高中数学人教A版第三章概率 学业分层测评17

学业分层测评(十七)概率的基本性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若A、B是互斥事件，则()A．P(A∪B)＜1 B．P(A∪B)＝1C．P(A∪B)＞1 D．P(A∪B)≤1【解析】∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B对立时，P(A∪B)＝1)【答案】D2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一炮弹击中飞机}，D＝{至少有一炮弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D【解析】“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一炮弹击中”包含两种情况：一种是恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中，∴A∪B≠B∪D.【答案】D3．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是()A．① B．②④C．③ D．①③【解析】从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选C.【答案】C4．某城市2023年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2023年空气质量达到良或优的概率为()\f(3,5) B．eq\f(1,180)\f(1,19) D．eq\f(5,9)【解析】所求概率为eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).故选A.【答案】A5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图3­1­2为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()图3­1­2A． B．C． D．【解析】由题图可知抽得一等品的概率为，抽得三等品的概率为，则抽得二等品的概率为1－－＝.【答案】D二、填空题6．在掷骰子的游戏中，向上的数字为5或6的概率为________．【解析】记事件A为“向上的数字为5”，事件B为“向上的数字为6”，则A与B互斥．所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)×2＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)7．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．【解析】连续射击两次有以下四种情况：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，两次都中和两次都不中．故“至少一次中靶”的互斥事件为“两次都不中靶”．【答案】“两次都不中靶”8．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为eq\f(4,9)，则5点或6点至少出现一个的概率是________．【解析】记既没有5点也没有6点的事件为A，则P(A)＝eq\f(4,9)，5点或6点至少出现一个的事件为B.因为A∩B＝∅，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).故5点或6点至少出现一个的概率为eq\f(5,9).【答案】eq\f(5,9)三、解答题9．掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为eq\f(1,6)，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的数不超过3”，求P(A∪B)．【解】记事件“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”，“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4.这四个事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).10．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是，在80分～89分的概率是，在70分～79分的概率是，在60分～69分的概率是，在60分以下的概率是，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；(2)小明考试及格的概率.【导学号：28750055】【解】记小明的成绩“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”为事件A，B，C，D，这四个事件彼此互斥．(1)小明成绩在80分以上的概率是：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.(2)小明及格的概率是：P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.∴小明及格的概率为.[能力提升]1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球【解析】A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以B项不符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意．【答案】D2．(2023·北京西城质检)如图3­1­3所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()图3­1­3\f(2,5) B．eq\f(7,10)\f(4,5) D．eq\f(9,10)【解析】记其中被污损的数字为x，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是eq\f(1,5)(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是eq\f(1,5)(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq\f(1,5)(442＋x)，令90＞eq\f(1,5)(442＋x)，解得x＜8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).【答案】C3．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为，摸出红球或黑球的概率为，那么摸出红球的概率为________．【解析】由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝，∴P(B)＝1－P(A)＝，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”也是对立事件，∵P(C)＝，∴P(D)＝.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－－＝.【答案】4．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率是eq\f(5,12)，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？【解】从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A、B、C、D，则有：P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)；P(C∪D)＝P(C)＋P(