2023年相似三角形知识点及典型例题

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的鉴定方法（1)定义法:相应角相等,相应边成比例的两个三角形相似。（2)平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。（３)鉴定定理１：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相应相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角相应相等，两三角形相似。(4)鉴定定理２：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边相应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边相应成比例且夹角相等,两三角形相似。(5)鉴定定理３：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边相应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边相应成比例,两三角形相似。(6）鉴定直角三角形相似的方法：①以上各种鉴定均合用。②假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边相应成比例，那么这两个直角三角形相似。③直角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形与原三角形相似。#HYPEＲLIＮＫ＂＂\t"_blaｎk"直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的HYＰEＲＬINＫ""\t"_blank＂比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图,Rt△ABC中，∠BＡC=９0°,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下:（1）(AＤ)2=BＤ·DＣ，（2）（AB）2=BD·BC,（3）(ＡC）2=CD·BC。注:由上述射影定理还可以证明HYPERＬＩNK"＂\ｔ"＿blａnk"勾股定理。即（ＡB）2+(ＡC)2＝(BＣ)2。典型例题:例1如图,已知等腰△ＡBC中，AＢ＝AC,AＤ⊥BＣ于D，CG‖AB，BＧ分别交ＡD,AC于E、F，求证：BE2＝EF·EG证明:如图,连结EC，∵AB＝AＣ，AD⊥BC，∴∠ABＣ=∠AＣB，AD垂直平分BＣ∴BE＝EＣ,∠1=∠2,∴∠ＡＢC-∠1＝∠ＡCB-∠2，即∠3＝∠4,又CＧ∥AB,∴∠G=∠3,∴∠４=∠G又∵∠CEG=∠ＣEＦ,∴△CEF∽△GEC,∴＝∴ＥC2=EＧ·EF，故EB2=EF·ＥG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中运用线段的垂直平分线的性质得到BE＝EＣ,把本来处在同一条直线上的三条线段BE,EＦ，EC转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。例２已知:如图，AD是Rt△ABC斜BＣ上的高,E是AC的中点,ＥD与ＡB的延长线相交于F,求证：=证法一:如图，在Rt△AＢC中,∵∠BAC=Rｔ∠,AＤ⊥BC，∴∠3＝∠C，又E是Rｔ△AＤC的斜边AC上的中点,∴ED=AC=EC,∴∠2=∠C，又∠1=∠2,∴∠１＝∠３，∴∠ＤFB＝∠AFD，∴△DＦＢ∽△ＡFD，∴＝(1)又AD是Ｒt△ABC的斜边BC上的高，∴Rｔ△ABD∽Rｔ△CAD,∴＝(2）由（1)(2)两式得=,故=证法二：过点A作ＡＧ∥EF交CB延长线于点G,则＝(１）∵E是AC的中点,ＥD∥AＣ，∴D是GC的中点,又AＤ⊥GＣ，∴AＤ是线段ＧＣ的垂直平分线，∴AG＝AＣ(2）由（1)（2)两式得：=,证毕。

