},集合B={x|x=2a,a∈A},则A∩B=()A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{1,4}答案:B={0,2,4},∴A∩B={0,2},故选C17.求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直.答案:设三个互相垂直的平面分别为α、β、γ,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,三个平面的公共点为O,如图所示:在平面γ内,除点O外,任意取一点M,且点M不在这三个平面中的任何一个平面内,过点M作MN⊥c,MP⊥b,M、P为垂足,则有平面和平面垂直的性质可得MN⊥α,MP⊥β,∴a⊥MN,a⊥MP,∴a⊥平面γ.
再由b、c在平面γ内,可得a⊥b,a⊥c.同理可证,c⊥b,c⊥a,从而证得a、b、c互相垂直.18.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PBPA=12,PCPD=13,则BCAD的值为______.答案:因为A,B,C,D四点共圆,所以∠DAB=∠PCB,∠CDA=∠PBC,因为∠P为公共角,所以△PBC∽△PAB,所以PBPD=PCPA=BCAD.设OB=x,PC=y,则有x3y=y2x?x=6y2,所以BCAD=x3y=66.故填:66.19.设a、b为单位向量,它们的夹角为90°,那么|a+3b|等于()A.7B.10C.13D.4答案:∵a,b它们的夹角为90°∴a?b=0∴(a+3b)2=a2+6a?b+9b2=10,|a+3b|=10.故选B.20.已知f(x)=2x2+1,则函数f(cosx)的单调减区间为______.答案:解;∵f(x)=2x2+1,∴f(cosx)=2cos2x+1=1+cos2x+1=cos2x+2,令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z.解得kπ≤x≤kπ+π2,k∈Z.∴函数f(cosx)的单调减区间为[kπ,π2+kπ],k∈Z.故为:[kπ,π2+kπ],k∈Z.21.设a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则a与b的大小关系是?答案:a═lg2+lg5=lg10=1又b=ex,由指数函数的性质知,当x<0时,0<b<1∴a>b22.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心,求下列各式中的x,y的值:
(1)AC1=x(AB+BC+CC1),则x=______;
(2)AE=AA1+xAB+yAD,则x=______,y=______;
(3)AF=AD+xAB+yAA1,则x=______,y=______.答案:(1)根据向量加法的首尾相连法则,x=1;(2)由向量加法的三角形法则得,AE=AA1+A1E,由四边形法则和向量相等得,A1E=12(A1B1+A1D1)=12(AB+AD);∴AE=AA1+12AB+12AD,∴x=y=12;(3)由向量加法的三角形法则得,AF=AD+DF,由四边形法则和向量相等得,DF=12(DC+DD1)=12(AB+AA1);∴AF=AD+12AB+12AA1,∴x=y=12.23.一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线答案:设动圆的圆心为P,半径为r,而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1;圆x2+y2-8x+12=0的圆心为F(4,0),半径为2.依题意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r,则|PF|-|PO|=(2+r)-(1+r)=1<|FO|,所以点P的轨迹是双曲线的一支.故选C.24.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为()
A.1
B.2
C.
D.3答案:C25.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()
A.
B.
C.
D.答案:D26.点M的直角坐标是,则点M的极坐标为()
A.(2,)
B.(2,-)
C.(2,)
D.(2,2kπ+)(k∈Z)答案:C27.(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等,则n=()A.6B.7C.8D.9答案:二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5,36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故选B28.根据给出的空间几何体的三视图,用斜二侧画法画出它的直观图.答案:画法:(1)画轴如下图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画圆台的两底面画出底面⊙O假设交x轴于A、B两点,在z轴上截取O′,使OO′等于三视图中相应高度,过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′,设⊙O′交x′轴于A′、B′两点.(3)成图连接A′A、B′B,去掉辅助线,将被遮挡的部分要改为虚线,即得到给出三视图所表示的直观图.29.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)=1.06×(0.50×[m]+1)给出,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数,若通话费为10.6元,则通话时间m∈______.答案:∵10.6=1.06(0.50×[m]+1),∴0.5[m]=9,∴[m]=18,∴m∈(17,18].故为:(17,18].30.袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:C31.若a2+b2=4,则两圆(x-a)2+y2=1和x2+(y-b)2=1的位置关系是______.答案:若a2+b2=4,由于两圆(x-a)2+y2=1和x2+(y-b)2=1的圆心距为(a-0)2+(0-b)2=a2+b2=2,正好等于两圆的半径之和,故两圆相外切,故为相外切.32.证明不等式的最适合的方法是()
A.综合法
B.分析法
C.间接证法
D.合情推理法答案:B33.若向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a•(b+c)=33.答案:∵b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5),∴a•(b+c)=(2,-3,1)•(2,2,5)=4-6+5=3.故为:3.34.某次考试,满分100分,按规定x≥80者为良好,60≤x<80者为及格,小于60者不及格,画出当输入一个同学的成绩x时,输出这个同学属于良好、及格还是不及格的程序框图.答案:第一步:输入一个成绩X(0≤X≤100)第二步:判断X是否大于等于80,若是,则输出良好;否则,判断X是否大于等于60,若是,则输出及格;否则,输出不及格;第三步:算法结束35.根据给出的程序语言,画出程序框图,并计算程序运行后的结果.
