2023年天津工艺美术职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年天津工艺美术职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的答案：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的．故选C．2.直线l：y-1=k（x-1）和圆C：x2+y2-2y=0的关系是（）

A．相离

B．相切或相交

C．相交

D．相切答案：C3.函数f（x）=ax+loga（x+1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为

______．答案：∵y=ax与y=loga（x+1）具有相同的单调性．∴f（x）=ax+loga（x+1）在[0，1]上单调，∴f（0）+f（1）=a，即a0+loga1+a1+loga2=a，化简得1+loga2=0，解得a=12故为：124.方程组的解集为（）

A．{2，1}

B．{1，2}

C．{（2，1）}

D．（2，1）答案：C5.比较大小：a=0.20.5，b=0.50.2，则（）

A．0＜a＜b＜1

B．0＜b＜a＜1

C．1＜a＜b

D．1＜b＜a答案：A6.若a＞0，使不等式|x-4|+|x-3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值是（）

A．0＜a＜1

B．a=1

C．a＞1

D．以上均不对答案：C7.已知e1，e2是夹角为60°的单位向量，且a=2e1+e2，b=-3e1+2e2

（1）求a•b；

（2）求a与b的夹角＜a，b＞．答案：（1）求a•b=(2e1+e2)•

(-3e1+2e2)=

-6e12+e1

•e2+2e22=-6+1×1×cos60°+2=-72．（2）|a|=|2e1+e2|=(2e1+e2)2=4e12+2e1•e2+e22=7同样地求得|b|=7．所以cos＜a，b＞=a•b|a||b|=-727

×7=-12，又0＜＜a，b＞＜π，所以＜a，b＞=2π3．8.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（

）

A．预报变量x轴上，解释变量y轴上

B．解释变量x轴上，预报变量y轴上

C．可以选择两个变量中任意一个变量x轴上

D．可以选择两个变量中任意一个变量y轴上答案：B9.集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=______．答案：根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，2∈B，而已知A={3，2a}，则必有2a=2，故a=1，又由2∈B，且a=1则b=2，故A∪B={1，2，3}，故为{1，2，3}．10.已知0＜k＜4，直线l1：kx-2y-2k+8=0和直线l：2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为______．答案：如图所示：直线l1：kx-2y-2k+8=0即k（x-2）-2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4-k），直线l：2x+k2y-4k2-4=0，即2x-4+k2（y-4）=0，过定点（2，4），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为12×4×（2k2+2-2）+2×(4-k+4)2=4k2-k+8，∴k=18时，所求四边形的面积最小，故为18．11.过A（-2，3），B（2，1）两点的直线的斜率是（）

A．

B．

C．-2

D．2答案：B12.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为20N，合力与F1的夹角为30°，那么F1的大小为（）A．103NB．10

NC．20

ND．102N答案：设向F1，F2的对应向量分别为OA、OB以OA、OB为邻边作平行四边形OACB如图，则OC=OA+OB，对应力F1，F2的合力∵F1，F2的夹角为90°，∴四边形OACB是矩形在Rt△OAC中，∠COA=30°，|OC|=20∴|OA|=|OC|cos30°=103故选：A13.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．答案：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4直线l的参数方程x=22t+1y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长24-12=14．14.如图，四边形ABCD内接于圆O，且AC、BD交于点E，则此图形中一定相似的三角形有（）对．

A．0

B．3

C．2

D．1

答案：C15.求两条平行直线3x-4y-11=0与6x-8y+4=0的距离是（）

A．3

B．

C．

D．4答案：B16.双曲线的渐近线方程是3x±2y=0，则该双曲线的离心率等于______．答案：∵双曲线的渐近线方程是3x±2y=0，∴ba=32，设a=2k，b=3k，则c=13k，∴e=ca=132．：132．17.电视机的使用寿命显像管开关的次数有关．某品牌电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.96，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是______．答案：记“开关了10000次还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P（A）=0.96，P（B）=0.80，则P（A∩B）=0.80，由条件概率的计算方法，可得P=P(A∩B)P(A)=0.800.96=56；故为56．18.已知x，y，z满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是______．答案：由题意可得P（x，y，z），在以M（3，4，0）为球心，2为半径的球面上，x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O，M之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|-2=32+42-2=52，所以|OP|2=27-102．故为：27-102．19.下面玩掷骰子放球游戏，若掷出1点或6点，甲盒放一球；若掷出2点，3点，4点或5点，乙盒放一球，设掷n次后，甲、乙盒内的球数分别为x、y．

