高中数学 函数的性质一函数的单调性 新人教A必修1

函数函数函数函数3.1.3函数的单调性.1.请谈谈图象的变化趋势怎样？Oxy探究.Oxy2.你能看出当自变量增大或减少时，函数值如何变化吗？结论：自变量增大，函数值也增大．探究.在函数y=

f(x)的图象上任取两点

A(x1，y1)，B(x2,y2)

，记x=

x2－x1，y=

f(x2)－f(x1)=

y2－y1．自变量增大，函数值也增大．自变量减小，函数值也减小．xy

Oxyx1x2f(x1)f(x2)DxDy＞0探究.增函数：在给定的区间上任取x1，x2，且x1≠

x2，函数f

(x)在给定区间上为增函数的充要条件是，这个给定的区间就为单调增区间．DxDy＞0Oxyx1x2f(x1)f(x2)给定的区间

x1≠

x2DxDy＞0新授.Oxyx1x2f(x1)f(x2)增函数：在给定的区间上任取x1，x2，函数f

(x)在给定区间上为增函数的充要条件是，这个给定的区间就为单调增区间。xyDD>0xyDD>0类比得到减函数概念新授.减函数：在给定的区间上任取x1，x2，函数f

(x)在给定区间上为减函数的充要条件是

，这个给定的区间就为单调减区间。Oxyx1x2f(x2)f(x1)xyDD<0?类比得到减函数概念Oxyx1x2f(x1)f(x2)增函数：在给定的区间上任取x1，x2，函数f

(x)在给定区间上为增函数的充要条件是，这个给定的区间就为单调增区间。xyDD>0xyDD>0新授.例1给出函数y=

f(x)的图象，如图所示，根据图象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间上是减函数？解：函数在区间[-1，0]，[2，3]上是减函数；在区间[0，1]，[3，4]上是增函数．23x14-1Oy新授.（2）观察教材P64，例2的函数图象，分别说出函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数．（1）观察教材P

64，例1的函数图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是增函数还是减函数．练习.Oxyx1x2f(x2)f(x1)怎样利用函数解析式判断单调性Oxyx1x2f(x1)f(x2)减函数增函数y=f(x)自变量增大(x>0)函数值增大(y>0)自变量增大(x>0)函数值减小(y<0)y=f(x)新授.例2证明函数f(x)

=3x＋2在区间(－∞，+∞)上是增函数．证明：设x1，x2

是任意两个不相等的实数，则y=

f(x2)－

f(x1)=(3x2+2)－(3x1+2)=3(x2

－

x1)因此，函数f(x)＝3x＋2在区间(-∞，+∞)上是增函数．x=

x2－

x1计算x

和y当k＞0时，函数在这个区间上是增函数；当k＜0时，函数在这个区间上是减函数．计算新授.总结：由函数的解析式判定函数单调性的步骤：S1计算x

和y．S2计算k=

．S3当k＞0时，函数在这个区间上是增函数；当k＜0时，函数在这个区间上是减函数．DxDy新授.证明：设x1，x2是(0,+∞)内的任意两个不相等的正实数，则

y

=

f(x2)-f(x1)因此f(x)=在区间(0，＋∞)上是减函数．例3求证：函数f(x)=

在区间(0，＋∞)上是减函数．x=

x2-

x1计算x

和y当k＞0时，函数在这个区间上是增函数；当k＜0时，函数在这个区间上是减函数．计算练习证明函数f(x)

=在区间(-∞，0)上是减函数．新授.2.证明函数单调性的步骤：（1）计算x

和y；（2）计算k=；当k＞0时，函数y=

f(x)在这个区间上是增函数；