平面向量的数量积及菘应用(二)

4.2平面向量的数量积及其应用（二）1.向量在平面几何中的应用（1）常解决的平面几何问题：平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.（2）解决常见平面几何问题用到的向量知识问题类型所用知识公式表示线平行、点共线问题共线向量定理a∥b⇔____________⇔__________其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔_______⇔__________a=(x1,y1),b=(x2,y2)夹角问题数量积的定义cosθ=（θ为向量a,b的夹角）a=λb(b≠0)x1y2-x2y1=0a·b=0x1x2+y1y2=0（3）用向量方法解决平面几何问题的“三步法”平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题设向量运算还原2.平面向量在物理中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos

θ(θ为F与s的夹角）.考点1

向量在平面几何中的应用例1（1）平面上O,A,B三点不共线，设则△OAB的面积等于()（2）若等边△ABC的边长为平面内一点M满足【规范解答】（1）选C.设a，b的夹角为θ，由条件得（2）以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知A(0，3)，设M(x,y)，则

由

得,∴x=0，y=2,∴点M的坐标为(0,2).答案：-2【拓展提升】平面几何问题的向量解法（1）坐标法.把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了相关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法.适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于未知量的方程来进行求解.【提醒】

用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底.练习(1)如图，O，A，B是平面上的三点，向量C为线段AB的中点，设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点，向量若=()(A)8(B)6

(C)4

(D)0【解析】选B.由

知|p-b|=|p-a|，∴|p-b|2=|p-a|2，p2-2p·b+b2=p2-2p·a+a2，得2p·a-2p·b=a2-b2=16-4=12，∴p·(a-b)=6.(3)已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边上任意一点，则的最大值为______.【解析】方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图，设P点坐标为(x,y)且0≤y≤3,0≤x≤4,则当y=3时，取得最大值9.方法二：(基向量法)∵cos∠BAC为正且为定值，∴当最小即=0时，取到最大值9.答案：9考点2

向量与三角函数知识的综合应用例2(1)已知向量a=(m,n)，b=(cosθ,sinθ)，其中m,n,θ∈R.若|a|=4|b|，则当a·b＜λ2恒成立时实数λ的取值范围是()(2)已知A(1,1),B(1,1),C(cosθ,sinθ)(θ∈R)，O为坐标原点.①若=，求sin2θ的值；②若实数m,n满足求(m-3)2+n2的最大值.【规范解答】(1)选B.由已知得|b|=1，所以|a|==4,因此a·b=mcos

θ+nsinθ=sin(θ+φ)=4sin(θ+φ)≤4,由于a·b＜λ2恒成立，故λ2＞4，解得λ＞2或λ＜-2.(2)①∵=(cosθ-1)2+(sinθ-1)2=(sinθ+cosθ)+4,∴(sinθ+cosθ)+4=2,即sinθ+cosθ=两边平方得1+sin2θ=，∴sin2θ=②由得(m+n,m-n)=(cosθ,sinθ),∴(m-3)2+n2=m2+n2-6m+9=(sinθ+cosθ)+10=-6sin(θ+)+10,∴当sin(θ+)=-1时，(m-3)2+n2有最大值16.【互动探究】在本例题（2）的第①小题中，若将条件“”改为“”，则如何解答？【解析】由条件知由

得∴tanθ=-1.(2)设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a,b,c，向量p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q.(1)求角B的大小；(2)若△ABC是锐角三角形，m=(cosA,cosB),n=(1,sinA-cosAtanB),求m·n的取值范围.【解析】(1)∵p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q,∴a-2bsinA=0,由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0.∵0＜A,B,C＜π,得或(2)∵△ABC是锐角三角形，于是由A+C=π-B=及0＜C＜,得结合得考点3

向量与解析几何知识的综合应用例3（1）已知两点M(－3，0)，N(3，0)，点P为坐标平面内一动点，且则动点P(x，y)到点M(－3，0)的距离d的最小值为()(A)2(B)3

(C)4

(D)6（2）在平行四边形ABCD中，A(1，1)，=(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.①若=(3,5)，求点C的坐标；②当时，求点P的轨迹．【规范解答】（1）选B.因为M(-3，0)，N(3，0)，所以由化简得y2=-12x，所以点M是抛物线y2=-12x的焦点，所以点P到点M的距离的最小值就是原点到M(-3，0)的距离，所以dmin=3.（2）①设点C的坐标为(x0，y0)，又即(x0－1，y0－1)＝(9，5)，∴x0＝10，y0＝6，即点C(10,6).②设P(x,y)，则=(x-7,y-1)，∵∴平行四边形ABCD为菱形．∴∴(x－7，y－1)·(3x－9，3y－3)＝0，即(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0.∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0．即(x-5)2+(y-1)2=4.又当y=1时，点P在AB上，与题意不符,故点P的轨迹是以(5，1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y=1的两个交点．【拓展提升】向量在解析几何中的“两个”作用（1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b=0,a∥b⇔a=λb（b≠0）,可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.练习(1)已知点A(-1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹C满足∠AMB=2θ，并写出轨迹C的方程.【解析】设M(x,y)，在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，根据余弦定理得又因此点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(去掉x轴上的两点),a=2，c=1.所以轨迹C的方程为(2)已知O是坐标原点，点A（-1，1）,若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()(A)［-1,0］(B)［0,1］(C)［0,2］(D)［-1,2］【解析】选C.由题意，不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：由向量数量积的坐标运算易得：令-x+y=z,即y=x+z,易知目标函数y=x+z过点B（1，1）时，zmin=0,目标函数y=x+z过点C(0,2)时，zmax=2,故

的取值范围是［0,2］.练习:已知向量m=(2x-2,2-y)，n=(y+2,x+1),且m∥n,=(x,y)(O为坐标原点).(1)求点M的轨迹C的方程；(2)是否存在过点F(1，0)的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAPB的面积；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵m=(2x-2,2-y),n=(y+2,x+1),且m∥n,∴(2x-2)(x+1)-(2-y)(y+2)=0,整理，得(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l:x=my+1.代入椭圆的方程中整理得(2m2+3)y2+4my-4=0，显然Δ>0.由根与系数的关系有:假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为即点P的坐标为(x1+x2,y1+y2),∵点P在椭圆上，即整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6,又A，B在椭圆上，即2