第四章第三节导数的应用

第三节一、函数单调性的判定法二、函数的极值导数的应用三、曲线的凹凸与拐点四、函数图形的描绘定理1.(函数单调性的判别法).(1)若x(a,b)有f(x)>0.则y=f(x)在[a,b]上单调增加;(2)若x(a,b)有f(x)<0.则y=f(x)在[a,b]上单调减少;设y=f(x)C([a,b]),且在(a,b)内可导.一、函数单调性的判定法注释：若在(a,b)内

f(x),且等号仅在个别点成立，则y=f(x)在[a,b]上单调增(减).定理中的闭区间换成其它区间，结论也成立.证任取由拉格朗日中值定理得即这说明在I内单调递增.证毕仅就定理1(1)加以证明,记区间为I(1)若x(a,b)有f(x)>0.则y=f(x)在[a,b]上单调增加;所以有推论1设f(x)在区间I上可导，且f(x)=0,xI.则f(x)=C,xI.回顾拉格朗日中值定理的推论导数恒为零的函数是常量函数对于某区间上的函数，导数为正，曲线上升；导数为零，曲线水平；导数为负，曲线下降。使f'(x)为零的点称为f(x)的驻点.例1.1

讨论y=lnx在(0,+)上的单调性.解:由定理1知y=lnx在(0,+)内单调增加.oxyy=lnx例1.2讨论f(x)=x3的单调性.解:因为f(x)=3x2>0(x0)由定理1知f(x)=x3在(,0)和(0,+)内均单调增加.这里x=0时f(0)=0.但x<0时有f(x)<f(0),而x>0时,有f(0)<f(x).故f(x)=x3在定义域(,+)内单调增加.0yxy=x3例3.1

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,例3.2例4.1试证明对任何实数x，有证令所以对任何实数x，例4.2证明:令则从而即例5.

证明时,成立不等式证:令从而因此且证明定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.二、函数的极值及其求法极值的概念是一个局部性的概念.注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或

不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数(1)可导函数的极值点必是驻点.但其逆命题不成立.(2)连续函数在其导数不存在的点处,也有可能取得极值.0yxy=|x|0yxy=x3例如y=x3在x=0处不取极值.例如y=|x|在x=0处有极小值f(0)=0.定理1.(Fermat)若f(x)在x0可导,且在x0取得极值,则

f'(x0)=0.0yxx00yxx0(1)当x<x0时,f(x)>0,当x>x0时,f(x)<0,则f(x)在x0处取极大值;(2)当x<x0时,f(x)<0,当x>x0时,f(x)>0,则f(x)在x0处取极小值.定理2.(判别法则I)设f(x)

在可导且0yxy=x3例1求f(x)=x33x29x+5的极值.解

f'(x)=3x26x9=3(x+1)(x3)令f'(x)=0解得驻点x1=1,x2=3对于x=1:x<1时f'(x)>0.x>1时f'(x)<0

对于x=3:x<3时f'(x)<0.x>3时f'(x)>0

x=1为极大值点,极大值f(1)=10.x=3为极小值点,极小值f(3)=22.例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得当时3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.前面例1求f(x)=x33x29x+5的极值.再解

f'(x)=3x26x9=3(x+1)(x3)令f'(x)=0解得驻点x1=1,x2=3x=1为极大值点,极大值f(1)=10.x=3为极小值点,极小值f(3)=22.例3.求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.三、曲线的凹凸与拐点定理1.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在

I内则f(x)在

I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数判别连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点.拐点例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例2.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸对应例3.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点首先是预备知识——渐近线然后是函数图形描绘的一般步骤四、函数图形的描绘无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,（一）曲线的渐近线定义.若曲线C上的点M

沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有铅直渐近线例1.求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为铅直渐近线.直线y=A为曲线的水平渐近线.直线x=x0为曲线的铅直渐近线.2.斜渐近线斜渐近线若例2.

求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周（二）函数图形描绘的一般步骤例3.

描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点)(极小)4)例4.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于y轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线(极大)(拐点)例*.描绘解：定义域：(,0)(0,+)令f'(x)=0得驻点x=1.渐近线y=1和

x=0.f'(x)xf''(x)++y=f(x)++(,0)(0,1)010++++0拐点间断点极小0011M1M3M2xy思考与练习

1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近