基本数学运算1

第一章基本的数值运算§1.1数值微分§1.2数值积分§1.3函数方程求根§1.4双原子分子振动能级的半经典量子化§1.5中心位势的散射在数值运算的大多数计算中,有三种最基本的数值运算,那就是数值微分,数值积分,数值求根.§1.0插值方法§1.0插值方法当我们需要从一些分离的数据推断他的局部信息时,就需要插值.拉格朗日(Lagrange)插值已知分离点要求y(x)的最简单方法是线性插值如果用三点来插值如果是n+1点插值拉格朗日n次插值公式牛顿插值法由拉格朗日法,如果增减节点数,要重新计算基函数.用牛顿法可以解决这个问题.系数a由以下插值条件决定一阶差商同理可得二阶差商若定义k阶差商为那么有这样我们就得到牛顿插值公式牛顿法的优点是:当增加一个节点时,只要增加一项就行了,且有递推关系如果不仅给出各点的函数值,而且给出各点导数值.这时可使用2n+1阶Hermite插值.§1.1数值微分利用泰勒级数来求数值微分公式差分公式①对(1.2)式取一级近似，得②如果对(1.2)式取二级近似(假设f”i存在)，所得两式相减，得③如果对(1.2)、(1.3)式取四级近似，容易证明下述公式④对(1.2)式取三级近似，容易证明，二阶导数的三点中心差分公式为⑤若函数的各阶导数都存在，利用(1.2)、(1.3)式的适当组合，就可得到各阶导数的4点、5点差分公式，其表达式见表1.2。高阶差分公式不一定比低阶差分公式好。如果函数具有连续高阶导数选取高阶差分公式较好，如果不具高阶导数选取低阶差分公式较好。表1.2⑥如果不是等间隔格点，或者所求导数不在格点上，则常用拉格朗日插值公式来计算微分。三点拉格朗日插值公式为§1.2数值积分①梯形积分：对于积分②定步长辛卜生积分：若利用泰勒展开式(1.2)和差分公式(1.6)(1.8)式，得这就是定步长辛卜生积分公式，其误差关于h是五阶的。它要求被积函数必须存在1阶和2阶导数。辛卜生积分方法：定步长方法，变步长方法，自适应积分方法。更高阶的积分方法：龙贝格积分方法，高斯型积分方法，…。积分方法选取原则：(1).若被积函数具有任意阶导数，且无很大的尖峰存在，通常使用高阶的龙贝格积分方法。若想使积分花最少的时间，最好使用固定的N点高斯积分(见第三章)方法。因为它的积分精度最高。但条件是能预知N取多大，就能满足精度要求。(2).若被积函数具有少数几个较高较窄的峰或谷，往往采用自适应辛卜生积分方法。因为这种方法是专门为这种情况设计的。(3).若被积函数不具有高阶导数，但仍具有1阶导数，通常采用变步长辛卜生积分方法。(4).若被积函数不光滑，甚至不连续，一般采用梯形积分方法较为可靠。另外，对于高振荡函数，还有专门的积分方法。§1.3函数方程求根简单搜索法、牛顿法、弦割法和连分式方法。其它十几种方法。一、简单搜索法(即对分法或二分法)。

SQR1.FORCALLSQR1(2.0,1.E-5)ENDFUNCTIONF(X)F=X*X-5.N=N+1WRITE(7,*)N,X,FENDSUBROUTINESQR1(X,EPS)DX=.5F1=F(X)10IF(DX.LE.EPS)GOTO20X=X+DXI=I+1F2=F(X)IF(F1*F2.GT.0.)GOTO10X=X-DXDX=.5*DXGOTO1020CONTINUEEND

Nxf(x)12.000000-1.00000022.5000001.25000032.2500006.250000E-0242.125000-4.843750E-0152.2500006.250000E-0262.187500-2.148438E-0172.2500006.250000E-0282.218750-7.714844E-0292.2500006.250000E-02102.234375-7.568359E-03112.2500006.250000E-02122.2421882.740479E-02132.2382819.902954E-03142.2363281.163483E-03152.235352-3.203392E-03162.2363281.163483E-03172.235840-1.020193E-03182.2363281.163483E-03192.2360847.158518E-05202.235962-4.743189E-04212.2360847.158518E-05222.236023-2.013706E-04232.2360847.158518E-05242.236053-6.489363E-05252.2360847.158518E-05262.2360693.345544E-06但使用该法必须满足下述几个条件：a.f’(x),f”(x)必须存在，f’(x)不等于零，且能求出f’(x)的解析表达式。b.必须有

f”(x)不变号，即单调凸函数或单调凹函数，否则迭代不收敛而失败。这种条件有时很难满足，这是该法的最大缺陷

ROOT.FOR

SUBROUTINEROOT(X1,X2,E1,E2,RT)FL=F(X1)FH=F(X2)IF(ABS(FL).LE.E1)GOTO20IF(ABS(FH).LE.E1)GOTO20IF(FL.LT.0.)THENXL=X1XH=X2ELSEXL=X2XH=X1SW=FLFL=FHFH=SWENDIFDX=XH-XL

DO10I=1,30RT=XL+DX*FL/(FL-FH)FC=F(RT)IF(FC.LT.0.)THENDEL=XL-RTXL=RTFL=FCELSEDEL=XH-RTXH=RTFH=FCENDIFDX=XH-XLIF(ABS(DEL).LT.E2)GOTO20IF(ABS(FC).LE.E1)GOTO2010CONTINUEPAUSE'计算超过30次'20RETURNEND四、连分式解法其它求根方法还有黄金分割法，抛物插值法等十多种方法。每种方法各有优点和不足，要针对不同的情况，选用不同的方法。有如下的原则：a.二分法的优点是可靠，但效率太低。b.牛顿法的优点是收敛速度快，但若不满足那些条件，求根将失败。若计算导函数所花的时间较