数字信号处理详解

第2章时域离散信号和时域离散系统2.1引言2.2连续时间信号的取样及取样定理2.3离散时间信号的表示及运算规则2.4离散时间线性非时变系统与差分方程2.5离散时间信号和系统的频域分析2.1引言

数字信号处理系统的分析方法是先对取样信号及系统进行分析，然后再对幅度上量化及实现过程中有限字长所造成的影响进行考虑，因此，离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

本章作为全书的基础，主要学习一维离散时间信号的表示方法、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及离散时间系统的时域和频域分析方法。2.2连续时间信号的取样及取样定理

在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图1所示。本节主要介绍采样定理和采样恢复。图1模拟信号数字处理框图

对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为τ<<T，在电子开关输出端得到其采样信号。一、信号的取样

令代表输入的连续时间信号，是幅度为1重复周期为T宽度为τ的周期取样脉冲，则取样信号可表示为：图2对模拟信号进行采样

上式中δ(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：

(2-3)(2-4)(2-2)理想冲激取样信号二、取样定理

对连续时间信号取样所得的离散时间信号能否代表并恢复成原始信号？如能恢复，应具备那些条件？

我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，按照(2-4)式，推导如下：

按照(2-2)式，可用傅里叶级数展开：

Ωs=2π/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒，(2-5)(2-9)设xa(t)是带限信号，最高截止频率为Ωc，其频谱Xa(jΩ)如图3(a)所示。一个连续时间信号经过理想取样后频谱发生了两个变化：1、幅度乘以1/T2、出现了以为中心的和形状完全一样的频谱，即频谱产生了周期延拓结论：时域的取样，形成频域的周期函数。11/T1/T（1）采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以Ωs为周期，进行周期性延拓而成的。（2）频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍。（3）若信号的最高频率则延拓分量产生频谱混叠奈奎斯特抽样定理要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率:一般取：理想取样信号三、折叠频率与奈奎斯特频率折叠频率的定义：系统所能通过的信号频谱分量中的最高频率奈奎斯特频率的定义：信号中最高频率四、信号的恢复(2-10)

图4采样恢复五、取样内插公式

下面由(2-10)式表示的低通滤波器的传输函数H(jΩ)推导其单位冲激响应h(t)：

因为Ωs=2πfs=2π/T，因此h(t)也可以用下式表示：(2-13)

根据卷积公式可求得理想取样信号通过低通滤波器的输出为：(2-14)(2-15)内插公式2-3离散时间信号的表示及运算规则

对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到这里n取整数。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，称为序列。

需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即

x(n)=xa(nT)，-∞＜n＜∞一、序列的表示法：二、序列的运算在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加减法、移位、翻转及尺度变换。

1.乘法和加减法序列之间的乘法和加减法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加减。

2.序列的标乘序列的标乘表示序列x的每个取样值同乘以数A，即：

y(n)=Ax(n)3.序列的延时（移位）：序列x(n)，当m>0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位4.分支运算：一个信号同时加到系统中两个或更多点的过程。三、常用的典型序列

1.单位采样序列单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0时，取值无穷大，t≠0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图所示。

图单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列；(b)单位冲激信号

2.单位阶跃序列u(n)

单位阶跃序列如图所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。δ(n)与u(n)之间的关系如下式所示：

δ(n)=u(n)-u(n-1)

3.矩形序列RN(n)1,0≤n≤N-10，其它n

上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：RN(n)=

4.正弦序列

式中ω称为正弦序列的数字域频率，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么

xa(t)=sin(Ωt)xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)x(n)=sin(ωn)数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为

ω=ΩT(2-18)

5.实指数序列

x(n)=anu(n)，a为实数如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列；如|a|>1，则称为发散序列。其波形如图所示。

6.复指数序列

x(n)=e(σ+jω0)n

式中ω0为数字域频率，设σ=0，用实部虚部表示如下式：

x(n)=eσncos(ω0n)+jeσnsin(ω0n)

四、序列的周期性任何离散时间信号总可以分为周期信号和非周期信号，如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：

x(n)=x(n+N),-∞<n<∞

则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。如果x1(n)的周期为N1，x2(n)的周期为N2，则x(n)=x1(n)+x2(n)的周期为：

以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即(2-19)式中δ(n-m)=1,n=m0，n≠m五、用加权延时单位取样序列的线性组合表示任意序列

这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。例如：x(n)的波形如图所示，可以用(2-19)式表示成：

x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)六、序列的能量序列的能量定义为序列各取样值的平方和，即2-4离散时间线性非时变系统与差分方程一、离散时间线性非时变系统及卷积运算离散时间系统设离散时间系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间关系用下式表示：

y(n)=T［x(n)］其框图如图所示。线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统。

设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即

y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］那么线性系统一定满足下面两个公式：

T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

=ay1(n)+by2(n)(2-20)说明两个序列分别乘以一因子相加后进行变换，等于分别变换后乘以相应因子的和

。即满足比例性和叠加性。

例y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是否是线性系统？解：y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+by2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+by(n)=T［x1(n)+x2(n)］=ax1(n)+ax2(n)+by1(n)+y2(n)=ax1(n)+ax2(n)+2by(n)≠y1(n)+y2(n)

因此，该系统不是线性系统。时不变系统如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：若y(n)=T［x(n)］则y(n-k)=T［x(n-k)］

例检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b是常数。解y(n)=ax(n)+by(n-n0)=ax(n-n0)+by(n-n0)=T［x(n-n0)］因此该系统是时不变系统。