（1）当n=3时，设x=3，y=0的概率；

（2）当n=4时，求|x-y|=2的概率．答案：由题意知，在甲盒中放一球概率为13，在乙盒放一球的概率为23（3分）（1）当n=3时，x=3，y=0的概率为C03(13)3(23)0=127（6分）（2）|x-y|=2时，有x=3，y=1或x=1，y=3，它的概率为C14

(13)3(23)1+C34(13)1(23)3=4081（12分）．20.等于（）

A．

B．

C．

D．答案：B21.（理）某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训，另外3名员工没有参加过任何技能培训，现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训；

（I）求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率；

（Ⅱ）这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量，求X的分布列和数学期望．答案：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从8人中选3个，共有C83=56种结果，满足条件的事件是恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工，共有C51C32=15∴恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率P=1556（II）随机变量X可能取的值是：0，1，2，3．P（X=0）=156P（X=1）=1556P（X=2）=1528P（X=3）=C35C38=528∴随机变量X的分布列是X0123P15615561528528∴X的数学期望是1×1556+2×

1528+3×528=15822.若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tanaπ6=______．答案：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，解得a=2．∴tanaπ6=tanπ3=3故为：323.向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S2的概率为______．答案：记事件A={△PBC的面积小于S2}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的34，所以P（A）=阴影部分的面积三角形ABC的面积=34．故为：34．24.已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在轴上，离心率e=22，且经过点M（0，2），求椭圆c的方程答案：若焦点在x轴很明显，过点M（0，2）点M即椭圆的上端点，所以b=2ca=22c2=12a2∵a2=b2+c2所以b2=c2=2a2=4椭圆：x24+y22=1若焦点在y轴，则a=2，ca=22，c=1∴b=1椭圆方程：x22+y2=1．25.已知双曲线的两渐近线方程为y=±32x，一个焦点坐标为（0，-26），

（1）求此双曲线方程；

（2）写出双曲线的准线方程和准线间的距离．答案：（1）由题意得，c=26，ba=32，26=a2+b2，∴a2=18，b2=8，故该双曲线的标准方程为y218-x28=1．（2）由（1）得，双曲线的准线方程为y=±1826x；准线间的距离为2a2c=2×1826=182613．26.在△ABC中，D为AB上一点，M为△ABC内一点，且满足AD=34AB，AM=AD+35BC，则△AMD与△ABC的面积比为（）A．925B．45C．916D．920答案：AP=AD+DP=AD+35BC，DP=35BC．∴三角形ADP的高三角形ABC=ADAB=34，∴S△APDS△ABC=35?34=920．故选D．27.已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λOG=OA+OB+OC，则λ=______．答案：如图，正方体中，OA+OB+OC=OD=3OG，∴λ=3．故为3．28.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有40名，高二年级有50名，现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______．答案：∵高一年级有40名学生，在高一年级的学生中抽取了8名，∴每个个体被抽到的概率是

840=15∵高二年级有50名学生，∴要抽取50×15=10名学生，故为：10．29.条件语句的一般形式如图所示，其中B表示的是（）

A．条件

B．条件语句

C．满足条件时执行的内容

D．不满足条件时执行的内容

答案：C30.在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则OG可用基底{OA，OB，OC}表示成：OG=______．答案：如图，连接ON，在△OBC中，点N是BC中点，则由平行四边形法则得ON=12（OB+OC）在△OMN中，点G是MN中点，则由平行四边形法则得OG=12（OM+ON）=12OM+12ON=14OA+12•12（OB+OC）14(OA+OB+OC)，故为：14(OA+OB+OC)．31.设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，对于下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB．其中能作为一组基底的是______（只填写序号）．答案：解析：由于①AD与AB不共线，③CA与DC不共线，所以都可以作为基底．②DA与BC共线，④OD与OB共线，不能作为基底．故为：①③．32.构成多面体的面最少是（）

A．三个

B．四个

C．五个

D．六个答案：B33.已知

p：所有国产手机都有陷阱消费，则￢p是（）

A．所有国产手机都没有陷阱消费

B．有一部国产手机有陷阱消费

C．有一部国产手机没有陷阱消费

D．国外产手机没有陷阱消费答案：C34.△ABC所在平面内点O、P，满足OP=OA+λ(AB+12BC)，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定经过△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心答案：设BC的中点为D，则∵OP=OA+λ(AB+12BC)，∴OP=OA+λAD∴AP=λAD∴AP∥AD∵AD是△ABC的中线∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心故选A．35.（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．

