第四章平面弯曲

第4章平面弯曲4.1平面弯曲的概念和实例桥式吊车受风载荷的塔设备管道托架共同点是：它们都可简化为直杆，在通过轴线的平面，受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或力偶作用，使构件的轴线弯曲成一条曲线，这样的变形称为弯曲。以弯曲为主要变形的构件在工程上称为梁。

梁的基本形式

简支梁：一端固定铰链，另一端活动铰链；外伸梁：简支梁一端或两端伸出支座以外；悬臂梁：一端固定，另一端自由。工程上常用的梁，其横截面大多具有一个竖向的对称轴，如：

所有横截面的竖向对称轴形成一个平面——纵向对称面梁的弯曲平面与载荷作用平面相重合的弯曲——称平面弯曲4.2平面弯曲的内力分析4.2.1剪力和弯矩产生原因：存在与轴线相垂直的横向载荷。剪力和弯矩符号规定：取左段剪力向下为正，弯矩逆时针为正。符号规定的目的：使内力素与变形相关联，成为截面位置的函数，这种函数叫剪力方程和弯矩方程，作出的图线叫做剪力图和弯矩图。4.2.2剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图准确无误地求出约束反力。横截面上的剪力和弯矩按符号规定的正方向假设，不去判断其真实方向。取左段还是取右段，以研究问题简单为准。研究受集中力、均布力、集中力偶等的剪力图和弯矩图。剪力弯矩按正方向假设作剪力图与弯矩图的规律：1）若在梁某段内q=0，则Q为常量，剪力图为水平直线，弯矩图为直线。2）若在梁某段内作用有向下的均布载荷，则剪力图为下降直线，弯矩图为上凸抛物线。3）在集中力作用处，剪力图发生突变，弯矩图不发生突变；集中力偶作用处，剪力图不受影响，弯矩图会发生突变。4）最大弯矩可能发生的位置：集中力作用处；集中力偶作用处；剪力等于零（Q=0）处。关注图线走向、突变处、极值点及最大值（绝对值）。例4-1：已知：P=24kN，F=12kN，q=6kN/m，

MO=12kN·m。作出剪力图和弯矩图。解：(1)求支座反力(2)剪力图和弯矩图大致形状分析(3)计算剪力和弯矩值RB=34kN，RA=26kNMC=26kN·mQD=2kN

=28kN·m=28-12=16kN·mMB=-24kN·m4.3平面弯曲的正应力计算剪力、弯矩对应的应力分析：剪应力和正应力纯弯曲梁模型的建立：对于长梁，影响强度的决定因素是弯矩。QM4.3.l纯弯曲时梁横截面上的正应力变形几何关系

中性层的存在性：每一纵向纤维层由直变弯，靠近上方的纤维层受压，下方的纤维层受拉，中间某处存在一层既不受拉也不受压的纤维层，这一层叫中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴。轴线：中性层与纵向对称面的交线。平面假设：横截面变形后仍保持平面，但绕自身的中性轴偏转了一定角度，保持与中性层垂直。不挤压假设：每一纵向纤维均为单向拉伸或压缩，纤维层间不存在相互的挤压。任一纤维层的变形计算：绝对变形：相对变形（应变）：yrdqabo1o2物理关系——应力和应变间的关系

不挤压假设，每一纤维层处于简单拉压变形，满足虎克定律：应力分布规律：横截面上的正应力沿高度方向呈线性分布。abo1o2静力关系——应力和内力间的关系

横截面上的正应力分布力系（平行力系）应为一力偶系。中性层在哪里？中性轴通过横截面的形心横截面上正应力的合力为截面上的弯矩。对中性轴的惯性矩表示截面绕中性轴转动的难易程度，即表示了变形的刚度。轴线的曲率表示了梁的变形程度。梁弯曲变形的基本公式，表示了引起梁变形的外力及梁自身抵抗弯曲变形的能力（抗弯刚度）对弯曲变形的影响。正应力计算公式：工程实用计算式：应力的性质可由变形直观判断最大弯曲正应力：抗弯截面模量：形状规则截面的惯性矩和抗弯截面模量由定义可直接计算出来，对于型钢可查表。惯性矩（截面模量）、静矩（一次矩）、面积等是平面图形的几何性质，只有和具体的变形结合起来才有其物理意义。上述应力计算公式可近似用于平面弯曲的长梁。4.3.3弯曲正应力强度条件强度条件式(等截面)：许用弯曲应力与简单拉(压)的许用应力意义相同；考虑到弯曲正应力的分布规律，许用弯曲应力的值可取较大的值，或说弯曲安全系数可取较小的值；强度条件式可解决三方面的问题。例4-2：图示简支梁AB，试求：(1)最大弯曲正应力及其所在位置；(2)在D、E两点的弯曲正应力。解：（1）作出剪力图和弯矩图，求出最大弯矩值；计算抗弯截面模量（找出中性轴），计算最大弯曲正应力。（2）计算D、E两点所在截面的弯矩值，按照D、E两点各自离中性轴的距离，计算出其弯曲正应力的值，并判断出其应力的性质（拉应力或压应力）。