答案:程序框图:模拟程序运行:当j=1时,n=1,当j=2时,n=1,当j=3时,n=1,当j=4时,n=2,…当j=8时,n=2,…当j=11时,n=2,当j=12时,此时不满足循环条件,退出循环程序运行后的结果是:2.36.设A=xn+x-n,B=xn-1+x1-n,当x∈R+,n∈N+时,求证:A≥B.答案:证明:A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)=x-n(x2n+1-x2n-1-x)=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]=x-n(x-1)(x2n-1-1).由x∈R+,x-n>0,得当x≥1时,x-1≥0,x2n-1-1≥0;当x<1时,x-1<0,x2n-1<0,即x-1与x2n-1-1同号.∴A-B≥0.∴A≥B.37.一平面截球面产生的截面形状是______;它截圆柱面所产生的截面形状是______.答案:根据球的几何特征,一平面截球面产生的截面形状是圆;当平面与圆柱的底面平行时,截圆柱面所产生的截面形状为圆;当平面与圆柱的底面不平行时,截圆柱面所产生的截面形状为椭圆;故为:圆,圆或椭圆38.已知2a=3b=6c则有()
A.∈(2,3)
B.∈(3,4)
C.∈(4,5)
D.∈(5,6)答案:C39.如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:E,F,G,H四个点在以O为圆心的同一个圆上.答案:连接OE,OF,OG,OH.∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=DA,且BD⊥AC.∵E、F、GH分别为AB、BC、CD、DA的中点,∴OE=OF=OG=OH=12AB,∴E、F、G、H四点在以O为圆心,12AB为半径的圆上.40.从点A(2,-1,7)沿向量=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则B点坐标为()
A.(-9,-7,7)
B.(18,17,-17)
C.(9,7,-7)
D.(-14,-19,31)答案:B41.阅读程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()A.3B.4C.5D.6答案:该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1,a=2;经第二次循环得到i=2,a=5;经第三次循环得到i=3,a=16;经第四次循环得到i=4,a=65满足判断框的条件,执行是,输出4故选B42.如果抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3,那么这条抛物线的焦点坐标是()A.(3,0)B.(2,0)C.(1,0)D.(-1,0)答案:抛物线y2=a(x+1)可由抛物线y2=ax向左平移一个单位长度得到,因为抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3,所以抛物线y2=ax的准线方程是x=-2,且焦点坐标为(2,0),那么抛物线y2=a(x+1)的焦点坐标为(1,0).故选C.43.赋值语句M=M+3表示的意义()
A.将M的值赋给M+3
B.将M的值加3后再赋给M
C.M和M+3的值相等
D.以上说法都不对答案:B44.已知a,b为正数,求证:≥.答案:证明略解析:1:∵a>0,b>0,∴≥,≥,两式相加,得≥,∴≥.解析2.≥.∴≥.解析3.∵a>0,b>0,∴,∴欲证≥,即证≥,只要证
≥,只要证
≥,即证
≥,只要证a3+b3≥ab(a+b),只要证a2+b2-ab≥ab,即证(a-b)2≥0.∵(a-b)2≥0成立,∴原不等式成立.【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时,常通过分析法寻求证题思路.“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法,特别是这两种方法的综合运用能力,对解决实际问题有重要的作用.这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法.45.已知一个几何体是由上下两部分构成的一个组合体,其三视图如图所示,则这个组合体的上下两部分分别是(
)答案:A46.已知A(4,1,3)、B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且则C的坐标为()
A.
B.
C.
D.答案:C47.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2)设实数t满足(AB-tOC)•OC=0,求t的值.答案:(1)(方法一)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|AB+AC|=210,|AB-AC|=42.故所求的两条对角线的长分别为42、210.(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:E为B、C的中点,E(0,1)又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210;(2)由题设知:OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)•OC=0,得:(3+2t,5+t)•(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-115.或者:AB•OC=tOC2,AB=(3,5),t=AB•OC|OC|2=-11548.若非零向量满足,则()
A.
B.
C.