（1）求证：FB=FC；

（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=33，求AD的长．答案：（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC=∠FBC；

…2′∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC．…5（2）∵AB是圆的直径，∴∠ACD=90°∵∠EAC=120°，∴∠DAC=60°，∴∠D=30°…7′在Rt△ACB中，∵BC=33，∠BAC=60°，∴AC=3又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，∴AD=6

…10′36.从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB及一条割线PCD，A、B为切点．求证：ACBC=ADBD．

答案：证明：∠CAP=∠ADP∠CPA=∠APD?△CAP∽△ADP?ACAD=APDP，①∠CBP=∠BDP∠CPB=∠BPD?△CBP∽△BDP?BCDB=BPDP，②又AP=BP，③由①②③知：ACAD=BCBD，故ACBC=ADBD．得证．37.用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字，这些步骤的先后顺序应为（）A．①②③B．③②①C．①③②D．③①②答案：∵随机数表法进行抽样，包含这样的步骤，①将总体中的个体编号；②选定开始的数字，按照一定的方向读数；③获取样本号码，∴把题目条件中所给的三项排序为：①③②，故选C．38.求圆心在直线y=-4x上，并且与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2）的圆的方程．答案：设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）由题意有：b=-4a|a+b+1|2=rb+2a-3•(-1)=-1解之得a=1b=-4r=22∴所求圆的方程为（x-1）2+（y+4）2=839.直角坐标xOy平面上，平行直线x=n（n=0，1，2，…，5）与平行直线y=n（n=0，1，2，…，5）组成的图形中，矩形共有（）

A．25个

B．36个

C．100个

D．225个答案：D40.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则＜a，b＞=______．答案：∵b=（m，m）（m＞0），∴b与第一象限的角平分线同向，且由原点指向远处，而a=（1，0）同横轴的正方向同向，∴＜a，b＞=45°，故为：45°41.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）

A．（2，）

B．（2，-）

C．（2，）

D．（2,2kπ+）（k∈Z）答案：C42.各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．答案：（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则an=2n-1（Ⅱ）只需证：1+13+…+12n-1≤

2n-1．1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．当n=2时，左边＜右边，所以命题成立②假设n=k时命题成立，即1+13+…+12k-1≤2k-1，当n=k+1时，左边=1+13+…+12K-1+12K+1≤2K-1+12K+1．＜2K-1+22K+1+2K-1=2K-1+2(2K+1-2K-1)

2=2(K+1)-1．命题成立由①②可知，1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．43.在直角坐标系xOy中，i，j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若在Rt△ABC中，AB=i+j，AC=2i+mj，则实数m=______．答案：把AB、AC平移，使得点A与原点重合，则AB=（1，1）、AC=（2，m），故BC=（1，m-1），若∠B=90°时，AB•BC=0，∴（1，1）•（2-1，m-1）=0，得m=0；若∠A=90°时，AB•AC=0，∴（1，1）•（2，m）=0，得m=-2．若∠C=90°时，AC•BC=0，即2+m2-m=0，此方程无解，综上，m为-2或0满足三角形为直角三角形．故为-2或044.“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）

A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角

B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角

C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角

D．以上都不对答案：B45.过点（-1，3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（

）

A．2x+y-1=0

B．2x+y-5=0

C．x+2y-5=0

D．x-2y+7=0答案：A46.如图为一个求50个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）

A．i＞50

B．i＜50

C．i＞=50

D．i＜=50

答案：A47.Rt△ABC的直角边AB在平面α内，顶点C在平面α外，则直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形是（）

A．线段或锐角三角形

B．线段与直角三角形

C．线段或钝角三角形

D．线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形答案：B48.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（x）=1.06×（0.50×[m]+1）给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m∈______．答案：∵10.6=1.06（0.50×[m]+1），∴0.5[m]=9，∴[m]=18，∴m∈（17，18]．故为：（17，18]．49.已知适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3，求p的值．答案：因为x的最大值为3，故x-3＜0，原不等式等价于|x2-4x+p|-x+3≤5，（3分）即-x-2≤x2-4x+p≤x+2，则x2-5x+p-2≤0x2-3x+p+2≥0

解的最大值为3，（6分）设x2-5x+p-2=0

的根分别为x1和x2，x1＜x2，x2-3x+p+2=0的根分别为x3和

x4，x3＜x4．则x2=3，或x4=3．若x2=3，则9-15+p-2=0，p=8，若x4=3，则9-9+p+2=0，p=-2．当p=-2时，原不等式无解，检验得：p=8

