参考分析案例

一.多元函数积线面积分知识（按积分区域分类3.一.多元函数积线面积分知识（按积分区域分类积分区 积分区

一型：对弧

若：1.xOy平面上闭区域D由分段光滑的曲线LD2.在D上函数Px,y),Qx,yCD定积

曲线积

二型：对坐

则 PdxQdy(QP推 D Stokes公 其中L是D的整个正向边界曲线二重积 曲面积

一型：对面 二型：对坐

特殊情况(D是复连通的)下，公式成为 PdxQdyPdxQdy(QP D (逆 (顺三重积

公 若在D内又有QP,则PdxQdyPdx (逆

(逆第Ⅰ型、第Ⅱ型曲线积分的比

曲线积标准形物理意计算方相似不同曲线积标准形物理意计算方相似不同第一(对弧长f(x,f(x,y,L指曲fx,y)fxy)ds表件的质量Mytdsφ2(t)2(t积分下限<此处下限是,上限是第二(对坐标PdxPdxQdyL方向：从WPdx表示力FPdxφ(t)dtdy(t积分下限为起点At值上限为终点B的t值PdxQdy(PcosQcos其中xyx,y)为有向曲线弧Lx,y)处切向量的方向角例如椭圆Lxayb

,02A1

xdyy212

(abcos2absin2)d第Ⅰ型、第Ⅱ型曲面积分的比 4.平面曲线积分的四个等价命曲面积标准形物理意计算方第一曲面积标准形物理意计算方第一(对面积f(x,y,指空间fxyzfxyz)dS壳的质量M设曲面：zzx,y)且在xOy面投影区域为D,则fx,yz)dSf[x,y,z(x,y)]1z2z2第二(对坐标Pdydz为有向曲表示在速度场曲面指定一设有向曲面：zzx,y),R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,在DPx,yQx,yC则下面的四个命题等价沿D内任何一闭路L上的积分为零，

PdxQdy0曲线积

PdxQdy与路径无关，只与起点A与终点B有关

0Pyx在 成立40在Dux,y使duPdxQdy等价的意义是：若其中一个成立，另外三个也5.公式

解决曲面积分与三重积分的联系问题 积分概念的联fM)d ffM)d fM)fM)点函1在Ω上函数Px,yz),Qx,yzRx,yzC则 (PQR)dVPdydzQdzdx 定积 当R上区间[a,b]时 (PcosQcosRcos

f(M)df(其中是的整个边界曲面的外侧 二重积 当R2上区域D时Dcos,cos,cos是在点(x,y,z)处外法向的方向余弦 f(M)df(x,y)dDStokes 解决曲线积分与曲面积分的联若：1.Γ为分段光滑的空间有向

问题

曲线积 当R2上平面曲线L时 f(M)df(x,是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与的侧符合右手法则

三重积

当R3上区域时2.在包含曲面函数Px,yz),Qx,yzRx,yzC1

f(M)df(x,y,R P Q 曲线积 当R3上空间曲线时(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdyPdxQdy f(M)d f(x,y,或记

PdxQdyRdz

曲面积

当R3上曲面S时

f(M)df(x,y, 曲线积分和曲面积分的应用:填空已知变FPx,y)iQx,yj，则F沿平面有向曲线CWPdx点A到点B所作的功

y(xfx,y)d[fx,y)dy]dx,(d面元素若变力FPx,yz)iQx,yzjRx,yz)k，则F沿空

y1(xDWPdxQdy

by(x

z(x,y曲线C从点A到点B所作的功

f(x,y,z)dVdx

dy

fx,yz)dz,(dV体元素若流速VPx,yz)iQx,yzjRx,yz)k

y1(x z1(x,ybΦPdydzQdzdx单位时间内流过曲面的流量

Lf(x,y)ds

fxyx)]1y2dx,(ds线元素(曲b已知平面曲线xx(t),yy(t)(t)上任一点的密 f(x,y)dxf[x,y(x)]dx,(dx线元素(投影b 为xy),

M [x(t),y(t)]x(t)y(t)dt fx,yz)dS fxyzx,y)]1z2z 场论 gradu

(dS面元素(曲R(x,y,z)dxdyf[x,y,z(x,

梯 xiyjz通量PdydzQdzdx

(dxdy面元素(投影

散 divAPQ其中LPdxQdyL(PcosQcos PdydzQdzdx 环流量PdxQdy 旋 P Q(PcosQcosRcos

rotA(yz)i(zx)j(xyuf(xyzC2求div(gradu).div(gradu)fff定积分与不

Green公式,Guass公式,Stokes公式ff(x)dxF(b)F (F(x)f(PdxQdyPdxQdy(QxQdxPdy( PxAM)为平面推推PdxQdyRdzdydzdzdxdxdy xy(An)dsdivAdS(rotAn二重积分与曲线积分的QP)dxdy PdxQdy(沿L的正向 公三重积分与曲面积分的