【解题技巧点拨】本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“”过渡,使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的鉴定,线段的垂直平分线的鉴定与性质使问题得证．一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ＡＢＣＤ的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGＤ∽∽。例2、已知△AＢC中,AB=AC,∠Ａ=36°，BD是角平分线，求证：△ＡBC∽△BＣD例3：已知，如图，D为△ABＣ内一点连结ＥＤ、AD，以ＢC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABＤ，∠BＣE=∠BAD求证:△DＢＥ∽△ABＣ例４、矩形ABCD中，ＢC=3AB,E、F，是ＢC边的三等分点,连结AE、AF、ＡC,问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABＣ中，在AC上截取AD,在CB延长线上截取ＢE,使AＤ＝ＢE,求证：ＤFAＣ=BＣFE例6：已知:如图，在△ＡBＣ中,∠ＢAC=９00，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。求证:（1）MA2=MDMＥ;(2)例7：如图△ＡBC中，ＡD为中线，ＣF为任一直线,ＣF交AD于E,交AB于F，求证：AE：ＥD=2AＦ:FＢ。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8:已知:如图Ｅ、Ｆ分别是正方形ＡBＣD的边AＢ和AD上的点，且。求证:∠AEF＝∠FBD例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、ＤP各为四角的平分线，求证:SQ∥AB，RP∥ＢＣ例１0、已知Ａ、C、E和B、F、D分别是∠Ｏ的两边上的点，且AＢ∥ED,ＢC∥FＥ，求证:AF∥CD例１1、直角三角形ABC中,∠ＡＣB=90°,BCDE是正方形，AＥ交BＣ于Ｆ，FG∥AＣ交AB于Ｇ，求证：ＦC＝ＦG例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E,交斜边上的高ＡD于O,过Ｏ引BC的平行线交AB于F,求证：AE＝BＦ课后作业一、填空题1.已知:在△ＡBC中,Ｐ是AＢ上一点,连结ＣP，当满足条件∠ACP=____或∠AＰC=ﻩ＿_＿__或AC2=____＿_时,△ACP∽△AＢC.2.两个相似三角形周长之比为4∶９,面积之和为2９1，则面积分别是_＿_＿_______＿。3.如图，DEＦG是Rt△ABC的内接正方形,若CF=8，ＤG=4,则BE＝＿__＿＿__＿＿＿。４.如图,直角梯形AＢCD中，AD‖ＢＣ，AＤ⊥ＣＤ,AＣ⊥ＡＢ,已知AD=4,BC＝９，则AＣ＝___＿＿_______。５.△AＢC中，AB＝15，ＡC＝９,点Ｄ是AＣ上的点，且AＤ=3，E在ＡB上,△ADE与△ABC相似，则AＥ的长等于______＿_＿＿＿__。6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，则∠ＢDC的度数为＿____________＿。7.△ABC中，AB＝ＡＣ,∠Ａ=３6°,BC=1，ＢD平分∠ABC交于D，则ＢＤ=__＿＿___，AD=______，设AB=x,则关于x的方程是_＿__＿_＿__＿＿_＿_.８.如图,已知Ｄ是等边△ABC的BC边上一点,把△ABC向下折叠，折痕为MN，使点A落在点Ｄ处,若BＤ∶DC=2∶３,则AM∶MN=＿__＿_＿＿_＿___＿＿_＿_。二、选择题9.如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上,且,AE=BE，则有（）Ａ．△ＡED∽△BED B.△ＡED∽△ＣBDC．△AED∽△AＢD ﻩD．△BＡD∽△BCD１0.如图，在△ABC中,D为ＡC边上一点,∠DBC=∠Ａ,BC=，ＡＣ＝3，则ＣＤ的长为(）A.1 ﻩ ﻩB. ﻩﻩ Ｃ.2ﻩ ﻩ D.11．如图,□ＡＢCＤ中,G是ＢC延长线上一点,AＧ与BD交于点E，与DC交于点F,则图中相似三角形共有(）A.3对 Ｂ．4对ﻩ ﻩﻩC．5对ﻩﻩ D.6对１2．P是Ｒt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点Ｐ作直线截△ABC，使截得的三角形与△AＢC相似,满足这样条件的直线共有()A．1条 ﻩﻩB.２条 ﻩﻩ C.3条ﻩﻩ Ｄ．4条13．如图，在直角梯形ABＣD中，AＢ＝7,AＤ＝2,BC＝３，若在ＡB上取一点P，使以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、Ｃ为顶点的三角形相似,这样的Ｐ点有(）A．１个ﻩﻩﻩ B.2个 ﻩＣ.3个 Ｄ．4个

三、解答下列各题１4.如图，长方形AＢCD中，AB＝5,ＢC=10，点P从Ａ点出发，沿AＢ作匀速运动，１分钟可以到达B点,点Ｑ从B点出发,沿ＢＣ作匀速直线运动，1分钟可到C点,现在点P点Ｑ同时分别从A点、Ｂ点出发，通过多少时间,线段PＱ恰与线段BD垂直？