符合题意，故p=8．（12分）50.已知正方形ABCD的边长为a，则|AC+AD|等于______．答案：∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=2a，AC与AD的夹角为45°|AC+AD|2=|AC

|2+2AC?AD+|AD|2=2a2+2×2a×a×22+a2=5a2∴|AC+AD|=5a故为：5a第2卷一.综合题(共50题)1.某学校为了解高一男生的百米成绩，随机抽取了50人进行调查，如图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图．根据该图可以估计出全校高一男生中百米成绩在[13，14]内的人数大约是140人，则高一共有男生______人．

答案：第三和第四个小矩形面积之和为（0.72+0.68）×0.5=0.7，即百米成绩在[13，14]内的频率为：0.7，因为根据该图可以估计出全校高一男生中百米成绩在[13，14]内的人数大约是140人，则高一共有男生1400.7=200人．故为：200．2.已知A=（2，-4，-1），B=（-1，5，1），C=（3，-4，1），若=，=，则对应的点为（）

A．（5，-9，2）

B．（-5，9，-2）

C．（5，9，-2）

D．（5，-9，-2）答案：B3.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）

A．k1＜k2＜k3

B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1

D．k1＜k3＜k2

答案：D4.如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD=2a3，∠OAP=30°，则CP=______．答案：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB．在Rt△OPA中，BP=AP=acos30°=32a．由相交弦定理知，BP?AP=CP?DP，即32a?32a=CP?23a，所以CP=98a．故填：98a．5.以过椭圆+=1(a＞b＞0)的右焦点的弦为直径的圆与直线l：x=的位置关系是（）

A．相交

B．相切

C．相离

D．不能确定答案：C6.椭圆x29+y216=1上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10B．8C．6D．不确定答案：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8，故选B．7.已知平行四边形的三个顶点A（-2，1），B（-1，3），C（3，4），求第四个顶点D的坐标．答案：若构成的平行四边形为ABCD1，即AC为一条对角线，设D1（x，y），则由AC中点也是BD1中点，可得

-2+32=x-121+42=y+32，解得

x=2y=2，∴D1（2，2）．同理可得，若构成以AB为对角线的平行四边形ACBD2，则D2（-6，0）；以BC为对角线的平行四边形ACD3B，则D3（4，6），∴第四个顶点D的坐标为：（2，2），或（-6，0），或（4，6）．8.下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）A．

B．

C．

D．

答案：根据函数的定义知：自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应．∴从图象上看，任意一条与x轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点．从而排除A，B，C，故选D．9.已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为______．答案：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=23时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=23时，a2+4b2+9c2的最小值为12故为：1210.曲线（t为参数）上的点与A（-2，3）的距离为，则该点坐标是（）

A．（-4，5）

B．（-3，4）或（-1，2）

C．（-3，4）

D．（-4，5）或（0，1）答案：B11.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得Χ2≈3.918，经查对临界值表知P（Χ2≥3.841）≈0.05．则下列结论中，正确结论的序号是______

（1）有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

（2）若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒

（3）这种血清预防感冒的有效率为95%

（4）这种血清预防感冒的有效率为5%答案：查对临界值表知P（Χ2≥3.841）≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”950/0仅是指“血清与预防感冒”可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能．故为：（1）．12.如果e1，e2是平面a内所有向量的一组基底，那么（）A．若实数λ1，λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0B．空间任一向量可以表示为a=λ1e1+λ2e2，这里λ1，λ2∈RC．对实数λ1，λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面a内D．对平面a中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对答案：∵由基底的定义可知，e1和e2是平面上不共线的两个向量，∴实数λ1，λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0，不是空间任一向量都可以表示为a=λ1e1+λ2e2，而是平面a中的任一向量a，可以表示为a=λ1e1+λ2e2的形式，此时实数λ1，λ2有且只有一对，而对实数λ1，λ2，λ1e1+λ2e2一定在平面a内，故选A．13.已知直线l：kx-y+1+2k=0．

