矩形波导中电磁波的传播模式

1、矩形波导中电磁波的传播模式摘要人类进入 21 世纪的信息时代，电子与信息科学技术在飞速发展，要求人们制造各种高科技的仪器。在电磁学领域，能约束或引导电磁波能 所以我们有必要对波导中的电磁波传播模式参数进行研究关键词：矩形波导 TM波 TE波矩形波导由良导体制作而成，一般为了提高导电性能和抗腐蚀性能，在波导内壁镀上一层高电导率的金或银，是由矩形波导构成的。为了简化分TEM波，只能传输 TE 波和 TM 波。设矩形波导宽为 a,高为 b,（）沿 Z 轴放置，如图（1）所示。下面分别求解矩形波导中传输的 TE波和 TM 波。1TM 波对于 TM 波，E 可以表示为;HzzE (x,y,z) E (x

2、,y)e jk z(1)zz0式中E (x,y)满足齐次亥姆霍兹方程，故有0 E (x,y)k E (x,y)022(2)(3)0c0采用分离变量法解此方程，在直角坐标系中，令E (,)X(Y()0将（3）式代入（2）式中，并在等式两边同除以 ( ) ( )得：X x Y yX () Y ()k 02(4)X() Y()c上式中第一项仅是 X的函数，第二项仅是Y的函数，第三项是与Y无关的常数，要使上式对任何 、Y都成立，第一和第二项也应分别是常数，记为：X (x)Y (y) k k22X(x)Y(y)xy这样就得到两个常微分议程和 3 个常数所满足的方程：X (x)k X(x) 02(5)(6

3、)x2Y (y)k Y(y)0yk k k222(7)cxy常微分方程（5）和（6）的通解为Y(x) C cos(k x)C sin(k x)(8)(9)1x2xY(y)C cos(k y)C sin(k y)3y4y将（8）式和（ 9）式代入（ 3）式，再代入（ 1）式，就得到的通解为EzE (x, y,z) C cos( k x) C sin( k x) C cos( k y) C sin( k y) e zzz1x2x3y4y由矩形波导理想导电壁的边界条件 0 4 个理想E导电壁上， 是切向分量，因此有：Ez（1） 在 0的波导壁上，由 ( , )0得 0；XE x y zCz1（2）

4、在 0的波导壁上，由 ( , )0得C 0；E x yYz3z（3） 在 ( , , )0有sin(k a) 0X aE x a y zzxk a ，其中mx1.,2,3为整数，由此得mk （10）xa（4）在 的波导壁上，要使 ( , , )0有，sin( ) 0X bE x y b zk bzy从而必定有k b n，其中 1.,2,3 也为整数，由此得ynbk (11)y将以上利用边界条件求出的常数代入后，波导中 TM 波的电场纵向分量为nmE (x,y,z) E sin( )sin( )（12）z0abE C C ，由电磁波源确定。024在无源区，麦克斯韦方程组中的两个旋度方程为：H j

5、 EE j HE(x,y,z) E (x,y,)e zz0H(x,y,z) H (x,y)ejk zz0将 3 个矢量方程分解为 6 个标量方程：H H j Ez（13）yzyxHx jk H j Ez(13b)zxyHH j Eyx（13c)(13d)x yzE jk E j HzyzyxE jk E j Hz（ ）13xzxyEE j Hyx(13f)x yz由（13）和（13）以及（13b）和（13d）可得:1EHyE ( )zz（14a)xkx2zc1EHxE (jk j)z(14b)zyky2zc1EHxH (j jk)zz(14c)(14d)ykx2zc1EHH ( zzxyky2

6、zc将（18）式代入（20）式中，就可以得到波导中波的其他场分量nk mmE (x,y,z) j ( )E cos( x)sin( y)e zz2（14）zk a0abxck nnmE (x,y,z) j ( )E sin( y)cos( x)ejk zzz(14b)k bc0aby2 nnmH (x,y,z) j ( )E sin( y)cos( )e jk zz(14c)k bc0abx2 nmmH (x,y,z) j ( )E x) y)e z（14d)zk ac0aby2n 2 2mk 2其中（15）（15） a b ck k k222zc从式（13）式中可以看出：（1） 矩形波导中的

7、 TM 波 , 至少一个从零开始，否则全部的场分量为零，m n当 , 对应有无限多组解；m n（2） 对于给定 , 值的每一组解，如果 为实数，其场为沿 Z 方向传播的非km nz均匀平面波，在 、Y 方向为驻波分布， , 分别表示在宽边和窄边上m n驻波的波腹个数；（3） 对于不同 , 值的场，有两方面不同：一是横截面的场分布不同：二是m n沿传播方向的 不同。我们将波导中一对 , 值对应的一个 TM 模式，km nz记作TM 。mn2TE 波对于 TE波, 0,用求解 TM 波的方法可以得到 TE波各场分量的表达式:Ez mnH (x,y,z) H cos xcos yejk zz(16a

8、)z0 a b nk mmH (x,y,z) j ( )H sin x ye zz2(16b)zk ac0 a b x nk nmH (x,y,z) j ( )H xsin ye zz2（16）zk bc0 a b y nnmE (x,y,z) j ( )H xsin ye z(16d)zk bc0 a b x2 nmmE (x,y,z) j ( )H sin xcos yejk zz (16e)k ac0 a b y2由上式可以看出：(1)矩形波导中的波中的不可同时为零，当 , 值取不同值的m,nm n无限多组解；对于给定值，如果 为实数，其场为沿方向传播的非均匀平面波，在km,nz、方向为驻波分布， , 也分别表示在宽边和窄边上驻波的波腹的个数。m nm 或 n 等于零意味着场在对应方向无变化，是均匀的；对于不同值的场，也同样有两个方面不同：一是横截面的场分布不同；m,n二是沿传播方向的 , km nz模式，记作TE 。如当 对应的模应为TE 。mnmn10上述的TM 和TE 模统称为矩形波导内的正规模，具有很重要的特性。容易mnmn看出矩形波导内的正规模构成了一个完备的正交系。所以，波导内传输的任意电磁波可以表示为正规模的线性叠加。这就是正规模的正交性和完备性。所谓正交性是指正规模能够独立存在，能量互不耦合；所谓完备性是指任意电磁波都可以用