新高考数学二轮复习专题讲测练专题04 数列的通项、求和及综合应用（精讲精练）（原卷版）

专题04数列的通项、求和及综合应用【命题规律】数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．【核心考点目录】核心考点一：等差、等比数列的基本量问题核心考点二：证明等差等比数列核心考点三：等差等比数列的交汇问题核心考点四：数列的通项公式核心考点五：数列求和核心考点六：数列性质的综合问题核心考点六：实际应用中的数列问题核心考点七：以数列为载体的情境题【真题回归】1．（2022·浙江·高考真题）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·高考真题（文））记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和．若SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0_______．3．（2022·全国·高考真题）已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0是公比为2的等比数列，且SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求集合SKIPIF1<0中元素个数．4．（2022·全国·高考真题（理））记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和．已知SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0是等差数列；(2)若SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的最小值．5．（2022·天津·高考真题）设SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0．6．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若对于每个SKIPIF1<0，存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成等比数列，求d的取值范围．【方法技巧与总结】1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（常数）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）不能判断数列SKIPIF1<0为等差数列，需要补充证明SKIPIF1<0；2、数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等差数列；3、数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为非零常数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等比数列；4、在处理含SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的式子时，一般情况下利用公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0的通项公式；但是有些题目虽然要求SKIPIF1<0的通项公式，但是并不便于运用SKIPIF1<0，这时可以考虑先消去SKIPIF1<0，得到关于SKIPIF1<0的递推公式，求出SKIPIF1<0后再求解SKIPIF1<0．5、遇到形如SKIPIF1<0的递推关系式，可利用累加法求SKIPIF1<0的通项公式，遇到形如SKIPIF1<0的递推关系式，可利用累乘法求SKIPIF1<0的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：（1）形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），可变形为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列，由此可以求出SKIPIF1<0；（2）形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），此类问题可两边同时除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，从而变成SKIPIF1<0SKIPIF1<0，从而将问题转化为第（1）个问题；（3）形如SKIPIF1<0，可以考虑两边同时除以SKIPIF1<0，转化为SKIPIF1<0的形式，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，从而将问题转化为第（1）个问题．7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为SKIPIF1<0进行讨论．8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．常见的裂项公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0．9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“SKIPIF1<0”与“SKIPIF1<0”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SKIPIF1<0”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10、分组转化法求和的常见类型：（1）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差或等比数列，可采用分组求和法求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和；（2）通项公式为SKIPIF1<0，其中数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．11、在等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0．在等比数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0．12、前SKIPIF1<0项和与积的性质（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．=1\*GB3①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…也成等差数列，公差为SKIPIF1<0．=2\*GB3②SKIPIF1<0也是等差数列，且SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0．=3\*GB3③若项数为偶数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若项数为奇数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0=1\*GB3①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…也成等比数列，公比为SKIPIF1<0=2\*GB3②相邻SKIPIF1<0项积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…也成等比数列，公比为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．=3\*GB3③若项数为偶数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；项数为奇数时，没有较好性质．13、衍生数列（1）设数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均是等差数列，且等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数．=1\*GB3①SKIPIF1<0的等距子数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0也是等差数列，公差为SKIPIF1<0．=2\*GB3②数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也是等差数列，而SKIPIF1<0是等比数列．（2）设数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均是等比数列，且等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数．=1\*GB3①SKIPIF1<0的等距子数列SKIPIF1<0也是等比数列，公比为SKIPIF1<0．=2\*GB3②数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也是等比数列，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差数列．14、判断数列单调性的方法（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）方法SKIPIF1<0：利用数列的单调性；方法2：设最大值项为SKIPIF1<0，解方程组SKIPIF1<0，再与首项比较大小．【核心考点】核心考点一：等差、等比数列的基本量问题【规律方法】利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．【典型例题】例1．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2022·江西·临川一中高三阶段练习（文））已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．80 B．100 C．120 D．143例3．（2022·新疆·高三期中（理））已知一个项数为偶数的等比数列SKIPIF1<0，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．1或SKIPIF1<0例4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知公差不为零的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则数列SKIPIF1<0的前9项的和为（

）A．1 B．2 C．81 D．80例5．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例6．（2022·湖北·高三阶段练习）在公差不为零的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．（2022·江苏无锡·高三期中）已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（