（1）证明l经过定点；

（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；

（3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围．答案：（1）由kx-y+1+2k=0，得y-1=k（x+2），所以，直线l经过定点（-2，1）．（2）由题意得A（2k+1-k，0），B（0，2k+1），且2k+1-k＜01+2k＞0，故k＞0，△AOB的面积为S=12×2k+1k×（2k+1）=4k2+4k+12k=2k+2+12k≥4，当且仅当k=12时等号成立，此时面积取最小值4，k=12，直线的方程是：x-2y+4=0．（3）由直线过定点（-2，1），可得当斜率k＞0或k=0时，直线不经过第四象限．故k的取值范围为[0，+∞）．14.设x+y+z=1，求F=2x2+3y2+z2的最小值．答案：∵1=(x+y+z)2=(12?2x+13?3y+1?z)2≤(12+13+1)(2x2+3y2+z2)∴F=2x2+3y2+z2≥611（8分）当且仅当2x12=3y13=z1且x+y+z=1，x=311，y=211，z=611F有最小值611（12分）15.下列命题中正确的是（）

A．若，则

B.若，则

．若，则

D．若，则答案：C16.盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中各抽取1张（不放回），记“甲中奖”为A，“乙中奖”为B.

（1）求P（A），P（B），P（AB），P（A|B）；

（2）A与B是否相互独立，说明理由.答案：（1）P（A）==，P（B）=，P（AB）==，P（A|B）=.（2）因为P（A）≠P（A|B），所以A与B不相互独立.解析：（1）P（A）==，P（B）=，P（AB）==，P（A|B）=.（2）因为P（A）≠P（A|B），所以A与B不相互独立.17.已知图形F上的点A按向量平移前后的坐标分别是和，若B（）是图形F上的又一点，则在F按向量平移后得到的图形F，上B，的坐标是（

）A．B．C．D．答案：选D解析：设向量，则平移公式为依题意有∴平移公式为将B点坐标代入可得B，点的坐标为．所以选D．18.若a＞b＞0，则，，，从大到小是_____答案：>>>解析：,又ab>0,;即。故有：>>>19.下列命题中，正确的是（）

A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反

B．若a∥b，b∥c，则a∥c

C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

D．若a=b，b=c，则a=c答案：D20.设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤1}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：B21.如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC=100°，∠BCT=40°，则∠AOB=（）

A．30°

B．40°

C．80°

D．70°

答案：C22.正十边形的一个内角是多少度？答案：由多边形内角和公式180°（n-2），∴每一个内角的度数是180°(n-2)n当n=10时．得到一个内角为180°(10-2)10=144°23.已知空间两点A（4，a，-b），B（a，a，2），则向量AB=（）A．（a-4，0，2+b）B．（4-a，0，-b-2）C．（0，a-4，2+b）D．（a-4，0，-b-2）答案：∵A（4，a，-b），B（a，a，2）∴AB=(a-4，a-a，2-(-b))=(a-4，0，2+b)故选A24.（理）某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训，另外3名员工没有参加过任何技能培训，现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训；

（I）求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率；

（Ⅱ）这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量，求X的分布列和数学期望．答案：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从8人中选3个，共有C83=56种结果，满足条件的事件是恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工，共有C51C32=15∴恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率P=1556（II）随机变量X可能取的值是：0，1，2，3．P（X=0）=156P（X=1）=1556P（X=2）=1528P（X=3）=C35C38=528∴随机变量X的分布列是X0123P15615561528528∴X的数学期望是1×1556+2×

1528+3×528=15825.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是4和3及x，那么x的值的个数为（）

A．1个

B．2个

C．2个以上但有限

D．无数个答案：B26.已知P(B|A)=，P(A)=，则P（AB）等于（）

A．

B．

C．

D．答案：C27.已知点A（1-t，1-t，t），B（2，t，t），则A、B两点距离的最小值为（）

A.

B．

C．

D．2答案：A28.已知命题p：∀x∈R，x2-x+1＞0，则命题￢p

是______．答案：∵命题p：∀x∈R，x2-x+1＞0，∴命题p的否定是“∃x∈R，x2-x+1≤0”故为：∃x∈R，x2-x+1≤0．29.如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=6，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，若sin∠OCD=45，则直径AB=______．答案：连接OD，则OD⊥CD．∵∠ABC=90°，∴CD、CB为⊙O的两条切线．∴根据切线长定理得：CD=BC=6．在Rt△OCD中，sin∠OCD=45，∴tan∠OCD=43，OD=tan∠OCD×CD=8．∴AB=2OD=16．故为16．30.已知函数f（x）对其定义域内任意两个实数a，b，当a＜b时，都有f（a）＜f（b）．试用反证法证明：函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点．答案：证明：假设函数f（x）的图象与x轴至少有两个交点，…（2分）（1）若f（x）的图象与x轴有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，…（5分）由已知，函数f（x）对其定义域内任意实数x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）．…（7分）又根据假设，x1，x2是函数f（x）的两个零点，所以，f（x1）=f（x2）=0，…（9分）这与f（x1）＜f（x2）矛盾，…（10分）所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个交点．…（11分）（2）若f（x）的图象与x轴交点多于两个，可同理推出矛盾，…（12分）所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个以上交点．综上，函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点…（14分）31.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，a2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）