D.答案:C49.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线的方程是()
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0答案:A50.用综合法或分析法证明:
(1)如果a>0,b>0,则lga+b2≥lga+lgb2(2)求证6+7>22+5.答案:证明:(1)∵a>0,b>0,a+b2≥ab,∴lga+b2≥lgab=lga+lgb2,即lga+b2≥lga+lgb2;(2)要证6+7>22+5,只需证明(6+7)
2>(8+5)2,即证明242>
240,也就是证明42>40,上式显然成立,故原结论成立.第2卷一.综合题(共50题)1.以A(1,5)、B(5,1)、C(-9,-9)为顶点的三角形是()
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.不等边三角形
D.直角三角形答案:B2.若函数f(x)=x+1的值域为(2,3],则函数f(x)的定义域为______.答案:∵f(x)=x+1的值域为(2,3],∴2<x+1≤3∴1<x≤2故为:(1,2]3.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2,有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后,最多只有1个损坏的概率是()
A.0.008
B.0.488
C.0.096
D.0.104答案:D4.如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,AC=25,则AB=______.答案:∵AB是直径,∴△ABC是直角三角形,∵C在直径AB上的射影为D,∴CD⊥AB,∴AC2=AD?AB,∴AB=AC2AD=202=10,故为:105.已知矩阵M=2a21,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P'(-4,0)
(1)求实数a的值;
(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.答案:(1)由2a211-2=-40,∴2-2a=-4⇒a=3.(2)由(1)知M=2321,则矩阵M的特征多项式为f(λ)=.λ-2-3-2λ-1.=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.当λ=-1时,(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0⇒x+y=0∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为1-1;当λ=4时,(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0⇒2x-3y=0∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为32.6.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an2+an(n∈N+),
(1)求a1,a2,a3并猜想数列{an}的通项公式;
(2)证明上述猜想.答案:(1)a1=1.a2=2a12+a1=22+1=23.a3=2a22+a2=2×232+23=12(2)猜想an=2n+1.证明:当n=1时显然成立.假设当n=k(k≥1)时成立,即ak=2k+1则当n=k+1时,ak+1=2ak2+ak=2×2k+12+2k+1=42k+4=2(k+1)+1所以an=2n+1.7.把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同排法的种数为()
A.A88
B.A55A44
C.A44A44
D.A85答案:B8.对于实数x、y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为______.答案:∵|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+2|(y-2)+1|≤|x-1|+2|y-2|+2,再由|x-1|≤1,|y-2|≤1可得|x-1|+2|y-2|+2≤1+2+2=5,故|x-2y+1|的最大值为5,故为5.9.从点A(2,-1,7)沿向量=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则B点坐标为()
A.(-9,-7,7)
B.(18,17,-17)
C.(9,7,-7)
D.(-14,-19,31)答案:B10.已知随机变量X满足D(X)=2,则D(3X+2)=()
A.2
B.8
C.18
D.20答案:C11.设复数z=x+yi(x,y∈R)与复平面上点P(x,y)对应.
(1)设复数z满足条件|z+3|+(-1)n|z-3|=3a+(-1)na(其中n∈N*,常数a∈
(32
,
3)),当n为奇数时,动点P(x,y)的轨迹为C1;当n为偶数时,动点P(x,y)的轨迹为C2,且两条曲线都经过点D(2,2),求轨迹C1与C2的方程;
(2)在(1)的条件下,轨迹C2上存在点A,使点A与点B(x0,0)(x0>0)的最小距离不小于233,求实数x0的取值范围.答案:(1)方法1:①当n为奇数时,|z+3|-|z-3|=2a,常数a∈
(32
,
3),轨迹C1为双曲线,其方程为x2a2-y29-a2=1;…(3分)②当n为偶数时,|z+3|+|z-3|=4a,常数a∈
(32
,
3),轨迹C2为椭圆,其方程为x24a2+y24a2-9=1;…(6分)依题意得方程组44a2+24a2-9=14a2-29-a2=1⇒4a4-45a2+99=0a4-15a2+36=0
,解得a2=3,因为32<a<3,所以a=3,此时轨迹为C1与C2的方程分别是:x23-y26=1(x>0),x212+y23=1.…(9分)方法2:依题意得|z+3|+|z-3|=4a|z+3|-|z-3|=2a⇒|z+3|=3a|z-3|=a…(3分)轨迹为C1与C2都经过点D(2,2),且点D(2,2)对应的复数z=2+2i,代入上式得a=3,…(6分)即|z+3|-|z-3|=23对应的轨迹C1是双曲线,方程为x23-y26=1(x>0);|z+3|+|z-3|=43对应的轨迹C2是椭圆,方程为x212+y23=1.…(9分)(2)由(1)知,轨迹C2:x212+y23=1,设点A的坐标为(x,y),则|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-14x2=34x2-2x0x+x20+3=34(x-43x0)2+3-13x20,x∈[-23,23]…(12分)当0<43x0≤23即0<x0≤332时,|AB|2min=3-13x20≥43⇒0<x0≤5当43x0>23即x0>332时,|AB|min=|x0-23|≥233⇒x0≥833,…(16分)综上,0<x0≤5或x0≥833.…(18分)12.已知OA=a,OB=b,,且|a|=|b|=2,∠AOB=60°,则|a+b|=______;a+b与b的夹角为______.答案:∵|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a?b
由|a|=|b|=2,∠AOB=60°,得:a2=b2=
4,a?b
=2∴|a+b|2=12,∴|a+b|=23令a+b与b的夹角为θ则0≤θ≤π,且cosθ=a?(a+b)|a|?|a+b|=32∴θ=π6故为:23,π613.若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为______cm2.答案:如图所示:∵轴截面是边长为4等边三角形,∴OB=2,PB=4.圆锥的侧面积S=π×2×4=8πcm2.故为8π.14.设a=(-1,1),b=(x,3),c=(5,y),d=(8,6),且b∥d,(4a+d)⊥c.