）A．1460 B．1472C．1666 D．1678核心考点二：证明等差等比数列【规律方法】判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．（1）定义法：对于SKIPIF1<0的任意正整数：①若SKIPIF1<0为一常数，则SKIPIF1<0为等差数列；②若SKIPIF1<0为常数，则SKIPIF1<0为等比数列．（2）通项公式法：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等差数列；（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等比数列．（3）中项公式法：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等差数列；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等比数列．（4）前SKIPIF1<0项和法：若SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等差数列．②SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等比数列．【典型例题】例8．（2022·吉林长春·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：数列SKIPIF1<0是等差数列；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．例9．（2022·河南·高三期中（理））已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：数列SKIPIF1<0为等差数列；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.例10．（2022·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)证明：数列SKIPIF1<0为等差数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；例11．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．(1)设乙接到球的次数为SKIPIF1<0，通过三次传球，求SKIPIF1<0的分布列与期望；(2)设第SKIPIF1<0次传球后，甲接到球的概率为SKIPIF1<0，（i）试证明数列SKIPIF1<0为等比数列；（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．例12．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明数列SKIPIF1<0是等比数列，并求其通项公式；(3)求数列SKIPIF1<0前10项中所有奇数项的和．例13．（2022·河南·高三期中（理））已知数列SKIPIF1<0的各项均不为0，其前SKIPIF1<0项的乘积SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0为常数列，求这个常数；(2)若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式.例14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求数列SKIPIF1<0的通项公式;例15．（2022·全国·高三专题练习）问题：已知SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，是否存在数列SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，__________﹖若存在．求通项公式SKIPIF1<0﹔若不存在，说明理由．在①SKIPIF1<0﹔②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．核心考点三：等差等比数列的交汇问题【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例16．（2022·河南·一模（理））已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个数，使这SKIPIF1<0个数组成一个公差为SKIPIF1<0的等差数列，在数列SKIPIF1<0中是否存在SKIPIF1<0项SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是公差不为SKIPIF1<0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这SKIPIF1<0项；若不存在，请说明理由．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)判断数列SKIPIF1<0中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．例18．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0__________．例19．（2022·湖北·高三期中）已知SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=______．例20．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项利为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1成等比数列，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0的取值范围为______．例21．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0不为零，等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0是小于1的正有理数．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是正整数，则SKIPIF1<0的值可以是______．例22．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A，SKIPIF1<0，定义集合SKIPIF1<0.己知等差数列SKIPIF1<0和正项等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中的所有项分别构成集合A，SKIPIF1<0，将集合SKIPIF1<0的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前30项和SKIPIF1<0_________.例23．（2022·全国·模拟预测（文））设数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中插入SKIPIF1<0个数构成一个新数列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，3，5，SKIPIF1<0，7，9，11，SKIPIF1<0，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列SKIPIF1<0的前20项和SKIPIF1<0______．核心考点四：数列的通项公式【规律方法】常见求解数列通项公式的方法有如下六种：（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．（2）累加法：形如SKIPIF1<0的解析式．（3）累乘法：形如SKIPIF1<0（4）公式法（5）取倒数法：形如SKIPIF1<0的关系式（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式．【典型例题】例24．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）在数列SKIPIF1<0中.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其前n项和，当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0___________例25．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0_____________．例26．（2022·福建·高三阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0______．例28．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．例29．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．例30．（2022·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0是首项为1的正项数列且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式_________例31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0___________例32．（2022·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为_____________.例33．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率SKIPIF1<0______（用含n的式子表示）．核心考点五：数列求和【规律方法】求数列前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0的常见方法有以下四种．（1）公式法：利用等差、等比数列的前SKIPIF1<0项和公式求数列的前SKIPIF1<0项和．（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．①分式裂项：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0②根式裂项：SKIPIF1<0；③对数式裂项SKIPIF1<0；④指数式裂项（3）错位相减法（4）分组转化法【典型例题】例34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0均在函数SKIPIF1<0的图象上，函数SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)令SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前2020项和SKIPIF1<0.例35．（2022·陕西渭南·一模（理））已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.各项均为正数的等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.例36．（2022·陕西渭南·一模（文））已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.例37．（2022·全国·模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)令SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．例38．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．例39．（2022·四川省蓬溪县蓬南中学高三阶段练习）给定数列SKIPIF1<0，若满足SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为“指数型数列”.若数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0；(1)判断SKIPIF1<0是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.例40．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正常数），且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.例41．（2022·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，如SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)求数列SKIPIF1<0的前2022项和.例42．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.核心考点六：数列性质的综合问题【典型例题】例43．（2022·全国·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．-15 B．-14 C．-11 D．-6例44．（2022·福建三明·高三期中）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，并满足条件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0中的最大值C．SKIPIF1<0 D．数列SKIPIF1<0无最大值例45．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0中的最大项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例46．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例47．（2022·山西运城·高三期中）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且对于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例48．（2022·山东聊城·高三期中）若函数SKIPIF1<0使得数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为递增数列，则称函数SKIPIF1<0为“数列保增函数”．已知函数SKIPIF1<0为“数列保增函数”，则a的取值范围为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例49．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知等比数列SKIPIF1<0的前5项积为32，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例50．（2022·北京八中高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0是递增数列，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例51．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若对于任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点六：实际应用中的数列问题【规律方法】解数列应用题的一般步骤（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．（2）根据题意数列问题模型．（3）应用数列知识求解．（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．【典型例题】例52．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率SKIPIF1<0，当付清全部房款时，各次付款的总和为（