A．0.6

B．0.4

C．0.3

D．0.2答案：C32.用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是______．答案：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”，故为：a、b都不能被2整除．33.三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5之间的大小关系是（）A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c答案：∵0＜a=0.52＜1，b=log20.5＜log21=0，c=20.5＞20=1，∴b＜a＜c故选D．34.若以（y+2）2=4（x-1）上任一点P为圆心作与y轴相切的圆，那么这些圆必定过平面内的点（）

A．（1，-2）

B．（3，-2）

C．（2，-2）

D．不存在这样的点答案：C35.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．

在如图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则如图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A．

B．

C．

D．

答案：由题意可知：由于怕迟到，所以一开始就跑步，所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快．而等跑累了再走余下的路程，则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢．所以适合的图象为：故选B．36.某房间有四个门，甲要各进、出这个房间一次，不同的走法有多少种？（）

A．12

B．7

C．16

D．64答案：C37.已知圆的极坐标方程ρ=2cosθ，直线的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+7=0，则圆心到直线距离为

______．答案：由ρ=2cosθ⇒ρ2=2ρcosθ⇒x2+y2-2x=0⇒（x-1）2+y2=1，ρcosθ-2ρsinθ+7=0⇒x-2y+7=0，∴圆心到直线距离为：d=1-2×0+712+22=855．故为：855．38.如图1，一个“半圆锥”的主视图是边长为2的正三角形，左视图是直角三角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为（）A．33πB．36πC．23πD．3π答案：由已知中“半圆锥”的主视图是边长为2的正三角形，左视图是直角三角形，俯视图是半圆及其圆心，我们可以判断出底面的半径为1，母线长为2，则半圆锥的高为3故V=13×12×π×3=36π故选B39.过点A（0，2），且与抛物线C：y2=6x只有一个公共点的直线l有（）条．A．1B．2C．3D．4答案：∵点A（0，2）在抛物线y2=6x的外部，∴与抛物线C：y2=6x只有一个公共点的直线l有三条，有两条直线与抛物线相切，有一条直线与抛物线的对称轴平行，故选C．40.把方程化为以参数的参数方程是（

）A．B．C．D．答案：D解析：，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制41.如图，四条直线互相平行，且相邻两条平行线的距离均为h，一直正方形的4个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（）

A．4h2

B．5h2

C．4h2

D．5h2

答案：B42.已知直线方程l1：2x-4y+7=0，l2：x-2y+5=0，则l1与l2的关系（）

A．平行

B．重合

C．相交

D．以上答案都不对答案：A43.若关于的不等式的解集是,则的值为_______答案：-2解析：原不等式,结合题意画出图可知.44.如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？

答案：模为1的向量；模为2的向量；模为3的向量；模为2的向量；模为5的向量；模为10的向量共有6个模，进而分析方向，正方形的边对应的向量共有四个方向，边长为1的正方形的对角线对应的向量共四个方向；1×2的矩形的对角线对应的向量共四个方向；1×3的矩形对角线对应的向量共有四个方向共有16个方向45.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5，0)，e1=(2，1)、e2=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是______．答案：因为e1=(2，1)、e2=(2，-1)是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为y=±12x，又c=5，∴a=2，b=1双曲线方程为x24-y2=1，OP=ae1+be2=（2a+2b，a-b），∴(2a+2b)24-(a-b)2=1，化简得4ab=1．故为4ab=1．46.求过点A（2，3）且被两直线3x+4y-7=0，3x+4y+8=0截得线段为32的直线方程．答案：设所求直线l的斜率为k，∵|MN|=32，又在Rt△MNB中，|MB|=3，∴∠MNB=45°，即2条直线的夹角为45°，∴|

k-(-34)1+k(-34)|=tan45°=1，解得k=17，或k=-7，所求直线的方程为y-3=17（x-2），或y-3=-7（x-2），即x-7y+19=0，或7x+y-17=0．47.已知：集合A={x，y}，B={2，2y}，若A=B，则x+y=______．答案：∵集合A={x，y}，B={2，2y}，而A=B∴x=2y=0或x=2yy=2即x=4y=2∴x+y=2或6故为：2或648.在极坐标系中，过点(22，π4)作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是______．答案：(22，π4)的直角坐标为：（2，2），圆ρ=4sinθ的直角坐标方程为：x2+y2-4y=0；显然，圆心坐标（0，2），半径为：2；所以过（2，2）与圆相切的直线方程为：x=2，所以切线的极坐标方程是：ρcosθ=2故为：ρcosθ=249.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，设A（，，），B（，，0），C（