(1)求b和c;
(2)求c在a方向上的射影;
(3)求λ1和λ2,使c=λ1a+λ2b.答案:(1)∵b∥d,∴6x-24=0.∴x=4.∴b=(4,3).∵4a+d=(4,10),(4a+d
)⊥c,∴5×4+10y=0.∴y=-2.∴c=(5,-2).(2)cos<a,c>=a•c|a|
|c|=-5-22•29=-75858,∴c在a方向上的投影为|c|cos<a,c>=-722.(3)∵c=λ1a+λ2b,∴5=-λ1+4λ2-2=λ1+3λ2,解得λ1=-237,λ2=37.15.过点A(0,2),且与抛物线C:y2=6x只有一个公共点的直线l有()条.A.1B.2C.3D.4答案:∵点A(0,2)在抛物线y2=6x的外部,∴与抛物线C:y2=6x只有一个公共点的直线l有三条,有两条直线与抛物线相切,有一条直线与抛物线的对称轴平行,故选C.16.已知,,那么P(B|A)等于()
A.
B.
C.
D.答案:B17.在直径为4的圆内接矩形中,最大的面积是()
A.4
B.2
C.6
D.8答案:D18.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()
A.若m∥n,m∥α,则n∥α
B.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
C.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β答案:D19.由直角△ABC勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E,交股的延长线于F,交外接圆于G,求证:EG为EA和EB的比例中项,又为ED和EF的比例中项.
答案:证明:连接GA、GB,则△AGB也是一个直角三角形,因为EG为直角△AGB的斜边AB上的高,所以,EG为EA和EB的比例中项,即EG2=EA?EB∵∠AFE=∠ABC,∴直角△AEF∽直角△DEB,EAEF=EDEB即EA?EB=ED?EF.又∵EG2=EA?EB,∴EG2=ED?EF(等量代换),故EG也是ED和EF的比例中项.20.解不等式:2<|3x-1|≤3.答案:由原不等式得-3≤3x-1<-2或2<3x-1≤3,∴-2≤3x<-1或3<3x≤4,∴-23≤x<-13或1<x≤43,∴不等式的解集是{x|-23≤x<-13或1<x≤43}.21.若向量a⊥b,且向量a=(2,m),b=(3,1)则m=______.答案:因为向量a=(2,m),b=(3,1),又a⊥b,所以2×3+m=0,所以m=-6.故为-6.22.某公司的管理机构设置是:设总经理一个,副总经理两个,直接对总经理负责,下设有6个部门,其中副总经理A管理生产部、安全部和质量部,副总经理B管理销售部、财务部和保卫部.请根据以上信息补充该公司的人事结构图,其中①、②处应分别填()
A.保卫部,安全部
B.安全部,保卫部
C.质检中心,保卫部
D.安全部,质检中心
答案:B23.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为()
A.a,b,c,d中至少有一个正数
B.a,b,c,d全为正数
C.a,b,c,d全都大于等于0
D.a,b,c,d中至多有一个负数答案:C24.已知x,y的取值如下表所示:
x0134y2.24.34.86.7从散点图分析,y与x线性相关,且y^=0.95x+a,以此预测当x=2时,y=______.答案:∵从所给的数据可以得到.x=0+1+3+44=2,.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6∴线性回归方程是y=0.95x+2.6,∴预测当x=2时,y=0.95×2+2.6=4.5故为:4.525.阅读程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()A.3B.4C.5D.6答案:该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1,a=2;经第二次循环得到i=2,a=5;经第三次循环得到i=3,a=16;经第四次循环得到i=4,a=65满足判断框的条件,执行是,输出4故选B26.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件答案:C27.空间中,若向量=(5,9,m),=(1,-1,2),=(2,5,1)共面,则m=()
A.2
B.3
C.4
D.5答案:C28.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1,以下结论正确的是()
A.(1)的假设错误,(2)的假设正确
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确,(2)的假设错误
D.(1)与(2)的假设都错误答案:A29.圆的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π3),则该圆的圆心的极坐标是______.答案:∵ρ=2cos(θ+π3),展开得ρ=cosθ-3sinθ,∴ρ2=ρcosθ-3ρsinθ,∴x2+y2=x-3y,∴(x-12)2+(y+32)2=1.∴圆心(12,-32).∴ρ=(12)2+(-32)2=1,tanθ=-3212=-3,∴θ=-π3.故圆心的极坐标是(1,-π3).故为(1,-π3).30.如图,某公司制造一种海上用的“浮球”,它是由两个半球和一个圆柱筒组成.其中圆柱的高为2米,球的半径r为0.5米.