Q19-9(kN)4.3.4提高梁弯曲强度的措施途径：减小最大弯矩，增大抗弯截面模量。合理设置支座、合理布置载荷。简支梁变为外伸梁，尽量不用悬臂梁，集中载荷变为分布载荷等。选择合理的截面形状，注意梁的放置方式。选择抗弯截面模量大的截面，如工字形，圆环形等，同样的截面形状，要注意使具有较大的惯性矩的轴成为中性轴。材料远离中性轴矩形0.167h；圆形0.125h；环形0.205h工字钢和槽钢(0.27～0.31)h4.4平面弯曲的变形计算4.4.l梁弯曲变形的度量——挠度和转角挠度和转角是控制梁弯曲变形的宏观量挠曲线可以表示挠度和转角：横截面转角与挠曲线上相应点的切线转角相同。小变形情况下，转角可以用挠曲线的斜率表示。

y=f(x)

θ≈，

挠曲线的曲率表示梁轴线上各点的弯曲程度，加上边界条件就决定了挠曲线，即确定了梁的挠度和转角。因此，梁弯曲变形的基本方程是梁弯曲变形的微分方程。4.4.2挠曲线近似微分方程及两次积分法梁弯曲变形的基本方程：注：为书写简单起见，将惯性矩的下标略去。曲率可用挠曲线的二阶导数来表示：小变形二阶导数与弯矩的符号关系：解此挠曲线微分方程，加上边界条件，即可得到梁挠曲线上各点的转角和挠度，即转角方程和挠度（挠曲线）方程。挠曲线微分方程：例4-3：导出悬臂梁受集中力作用的转角方程和挠度方程。设EI为常量。解：建立坐标系，写出弯矩方程；两次积分得出转角方程和挠度方程的通用式；考虑边界条件得到该梁的转角方程和挠度方程：例4-4：例4-5：

4.4.3用叠加法求梁的变形叠加原理：小变形，材料服从虎克定律，梁的挠度和转角均与梁所受载荷成线性关系，因此，梁在几种载荷共同作用下的变形，可以看作是每一种载荷单独作用时所产生的变形的叠加。叠加原理用来求复杂载荷作用下梁特定截面处的挠度和转角。每一种基本载荷作用下的梁的变形公式需要预先导出。例4-6试求图示悬臂梁自由端的挠度和转角。设抗弯刚度EI为常量。解：P1和P2共同作用下悬臂梁自由端的挠度和转角，可看作P1和P2单独作用下产生的变形的代数和。

例4-7试求悬臂梁受均布载荷作用时自由端的挠度和转角。设抗弯刚度EI为常量

解：将均布载荷设想为由无数个微元力qdx组成的，则每一个微元力qdx在梁自由端产生的微小转角和挠度：，例4-84.4.4梁的刚度条件刚度条件：将最大变形限制在一定范围内的条件，即

ymax≤[y]

θmax≤[θ]许可挠度[y]和许可转角[θ]由构件的具体工作要求来确定。化学工业中[y]和[θ]的值经常取决于生产工艺要求。如，一般塔设备塔顶自由端的许可挠度可取塔高的1/500～1/1000,具体值可由塔工艺要求来确定。4.5简单超静定梁的求解例：求图示超静定梁的约束反力。

静定基变形图

解：法Ⅰ：解除支座B，形成静定基，变形协调方程：y1+y2=0，

法Ⅱ：解除转角约束，形成静定基，变形协调方程：q1+q2=0

静定基变形图4.6压杆稳定性简介4.6.1压杆稳定性的概念压杆的稳定性分析：外加力有利于弯曲变形的继续发展；杆自身具有抵抗弯曲变形的能力（抗弯刚度）。压杆是否稳定取决于杆自身抵抗弯曲变形的能力与外力使杆发生弯曲变形的能力的较量。临界压力：弯曲变形既不消失也不扩大（临界状态）时的压力。临界压力的大小表示了压杆稳定性的高低，是表