单项选择(1)L为曲线yx从点A(1,1)到B(0,0)xdyC z)dv PdydzQdzdxP R (A)xdy (B) (C)2x曲面积分与曲线积分的

(2)L是圆域(x1)(y4)9按顺时针方向的边界曲线，则(yx)dx(3xy)dyB. ( )dydz ( )dydz dzdx ( ( PdxQdyS是xyzR的下半球面的下侧，则IzdxdyB(A)d

Rd (B)d

R(C)d Rd (D)d R计算题xy)ds，L是以原点为圆心的单位圆介于点A(1,0B(0,1)之

1(zx2y2dS，是曲面zxy介于0z4 的劣弧AB与连接点B,C(1,2)的直线段BC组成的分段光滑曲线

型曲面积:zx型曲面积I (xy)ds(xy)ds(x I4dz1z2z2dxdy1x2y24y1y1x2yysin其中A⌒Bysin

Iy

(1

x2yz

)dS

A(–1,0)

dsx2(t)y2(t)dt x2y2其中：D:z 用平面极坐2 BC:yx2 11r ds1y2(x)dx2 I2d rdr2d 1r2d(1r2(xy)ds

π(costsint)dt

3212dx2 π(1r2)2

13

0 xy2.1dx1dy，L是曲线yx2上从点A(1,1)到B(2,4)的有向弧段 xydydz，是曲面z (0zh)上侧的xyL I与直线y4上从点B到C(1,4)的线段BC组成的有向分段光滑曲线I

解类型：II型曲面积 由第一卦限和第二卦限中的锥面和构成hz2hz2 2:x

其上侧在yOz平面的投影为负z2其上侧在yOz平面z2 2(112x)dx1

1x 2 z=z=

z2y2ydydzz2z2y

z2y2) 2

2

D图形

2x1

y2dzyz2y2也可以用也可以用下面的方法

也可以用下面的也可以用下面的方法6方xy 1dx1dy，L是曲线yx2上从点A(1,1)到B(2,4)的有向弧段 xydydz，是曲面z (0zh)上侧方xyL

贴补， 公式与直线y4上从点B到C(1,4)的线段BC组成的有向分段光滑曲线 解类型：II贴补， 公式型曲线型曲线积

需贴补侧面（右侧）和半圆顶面（下侧o (11oyx yx 4

dvdy(2

2

(y2y2y2

y(h

x2y2

Dxy图形 极坐标sindr2hr)dr 31dx1dy3

4CA

又因xydydz

xydydz

xydydz6 1 i 设有平面力场F4x(y4x(y1)j，力场的点M在场力F的作用下，沿着圆周xy4的逆时 I{1[f(x,y,z)3方向运动一周，试求场力F1的功 3 W

dx 4x2(y 4x2(y [2f(x,y,z)y] [f(x,y,z)3 333CoP 1Co4x(yP

Q 4x(y

(xy因

x对xy(0,1)成 取曲线C4x2y1)21 其参数式,Cx2cosy1sin

0t 3D3D

3dxdy2W11sint1sint π

cost 求流速场A(x3R)i(y3R2)j(z3R3)k通过上半 求力F(y,z,x)沿有向闭曲线所作R2x2y面z (R0)的上侧的流量Φ 功,其中为平面x+y+zR2x2y 角形的整个边界,从z轴正向看去沿顺时针方向 ΦxR)dydzyR)dzdx(zR 提示:方法 ΦV

3(xyz W

ydxzdyxd

yd2dφ3r2r2sinφ

利用对 6π

ydxzdyR3dxdyR3dxdyπ xd

6π

11πR5

31(1z)dzΦ

πR 方法2利 公 计 设三角形区域为,方向向上,I[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)

W

ydxzdyxdfxyzz]dxdyfxyz为连续函数

1ox为平面xyz1在第四卦限部分的上侧 1oxn解利用两类曲面积分之间的关n

的法向量为n1cos1,cos1,cos 1

(3)d 3dxdy 计

I (x2ydxy2x)dy其中L是沿L

I

(xy)2z22yzdS时针方向以原点为中心,a为半径的上半圆周 中是球面x2y2z22x2z解法1令Px2y,Qy2x, 解 I(x2y2z2)2xy2yzQ1