(1)这种“浮球”的体积是多少立方米(结果精确到0.1m3)?
(2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元,半球形部分每平方米建造费用为30元.求该“浮球”的建造费用(结果精确到1元).答案:(1)∵球的半径r为0.5米,∴两个半球的体积之和为V球=43πr3=43π?18=16πm3,∵圆柱的高为2米,∴V圆柱=πr2?h=π×14×2=12πm3,∴该“浮球”的体积是:V=V球+V圆柱=23π≈2.1m3;(2)圆柱筒的表面积为2πrh=2πm2;两个半球的表面积为4πr2=πm2,∵圆柱形部分每平方米建造费用为20元,半球形部分每平方米建造费用为30元,∴该“浮球”的建造费用为2π×20+π×30=70π≈220元.31.已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足PN+12NM=0,PM•PF=0.
(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立,请说明理由.答案:(Ⅰ)设N(x,y),则由PN+12NM=0,得P为MN的中点.∴P(0,y2),M(-x,0).∴PM=(-x,-y2),PF=(1,-y2).∴PM•PF=-x+y24=0,即y2=4x.∴动点N的轨迹E的方程y2=4x.(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1),由y=k(x-1)y2=4x,消去x得y2-4ky-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=4k,y1y2=-4.假设存在点C(m,0)满足条件,则CA=(x1-m,y1),CB=(x2-m,y2),∴CA•CB=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=(y1y24)2-m(y12+y224)+m2-4=-m4[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3=m2-m(4k2+2)-3.∵△=(4k2+2)2+12>0,∴关于m的方程m2-m(4k2+2)-3=0有解.∴假设成立,即在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.32.一部记录影片在4个单位轮映,每一单位放映一场,则不同的轮映方法数有()A.16B.44C.A44D.43答案:本题可以看做把4个单位看成四个位置,在四个位置进行全排列,故有A44种结果,故选C.33.两个正方体M1、M2,棱长分别a、b,则对于正方体M1、M2有:棱长的比为a:b,表面积的比为a2:b2,体积比为a3:b3.我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”,下列给出的几何体中是“相似体”的是()
A.两个球
B.两个长方体
C.两个圆柱
D.两个圆锥答案:A34.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为(4,π3),则|CP|=______.答案:圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆的方程为:x2+y2=4x,圆心为C(2,0),点P的极坐标为(4,π3),所以P的直角坐标(2,23),所以|CP|=(2-2)2+(23-0)2=23.故为:23.35.点O是△ABC内一点,若+=-,则是S△AOB:S△AOC=()
A.1
B.
C.
D.答案:A36.不等式的解集是(
)
A.
B.
C.
D.答案:D37.给出一个程序框图,输出的结果为s=132,则判断框中应填()
A.i≥11
B.i≥10
C.i≤11
D.i≤12
答案:A38.将一个总体分为A、B、C三层,其个体数之比为5:3:2,若用分层抽样的方法抽取容量为180的样本,则应从C中抽取样本的个数为______个.答案:由分层抽样的定义可得应从B中抽取的个体数为180×25+3+2=36,故为:36.39.已知函数f(x)=(12)x,a,b∈R*,A=f(a+b2),B=f(ab),C=f(2aba+b),则A、B、C的大小关系为______.答案:∵a+b2≥ab,2aba+b=21a+1b≤221ab=ab,∴a+b2≥ab≥2aba+b>0又
f(x)=(12)x在R上是减函数,∴f(a+b2)≤f(ab)
≤f(2aba+b)即A≤B≤C故为:A≤B≤C.40.设=(-2,2,5),=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系是()
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定答案:B41.规定符号“△”表示一种运算,即a△b=ab+a+b,其中a、b∈R+;若1△k=3,则函数f(x)=k△x的值域______.答案:1△k=k+1+k=3,解得k=1,∴k=1∴f(x)=k△x=kx+k+x=x+x+1对于x需x≥0,∴对于f(x)=x+x+1=(x+12)2+34≥1故函数f(x)的值域为[1,+∞)故为:[1,+∞)42.平面向量的夹角为,则等于(
)
A.
B.3
C.7
D.79答案:A43.(不等式选讲)
已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明:.答案:略解析::证明:由,所以同理:
,
相加得:左³……………(10分)44.设随机变量ζ~N(2,p),随机变量η~N(3,p),若,则P(η≥1)=()
A.