）A．1205万元 B．1255万元 C．1305万元 D．1360万元例53．（2022·全国·高三专题练习）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③2020年小王的年利润约为40000元④两年后，小王手中现款约达41万A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③例54．（2022·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（

）（取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元例55．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（

）A．2806万元 B．2906万元 C．3106万元 D．3206万元例56．（2022·全国·高三专题练习）在流行病学中，基本传染数SKIPIF1<0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．SKIPIF1<0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于SKIPIF1<0，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数SKIPIF1<0，平均感染周期为7天（初始感染者传染SKIPIF1<0个人为第一轮传染，经过一个周期后这SKIPIF1<0个人每人再传染SKIPIF1<0个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．35 B．42 C．49 D．56核心考点七：以数列为载体的情境题【规律方法】1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．【典型例题】例57．（2022·上海市行知中学高三期中）定义：对于各项均为整数的数列SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0(SKIPIF1<0=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性质”；不论数列SKIPIF1<0是否具有“SKIPIF1<0性质”，如果存在数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不是同一数列，且SKIPIF1<0满足下面两个条件：（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个排列；（2）数列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性质”，则称数列SKIPIF1<0具有“变换SKIPIF1<0性质”.给出下面三个数列：①数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；②数列SKIPIF1<0：1，2，3，4，5；③数列SKIPIF1<0：1，2，3，4，5，6.具有“SKIPIF1<0性质”的为________；具有“变换SKIPIF1<0性质”的为_________.例58．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到SKIPIF1<0；第二次拓展得到数列SKIPIF1<0；第SKIPIF1<0次拓展得到数列SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0___________，SKIPIF1<0___________.例59．（2022·河北唐山·三模）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈SKIPIF1<0．如取正整数SKIPIF1<0，根据上述运算法则得出SKIPIF1<0，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0（m为正整数），SKIPIF1<0①若SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0至少需要_______步雹程；②若SKIPIF1<0；则m所有可能取值的和为_______．例60．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知数列SKIPIF1<0为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是SKIPIF1<0，接下来的两项是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再接下来的三项是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依此规律类推．若其前n项和SKIPIF1<0，则称k为SKIPIF1<0的一个理想数．将SKIPIF1<0的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当SKIPIF1<0的项数SKIPIF1<0时，其所有理想数的和为______．例61．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“SKIPIF1<0数列”.已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0___________；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0数列”，则t的取值范围是___________.例62．（2022·全国·模拟预测）将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Koch曲线“”，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线，同理可得3级Koch曲线（如图1），…，Koch曲线是几何中最简单的分形．若一个图形由N个与它的上一级图形相似，相似比为r的部分组成，称SKIPIF1<0为该图形分形维数，则Koch曲线的分形维数是________．（精确到0.01，SKIPIF1<0）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3），…，依次得到n级Kn（SKIPIF1<0）角雪花曲线．若正三角形边长为1，则n级Kn角雪花曲线的周长SKIPIF1<0________．【新题速递】一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．50 C．100 D．25252．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（

）A．17 B．18 C．19 D．203．（2022·江苏·常熟市中学高三阶段练习）等差数列SKIPIF1<0各项均为正数，首项与公差相等，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．9069 B．9079 C．9089 D．90994．（2022·浙江·绍兴市越州中学高三阶段练习）记SKIPIF1<0表示不超过实数SKIPIF1<0的最大整数，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）设等比数列SKIPIF1<0，首项SKIPIF1<0，实系数一元二次方程SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0．若存在唯一的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则公比SKIPIF1<0的取值可能为（）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全国·高三阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最小值为（

）A．16 B．15 C．14 D．138．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为S