15．已知:如图,正方形ＤＥFG内接于Ｒt△ABC，ＥF在斜边BC上,EH⊥AB于H．求证:(1）△ＡDG≌△HEＤ;(2）EF2＝ＢE·ＦC

(答案）例１分析:关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，运用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠Ｇ外,由BC∥AD可得∠1＝∠２，所以△AGD∽△ＥGC。再∠1＝∠2(对顶角)，由ＡＢ∥ＤG可得∠４＝∠Ｇ，所以△EGＣ∽△EAB。例2分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明:∵∠A=３６°，△ABC是等腰三角形,∴∠ABＣ=∠Ｃ=72°又BD平分∠ＡBＣ，则∠DBＣ=36°在△AＢC和△ＢCD中,∠C为公共角，∠Ａ=∠DBC=3６°∴△ＡＢC∽△BCD例3分析:由已知条件∠ABＤ＝∠CBE,∠DBC公用。所以∠DＢE=∠ABC，要证的△DBE和△ABＣ，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边相应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△AＢD,这样既有相等的角,又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在△CBE和△ＡＢD中，∠ＣBE＝∠ABＤ,∠ＢCE=∠BAＤ∴△CＢE∽△ABD∴＝即：=△DBＥ和△ABC中，∠CBE=∠ABＤ,∠DBC公用∴∠CBE+∠ＤＢＣ＝∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC例4分析:本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢?下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:如图：称为“平行线型”的相似三角形（2)如图:其中∠１=∠2,则△ADＥ∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。（３)如图：∠１=∠2,∠B=∠D,则△AＤE∽△AＢC，称为“旋转型”的相似三角形。观测本题的图形，假如存在相似三角形只也许是“相交线型”的相似三角形，及△EＡＦ与△ＥCA解:设AB＝a,则BE＝EＦ=FC＝3ａ，由勾股定理可求得AＥ=，在△EAF与△ECA中，∠AＥF为公共角，且所以△EAＦ∽△ECA例5分析:证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF:FＥ=ＢC:ＡC,再运用相似三角形或平行线性质进行证明:证明:过Ｄ点作DＫ∥AB，交BC于K,∵ＤＫ∥AB，∴DF:ＦE=ＢK:BE又∵AD=BE,∴DＦ:FＥ＝BK：AD，而BK:AＤ=BC:AＣ即ＤF：FＥ＝ＢＣ：AC,∴DＦAC=BCFE例6证明：(1)∵∠ＢAC=９00,M是BＣ的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，∵ＤM⊥ＢＣ,∴∠C＝∠D=900－∠B，∴∠1=∠D,∵∠２=∠2，∴△MＡE∽△MDＡ，∴，∴MＡ２＝ＭDME，（２)∵△MAE∽△MDA，∴,∴评注：命题1如图，假如∠１=∠2,那么△ＡＢD∽△ＡCB,AＢ2=ＡDAC。命题2如图，假如AB2=ADＡC,那么△ＡＢD∽△ACB，∠1=∠2。例7分析：图中没有现成的相似形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考虑作平行线构造相似形。如何作?观测要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE:ED”的特性,作ＤG∥ＢA交ＣF于G,得△AEF∽△DEG,。与结论相比较，显然问题转化为证。证明：过Ｄ点作DＧ∥AＢ交FC于Ｇ则△AEF∽△DEG。(平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似)（１）∵D为BC的中点,且DG∥BF∴G为FC的中点则DG为△CＢF的中位线,(2)将(2)代入(１)得：例8分析:要证角相等,一般来说可通过全等三角形、相似三角形,等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不也许相似(一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明：作ＦG⊥BD，垂足为G。设ＡB=AD＝3ｋ则ＢＥ=AF=ｋ,AE=DF＝2k，BＤ=∵∠ADB=45０,∠ＦＧD＝900∴∠DFG=450∴DG＝FＧ＝∴ＢG=∴又∠A=∠FGB＝900∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBＤ例９分析：要证明两线平行较多采用平行线的鉴定定理,但本例不具有这样的条件,故可考虑用比例线段去证明。运用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目的，选择适当的比例线段。要证明ＳQ∥AB,只需证明AR：ＡS=BR：DＳ。证明：在△ＡDS和△ＡRB中。∵∠DAR=∠RＡB＝∠DAB,∠DＣP=∠PＣB＝∠ABC∴△ＡDS∽△ABR但△ADＳ≌△CBQ，∴ＤS＝ＢQ，则,∴SQ∥ＡB，同理可证，RP∥BC例1０分析:要证明AＦ∥ＣＤ，已知条件中有平行的条件,因而有好多的比例线段可供运用,这就要进行对的的选择。其实要证明AＦ∥CＤ,只要证明即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加解决即可成功。证明:∵ＡB∥ＥD,BＣ∥FE∴,∴两式相乘可得:例1１分析:要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等,但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明ＦC＝FG，一方面要找出与FＣ、FG相关