(2x2z)dS2(x 用重心公利用对称这说明用重心公利用对称I

(x2y)dx(y2 A

2(xz)dSax2dx2 解法2添加辅助线段BA,它与L所围区域为D, 11.设L是平面xyz2与柱面xy1的交I (x2ydxy2xd z轴正向看去,L为逆时针方向,计BDBDAx(x2y)dx(y2x)d I(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2a 2

a解为平面xyz2L所围部分的上侧aD0dxd

dx3 (利 公式 D为在xoy面上的投影. 公思考若L改为顺时针方向,如何计算下述积分

I

3 dLI1L

(x23y)dx(y2x)d

y2z 2z2

3x2yL同例2,如何计算下述积分I2L(x2yy2)dx(y2x)d

(4x2y思考题解答 I2(4x2yI1L(x23y)dx(y2x)d

:xyz2,(x,y)DyoD1D的形DyoD1D的形L

A D:xy2dxdy2a3a2(2a (xy6) LI2(x2yy2)dx(y2x)d 12L(x2y)dx(y2x)dy

y2

L:xacost,yasint,t:0Ia3sin3tdt2a32a321 计算曲线积

(x2y2z2ds,其中

当(0,0)D时在D内作圆周lx2y2r2,取逆线xacost,yasint,zkt(0t2)的一段弧 针方向,记L和lˉ所围的区域为D1,对区域D1应用解:(x2y2z2) 林公式,2

[(acost)2(asint)2(kt)2

xdyydx Lx xdy

x2y2

Ll

x2

2 k23 xdyydxxdy0akat3t Lx2y lx2y03

a2k2(3a242k2

0

r2cos2r2sin2r

d计 y2dx,其中L 15.设质点在力场Fk(y,x)作用下沿曲线LBA r BA半径为a圆心在原点

y2cosxA0,2)移动到B(2,0)求力场所作的功x2y上半圆周,方向为逆时针方向 x2y从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0). 其中r k(ydxxdy)解:(1)取L的参数方程为xacost,yasint,t:0 解:WLFdsLr

y2dxa2sin2t(asint)d0

Pky,Qkx,则r r

B 3

4

sintdt2a

1 Pk(xy) (x2y20(2)取L的方程为y0,x:aa, r y2dxa0dx

可见 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 计算xdyydx,其中L为一无重点且不过原 取圆弧AB:xcos,ysin(:0Lx2y 的分段闭曲线

W k(ydxxd解P

,Q x2y x2y

ABr k0(sin2cos2)则当x2y20时,Q y B (x2y2 设L所围区域为D,当(0,0)D时,由公式 xdyydx Lx

思考积分路径是否AOOB为什么无关!设gradu(x,y)(x44xy3,6x2y25y4),求u(x, 19. :x2y2z2a2(z0),1为在设提示:du(x,y)(x44xy3)dx(6x2y25y4) 一卦限中的部分,则有( u(x,y)(x,y)(x44xy3)dx(6x2y25y4)dy

(A)xdS4xdSxx4dxy(6x2y25y4)dy (B)ydS41xdS 1x52x2y3y5 5

zdS

xdS(x, (D)xyzdS(x, 设C为 x2y2a2从点(0,a)依逆时 20.已知曲面 z3(x2y2)的面密y2到点(0,a)的半圆,计 x2y2z,求此曲面壳在平面z＝1以上部分y2 dxax2yln(xa2x2)质量MC解:添加辅助线如图,利 公式 解:在xoy面上的投影为Dxy:x2y22,1414r

M

dS

14(x2y2)dC 2

2 dxd

Dxa2a2

Da(2ylna)d

a2x2 0

d

d12

68

14r2d(14r2)质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动 21.计算曲面积分(z2x)dydzzdxdy,其中点B(3,4),在此过程中F作用F的大小等M锐角,求变力F对质点M所作的功.(90考研)

旋转抛物面z1(x2y2介于平面z=2y2z=2之间部分的下侧2y2解:利用两类曲面积分的联系,解:由图知F(y,x),故所求功 (z2x)dyd W Fds

ydxxd

(z2x)cos (ydxxd M(x, AB

(z2x)cosdxd

dxdy

12

zdxd 2

y243(x ∴原式 (3

x)(11

I2(xyz)dxdydz

h2dxdz2(xy代入

原式

1(x2y2)24

利用重心公式注意xy2y1(x2y2)dxd 2y

zdxdydz

x21(x2y2)d 2hzz2dz02d

2

1

111

2r)r 设为曲面z2x2y2,1z2取上侧,求 24.利用 公式计算积分zdxxdyydzI(x3zx)dydzx2yzdzdxx2z2dxd 其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整解:作取下侧的辅

边界,方向如图所示 zo11xzox111:z1(x,yDxy:x2y2 解o11xzox111I

zdxxdyyd用极坐用极坐

用柱坐dxdydz(1)(x2)dxd 用柱坐

dydx

dzdy

dxdzd d

1r3d 0d dz

cosd

dydzdzdxdxdy

dxdy2 利用对称利用Gauss公式计算积 25.设函数f(x)连续且于零I (x2cosy2cosz2cos)d f(x2y2z2)d

F(t)

(t D(t其中为锥面x2y2z2介于z=0 1 f(x2y D(tz=h之间部分的下侧解:作辅助

2

G(t)

D(tt

f(x2y2)f(x2)d1:zh,(x,y)Dxy:x在1上在1上

h,取上 其 (t){(x,y,z)x2y2z2tD(t){(x,y)x2y2tI(