B.
C.
D.答案:D45.某学校高一、高二、高三共有学生3500人,其中高三学生数是高一学生数的两倍,高二学生数比高一学生数多300人,现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取高一学生数为()
A.8
B.11
C.16
D.10答案:A46.如图,△PAB所在的平面α和梯形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,若tan∠ADP+2tan∠BCP=10,则点P在平面α内的轨迹是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分答案:由AD⊥α,可得AD⊥AP,tan∠ADP=APAD,四边形ABCD是梯形,则AD∥BC,可得BC⊥α,BC⊥BP,则tan∠BCP=BPBC,又由tan∠ADP+2tan∠BCP=10,且AD=4,BC=8,可得AP+BP=40,又由AB=6,则AP+BP>AB,故P在平面α内的轨迹是椭圆的一部分,故选B.47.离心率e=23,短轴长为85的椭圆标准方程为______.答案:离心率e=23,短轴长为85,所以ca=23;b=45又a2=b2+c2解得a2=144,b2=80所以椭圆标准方程为x2144+y280=1或y2144+x280=1故为x2144+y280=1或y2144+x280=148.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是______.答案:这两章的内容都是通过建立直角坐标系,用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质.故为用代数的方法研究图形的几何性质解析:教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是______.49.点(2,-2)的极坐标为______.答案:∵点(2,-2)中x=2,y=-2,∴ρ=x2+y2=4+4=22,tanθ=yx=-1,∴取θ=-π4.∴点(2,-2)的极坐标为(22,-π4)故为(22,-π4).50.把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中,顺序较为恰当的是()
①平行
②垂直
③相交
④斜交.
A.①②③④
B.①④②③
C.①③②④
D.②①③④
答案:C第3卷一.综合题(共50题)1.已知向量表示“向东航行1km”,向量表示“向南航行1km”,则向量表示()
A向东南航行km
B.向东南航行2km
C.向东北航行km
D.向东北航行2km答案:A2.已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长,c为斜边.若点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,则m2+n2的最小值是______.答案:根据题意可知:当(m,n)运动到原点与已知直线作垂线的垂足位置时,m2+n2的值最小,由三角形为直角三角形,且c为斜边,根据勾股定理得:c2=a2+b2,所以原点(0,0)到直线ax+by+2c=0的距离d=|0+0+2c|a2+b2=2,则m2+n2的最小值为4.故为:4.3.若函数y=f(x)的定义域是[12,2],则函数y=f(log2x)的定义域为______.答案:由题意知12≤log2x≤2,即log22≤log2x≤log24,∴2≤x≤4.故为:[2,4].4.某初级中学领导采用系统抽样方法,从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数k==16,即每16人抽取一个人.在1~16中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从33~48这16个数中应取的数是(
)
A.40
B.39
C.38
D.37答案:B5.若A为m×n阶矩阵,AB=C,则B的阶数可以是下列中的______.
①m×m,②m×n,③n×m,④n×n.答案:两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时,才能作乘法.矩阵A是n列矩阵,故矩阵B是n行的矩阵则B的阶数可以是③n×m,④n×n故为:③④6.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点M(ρ,θ)关于极点的对称点的极坐标是______.答案:由点的极坐标的意义可得,点M(ρ,θ)关于极点的对称点到极点的距离等于ρ,极角为π+θ,故点M(ρ,θ)关于极点的对称点的极坐标是(ρ,π+θ),故为(ρ,π+θ).7.赋值语句M=M+3表示的意义()
A.将M的值赋给M+3
B.将M的值加3后再赋给M
C.M和M+3的值相等
D.以上说法都不对答案:B8.以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是______.答案:根据抛物线定义可知|PF|=p2,而圆的半径为p2,圆心为(p2,0),|PF|正好等于所求圆的半径,进而可推断圆与y轴位置关系是相切.9.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为______米.答案:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,-2)代入x2=my,得m=-2∴x2=-2y,代入B(x0,-3)得x0=6,故水面宽为26m.故为:26.10.某厂一批产品的合格率是98%,检验单位从中有放回地随机抽取10件,则计算抽出的10件产品中正品数的方差是______.答案:用X表示抽得的正品数,由于是有放回地随机抽取,所以X服从二项分布B(10,0.98),所以方差D(X)=10×0.98×0.02=0.196故为:0.196.11.在下面的图示中,结构图是()
A.
B.
C.
D.
答案:B12.给定点A(x0,y0),圆C:x2+y2=r2及直线l:x0x+y0y=r2,给出以下三个命题:
①当点A在圆C上时,直线l与圆C相切;
②当点A在圆C内时,直线l与圆C相离;
③当点A在圆C外时,直线l与圆C相交.