，，），则（

）

A．OA⊥AB

B．AB⊥AC

C．AC⊥BC

D．OB⊥OC答案：C50.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k2＜k1＜k3B．k3＜k2＜k1C．k2＜k3＜k1D．k1＜k3＜k2答案：∵直线l2的倾斜角为钝角，∴k2＜0．直线l1，l3的倾斜角为锐角，且直线l1的倾斜角小于l3的倾斜角，∴0＜k1＜k3．故选A．第3卷一.综合题(共50题)1.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是______．答案：因为三视图复原的几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为1，所以四棱锥的体积为13×2×2×1=43．故为：43．2.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为______．答案：直线4x-3y+5=0即8x-6y+10=0，由两平行线间的距离公式得：直线4x-3y+5=0（8x-6y+10=0）与直线8x-6y+5=0的距离是

|10-5|62+82=12，故为：12．3.“cosα=12”是“α=π3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：∵“coa=12”?“a=π3+2kπ，k∈Z，或a=53π+2kπ，k∈Z”，“a=π3”?“coa=12”．故选D．4.复数i2000=______．答案：复数i2009=i4×500=i0=1故为：15.阅读下面的程序框图，该程序运行后输出的结果为______．答案：循环前，S=0，A=1，第1次判断后循环，S=1，A=2，第2次判断并循环，S=3，A=3，第3次判断并循环，S=6，A=4，第4次判断并循环，S=10，A=5，第5次判断并循环，S=15，A=6，第6次判断并退出循环，输出S=15．故为：15．6.已知e1

，

e2是夹角为60°的两个单位向量，且向量a=e1+2e2，则|a|=______．答案：由题意可得e21=1，e22=1，e1?e2=12，所以a2=(e1+2e2)2=1+2+4=7，所以|a|=7，故为：77.若则实数λ的值是（）

A．

B.

C．

D．答案：D8.已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=(12)x；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）═______．答案：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）=(12)log224=124故应填1249.以椭圆x23+y2=1的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为______．答案：∵椭圆x23+y2=1的右焦点F（2，0），∴以F（2，0）为焦点，顶点在原点的抛物线标准方程为y2=42x．故为：y2=42x．10.若A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则A∩B=（）

A．{2，1}

B．{（2，1）}

C．{1，2}

D．{（1，2）}答案：D11.从5名男学生、3名女学生中选3人参加某项知识对抗赛，要求这3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．45种B．56种C．90种D．120种答案：由题意知本题是一个分类计数问题，要求这3人中既有男生又有女生包括两种情况，一是两女一男，二是两男一女，当包括两女一男时，有C32C51=15种结果，当包括两男一女时，有C31C52=30种结果，∴根据分类加法得到共有15+30=45故选A．12.下列说法正确的是（）

A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大

D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小答案：B13.已知两条直线l1：y=x，l2：ax-y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（

）

A．（0，1）

B．

C．

D．答案：C14.将函数y=sin(x+)的图象按向量=(-m,0)平移所得的图象关于y轴对称，则m最小正值是

（

）

A．

B．

C．

D．答案：A15.已知两曲线参数方程分别为x=5cosθy=sinθ（0≤θ＜π）和x=54t2y=t（t∈R），它们的交点坐标为______．答案：曲线参数方程x=5cosθy=sinθ（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：x25+y2=1；曲线x=54t2y=t（t∈R）的普通方程为：y2=45x；解方程组：x25+y2=1y2=45x得：x=1y=255∴它们的交点坐标为（1，255）．故为：（1，255）．16.设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3=λA1A2（λ∈R），A1A4=μA1A2（μ∈R），且1λ+1μ=2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上答案：由已知可得（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），所以λ=c，μ=d，代入1λ+1μ=2得1c+1d=2（1）若C是线段AB的中点，则c=12，代入（1）d不存在，故C不可能是线段AB的中，A错误；同理B错误；若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．故选D17.用反证法证明“a+b=1”时的反设为（）