单位取样响应设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。用公式表示为

h(n)=T［δ(n)］

h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。

线性时不变系统：

h(n-k)=T［δ(n-k)］

根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质

设系统的输入用x(n)表示，按照(2-19)式表示成单位采样序列移位加权和为(2-23)线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的线性卷积系统输出与单位取样响应的关系：三、系统的因果性和稳定性

因果性：物理可实现性

如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。系统的因果性是指系统的可实现性。线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：

h(n)=0，n<0(2-25)

稳定性：所谓稳定系统，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为(2-24)结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即：

例设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解由于n<0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。只有当|a|<1时

因此系统稳定的条件是|a|<1；否则，|a|≥1时，系统不稳定。四、离散时间系统的输入输出描述法——

线性常系数差分方程

描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法。对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。对于离散时间系统，则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。对于线性时不变系统，经常用的是线性常系数差分方程，本节主要介绍这类差分方程及其解法。一阶后向差分：一阶前项差分：二阶差分：K阶差分：差分：线性常系数差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：其中：或写成：差分方程系统结构Z-1ax(n)y(n)b线性常系数差分方程的求解已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出系统的单位取样响应。求解差分方程的基本方法有以下三种：

(1)经典解法：

(2)递推解法：逐次代入求解，概念清楚，比较简便，

适用于计算机，缺点是不易得出通式解答

(3)变换域方法：Z变换法全响应＝齐次解＋特解＝零输入响应＋零状态响应求解过程比较复杂例1：已知常系数线性差分方程 若边界条件 求其单位抽样响应。因果系统，a<1时，稳定例2：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 求其单位抽样响应。非因果系统，a>1时稳定

一些关于差分方程的结论：一个差分方程不能唯一确定一个系统常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的不一定是因果的不一定是稳定的时域分析方法

单位取样响应

差分方程变换域分析方法：

连续时间信号与系统

Fourier变换

Laplace变换 离散时间信号与系统

Fourier变换

z变换2-5时域离散信号和系统的频域分析一、系统的频率响应：根据线性时不变系统的性质，当输入是复指数序列时，其稳态输出仍是同类型的指数序列，其频率与输入频率相同，其幅度和相位取决于系统，即一、系统的频率响应（由系统的结构参数决定）：由系统的差分方程：得出：描述了系统对不同频率的复指数序列的传输能力二、系统频率响应的两个性质：是的连续函数是的周期函数，且周期为三、系统频率响应与单位取样响应的关系令：离散时间线性非时变系统的频率响应是系统的单位取样响应的傅里叶变换四、序列的频域表示法定义(2-40)

为序列x(n)的傅里叶变换。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：

为求FT的反变换，用ejωn乘(2-40)式两边，并在-π~π内对ω进行积分，得到式中因此

(2-41)

五、输出序列与输入序列的FT之间的关系：离散时间线性非时变系统的输入序列为x(n)，输出为y(n)，则：一、Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为(2-51)

式中z是一个以实部为横坐标，虚部位纵坐标的复平面上的复变量。注意在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。

2-7Z变换

例：

使(2-54)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示二、Z变换的收敛域：收敛域的定义：

(2-51)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(2-54)图2-28Z变换的收敛域

常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。

序列特性与收敛域序列的特性决定其Z变换收敛域。

1.有限长序列：序列x(n)满足下式：

x(n)n1≤n≤n2x(n)=0其它其Z变换为：有限项求和(1)(2)(3)2.右边序列

例求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：在收敛域中必须满足，因此收敛域为|z|>|a|。

3.左序列

例求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。

X(z)存在要求|a-1z|<1，即收敛域为|z|<|a|4、双边序列例x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。

解：

第一部分收敛域为|az|<1，得|z|<|a|-1，第二部分收敛域为|az-1|<1，得到|z|>|a|。如果|a|<1，两部分的公共收敛域为|a|<|z|<|a|-1。如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0<a<1时，其Z变换如下式：

表2-1常见序列Z变换给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内序列的z变换：连续时间信号的Laplace变换：连续时间信号的Fourier变换：2-8Laplace变换、Fourier变换、z变换间关系一、序列的z变换与Laplace变换的关系理想抽样信号：

其Laplace变换：其z变换：比较理想抽样信号的Laplace变换：得：z平面：

（极坐标）即：是复平面s平面到z平面的映射：

(直角坐标）s平面：单位圆外部r>1右半平面σ>0单位圆内部r<1左半平面σ<0单位圆r=1虚轴σ=0Z平面S平面s平面到z平面的映射是多值映射。辐射线ω=Ω0T平行直线Ω

=Ω0正实轴ω=0实轴Ω

=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:二、序列的z变换与傅立叶变换的关系序列x(n)的z变换是序列x(n)乘以指数序列后的傅立叶变换序列的Fourier变换

＝单位圆上序列的z变换三、序列的傅立叶变换与拉氏变换的关系Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。即:s=jΩ2-12系统函数

一、系统函数H(z)的定义：一个离散时间线性非时变系统可用它的单位抽样响应h(n)来表示：它表征了系统的复频域特性系统函数：系统的频率响应：单位圆上的系统函数,单位抽样响应h(n)的Fourier变换它表征系统的频率特性。

二、系统函数和差分方程的关系：离散时间线性非时变系统的常系数差分方程一般形式为：设系统初始状态为零，可直接对(2-109)式两端取z变换：因此系统函数为：(2-111)(2-109)三、系统函数的收敛域稳定系统：系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，即而h(n)的z变换的Roc：

稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，即频率响应存在且连续三、系统函数的收敛域因果系统：因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n<0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。即三、系统函数的收敛域因果稳定系统：如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可