其中正确的命题个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3答案:D13.已知0<α<π2,方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围______.答案:方程x2sinα+y2cosα=1化成标准形式得:x21sinα+y21cosα=1.∵方程表示焦点在y轴上的椭圆,∴1cosα>1sinα>0,解之得sinα>cosα>0∵0<α<π2,∴π4<α<π2,即α的取值范围是(π4,π2)故为:(π4,π2)14.设a>2,给定数列{xn},其中x1=a,xn+1=x2n2(xn-1)(n=1,2…)求证:
(1)xn>2,且xn+1xn<1(n=1,2…);
(2)如果a≤3,那么xn≤2+12n-1(n=1,2…).答案:证明:(1)①当n=1时,∵x2=x122(x1-1)=x1+(2-x1)x12(x1-1),x2=x122(x1-1)=4(x1-1)+x12
-4x1+42(x1-1)=2+(x1-2)22(x1-1),x1=a>2,∴2<x2<x1.结论成立.②假设n=k时,结论成立,即2<xk+1<xk(k∈N+),则xk+2=xk+122(xk+1-1)=xk+1+(2-xk+1)xk+12(xk+1-1)>xk+1,xk+2=xk+122(xk+1-1)=2+(xk+1-2)22(xk+1-1)>2.∴2<xk+2<xk+1,综上所述,由①②知2<xn+1<xn.∴xn>2且xn+1xn<1.(2)由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时,由条件及xk>2知xk+1≤1+12k⇔x2k≤2(xk-1)(2+12k)⇔x2k-2(2+12k)xk+2(2+12k)≤0⇔(xk-2)[xk-(2+12k-1)]≤0,再由xk>2及归纳假设知,上面最后一个不等式一定成立,所以不等式xk+1≤2+12k也成立,从而不等式xn≤2+12n-1对所有的正整数n成立15.直线(t为参数)的倾斜角等于()
A.
B.
C.
D.答案:A16.如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于D,CD=4,AB=3BC,则AC的长是______.答案:∵CD是圆O的切线,∴由切割线定理得:CD2=CB×CA,∵AB=3BC,设BC=x,由CA=4x,又CD=4∴16=x×4x,x=2∴则AC的长是8.故填:8.17.设ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且a12+a22+…an2=1,x12+x22+…xn2=1,则a1x1,a2x2,…,anxn的值中,现给出以下结论,其中你认为正确的是______.
①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1.答案:由题意ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且a12+a22+…an2=1,x12+x22+…xn2=1,对于a1x1,a2x2,…,anxn的值中,若①成立,则分母都小于分子,由于分母的平方和为1,故可得a12+a22+…an2大于1,这与已知矛盾,故①不对;若②成立,则分母都大于分子,由于分母的平方和为1,故可得a12+a22+…an2小于1,这与已知矛盾,故②不对;由于③与①两结论互否,故③对④不可能成立,a1x1,a2x2,…,anxn的值中有多于一个的比值大于1是可以的,故不对⑤与②两结论互否,故正确综上③⑤两结论正确故为③⑤18.P为椭圆x225+y216=1上一点,F1,F2分别为其左,右焦点,则△PF1F2周长为______.答案:由题意知△PF1F2周长=2a+2c=10+6=16.19.某射手射击所得环数X的分布列为:
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()
A.0.28
B.0.88
C.0.79
D.0.51答案:C20.如图算法输出的结果是______.答案:当I=1时,满足循环的条件,进而循环体执行循环则S=2,I=4;当I=4时,满足循环的条件,进而循环体执行循环则S=4,I=7;当I=7时,满足循环的条件,进而循环体执行循环则S=8,I=10;当I=10时,满足循环的条件,进而循环体执行循环则S=16,I=13;当I=13时,不满足循环的条件,退出循环,输出S值16故为:1621.经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径等于2的圆的方程是______.答案:∵圆过原点,圆心在x轴的负半轴上,∴圆心的横坐标的相反数等于圆的半径,又∵半径r=2,∴圆心坐标为(-2,0),由此可得所求圆的方程为(x+2)2+y2=2.故为:(x+2)2+y2=222.设P是边长为23的正△ABC内的一点,x,y,z是P到三角形三边的距离,则x+y+z的最大值为______.答案:正三角形的边长为a=23,可得它的高等于32a=3∵P是正三角形内部一点∴点P到三角形三边的距离之和等于正三角形的高,即x+y+z=3∵(x+y+z)2=(1×x+1×y+1×z)2≤(1+1+1)(x+y+z)=9∴x+y+z≤3,当且仅当x=y=z=1时,x+y+z的最大值为3故为:323.已知镭经过100年,质量便比原来减少4.24%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则y=f(x)的函数解析式为(x≥0)()A.0.0424x100B.0.9576x100C.0.0424100xD.0.9576100x答案:由题意可得,对于函数,当x=100时,y=95.76%=0.9576,结合选项检验选项A:x=100,y=0.0424,故排除A选项B:x=100,y=0.9576,故B正确故选:B解析:已知镭经过100年,质量便比原来减少4.24%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则y=f(x)的函数解析式为(x≥0)()A.0.0424x100B.0.9576x100C.0.0424100x24.