A．a+b＞1且a+b＜1

B．a+b＞1

C．a+b＞1或a+b＜1

D．a+b＜1答案：C18.若函数y=f（x）的定义域是[12，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为______．答案：由题意知12≤log2x≤2，即log22≤log2x≤log24，∴2≤x≤4．故为：[2，4]．19.已知函数f（x）=x2+px+q与函数y=f（f（f（x）））有一个相同的零点，则f（0）与f（1）（）

A．均为正值

B．均为负值

C．一正一负

D．至少有一个等于0答案：D20.设点O（0，0，0），A（1，-2，3），B（-1，2，3），C（1，2，-3），则OA•BC=______．答案：因为点O（0，0，0），A（1，-2，3），B（-1，2，3），C（1，2，-3），所以OA=(1，-2，3)，BC=(2，0，-6)，OA•BC=（1，-2，3）•（2，0，-6）=2-18=-16．故为：-16．21.若关于x的不等式xa2-2xa-3＜0在[-1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是

A.[-1，1]

B.[-1，3]

C.（-1，1）

D.（-1，3）答案：D22.若f（x）是定义在R上的函数，满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）成立，且f（2）=3，则f（8）=______．答案：由题意可知：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）成立，所以x=y=2，可知f（4）=f（2+2）=f（2）?f（2），所以f（4）=9；令x=y=4，可知f（8）=f（4+4）=f（4）?f（4）=92=81．故为：81．23.与原数据单位不一样的是（）

A．众数

B．平均数

C．标准差

D．方差答案：D24.下列集合中，不同于另外三个集合的是（）A．{0}B．{y|y2=0}C．{x|x=0}D．{x=0}答案：解析：A是列举法，C是描述法，对于B要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同，而D表示该集合含有一个元素，即方程“x=0”．故选D．25.若函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0且a≠1）的反函数，且y=f（x）的图象过点（2，1），则f（x）=______．答案：因为函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0且a≠1）的反函数，且y=f（x）的图象过点（2，1），所以函数y=ax经过（1，2），所以a=2，所以函数y=f（x）=log2x．故为：log2x．26.下列命题中，错误的是（）

A．平行于同一条直线的两个平面平行

B．平行于同一个平面的两个平面平行

C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行

D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交答案：A27.下列函数中，与函数y=x相等的是（）A．y=(x)4B．y=5x5C．y=x2D．y=x2x答案：函数y=x的定义域为R，选项中A，D定义域不是R，是A、D不正确．选项C的对应法则不同，C不正确．故选B．28.下列四个散点图中，使用线性回归模型拟合效果最好的是（）

A．

B．

C．

D．

答案：D29.以抛物线的焦点弦为直径的圆与其准线的位置关系是（

）

A．相切

B．相交

C．相离

D．以上均有可能答案：A30.直线y=k（x-2）+3必过定点，该定点的坐标为（）

A．（3，2）

B．（2，3）

C．（2，-3）

D．（-2，3）答案：B31.方程组的解集为（）

A．{2，1}

B．{1，2}

C．{（2，1）}

D．（2，1）答案：C32.某航空公司经营A，B，C，D这四个城市之间的客运业务，它们之间的直线距离的部分机票价格如下：AB为2000元；AC为1600元；AD为2500元；CD为900元；BC为1200元，若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则BD间直线距离的票价为（设这四个城在同一水平面上）（）

A．1500元

B．1400元

C．1200元

D．1000元答案：A33.若将方程|(x-4)2+y2-(x+4)2+y2|=6化简为x2a2-y2b2=1的形式，则a2-b2=______．答案：方程|(x-4)2+y2-(x+4)2+y2|=6，表示点（x，y）到（4，0），（-4，0）两点距离差的绝对值为6，∴轨迹为以（4，0），（-4，0）为焦点的双曲线，方程为x29-y27=1∴a2-b2=2故为：234.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）

2

3

4

5

销售额y（万元）

27

39

48

54

根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）

A．65.5万元

B．66.2万元

C．67.7万元

D．72.0万元答案：A35.在（1+x）3+（1+x）4…+（1+x）7的展开式中，含x项的系数是______．（用数字作答）答案：（1+x）3+（1+x）4…+（1+x）7的展开式中，含x项的系数是C31+C41+C51+…+C71=25故为：2536.一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（）A．3B．6C．23D．2答案：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，侧面积为3×2