用“斜二测画法”作正三角形ABC的水平放置的直观图△A′B′C′,则△A′B′C′与△ABC的面积之比为______.答案:设正三角形的标出为:1,正三角形的高为:32,所以正三角形的面积为:34;按照“斜二测画法”画法,△A′B′C′的面积是:12×1×34×sin45°=616;所以△A′B′C′与△ABC的面积之比为:61634=24,故为:2425.从四个公司按分层抽样的方法抽取职工参加知识竞赛,其中甲公司共有职工96人.若从甲、乙、丙、丁四个公司抽取的职工人数分别为12,21,25,43,则这四个公司的总人数为()
A.101
B.808
C.1212
D.2012答案:B26.设二项式(33x+1x)n的展开式的各项系数的和为P,所有二项式系数的和为S,若P+S=272,则n=()A.4B.5C.6D.8答案:根据题意,对于二项式(33x+1x)n的展开式的所有二项式系数的和为S,则S=2n,令x=1,可得其展开式的各项系数的和,即P=4n,结合题意,有4n+2n=272,解可得,n=4,故选A.27.4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,不同报法的种数是()
A.34
B.43
C.24
D.12答案:A28.如果命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},那么下列结论不正确的是()A.“P或Q”为真B.“P且Q”为假C.“非P”为假D.“非Q”为假答案:命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},可直接看出命题Q,命题P都是正确的.故“P或Q”为真.“P且Q”为真.“非P”为假.“非Q”为假.故选B.29.满足{1,2}∪A={1,2,3}的集合A的个数为______.答案:由{1,2}∪A={1,2,3},所以A={3},或{1,3},或{2,3},或{1,2,3}.所以集合A的个数为4.30.若平面α与β的法向量分别是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面α与β的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断答案:∵a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),∴a+b=(1-1,0+0,-2+2)=(0,0,0),即a+b=0由此可得a∥b∵a、b分别是平面α与β的法向量∴平面α与β的法向量平行,可得平面α与β互相平行.31.已知a>0,b>0,直线l与x轴、y轴分别交于A(a,0),B(0,b),且过点(1,2),O为原点.求△OAB面积的最小值.答案:∵a>0,b>0,直线l与x轴、y轴分别交于A(a,0),B(0,b),∴直线l的方程为xa+yb=1,又直线l过点(1,2),∴1a+2b=1,由基本不等式得1≥22ab,∴ab≥8,△OAB面积为:12ab≥12×8=4,当且仅当1a=2b=12,即a=2且b=4时,等号成立.故△OAB面积的最小值是4.32.设直线y=kx与椭圆x24+y23=1相交于A、B两点,分别过A、B向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于()A.±32B.±23C.±12D.±2答案:将直线与椭圆方程联立,y=kxx24+y23=1,化简整理得(3+4k2)x2=12(*)因为分别过A、B向x轴作垂线,垂足恰为椭圆的两个焦点,故方程的两个根为±1.代入方程(*),得k=±32故选A.33.设S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,则()A.S(2)=12+13B.S(2)=12+14C.S(2)=1+12+13+14D.S(2)=12+13+14答案:∵S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,当n=2时,n2=4故S(2)=12+13+14故选D34.P为△ABC内一点,且PA+3PB+7PC=0,则△PAC与△ABC面积的比为______.答案:(如图)分别延长
PB、PC
至
B1、C1,使
PB1=3PB,PC1=7PC,则由已知可得:PA+PB1+PC1=0,故点P是三角形
AB1C1
的重心,设三角形
AB1C1
的面积为
3S,则S△APC1=S△APB1=S△PB1C1=S,而S△APC=17S△APC1=S7,S△ABP=13S△APB1=S3,S△PBC=13×17S△PB1C1=S21,所以△PAC与△ABC面积的比为:S7S7+S3+S21=311,故为:31135.在空间直角坐标系中,已知A,B两点的坐标分别是A(2,3,5),B(3,1,4),则这两点间的距离|AB|=______.答案:∵A,B两点的坐标分别是A(2,3,5),B(3,1,4),∴|AB|=(3-2)2+(1-3)2+(4-5)2,=1+4+1=6,故为:6.36.如图程序框图表达式中N=______.答案:该程序按如下步骤运行①N=1×2,此时i变成3,满足i≤5,进入下一步循环;②N=1×2×3,此时i变成4,满足i≤5,进入下一步循环;③N=1×2×3×4,此时i变成5,满足i≤5,进入下一步循环;④N=1×
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