多维随机变量的特征数

一、多维随机变量及其联合分布

二、边际分布与随机变量的独立性三、多维随机变量函数的分布四、多维随机变量的特征数第三章多维随机变量及其分布五、条件分布与条件期望二、数学期望与方差的性质三、协方差一、多维随机变量函数的数学期望四、相关系数§3.4多维随机变量的特征数五、随机向量的数学期望向量与协方差矩阵定理2.2.1

设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X))存在，则一、多维随机变量函数的数学期望（1）若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列为则Z=g(X,Y)的数学期望为（2）如果Z=g(X,Y)是二维连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y),则Z=g(X,Y)的数学期望为特别地，若取g(X,Y)=X,可以得到X的期望为——离散——连续例3.4.1在长度为a

的线段上任取两个点X和Y,求这两点间的平均长度。解：因为X、Y独立，且都服从U(0,a).所以（X,Y）的联合密度函数为积分计算须分区域.注意：直接代公式较麻烦，可以先求Y的分布.二、数学期望与方差的性质线性分析：直接写出X的分布非常困难，因为每一只球可能多次被摸到.考虑每一种颜色的球是否被摸到.引入随机变量如下：例3.4.4设一袋中装有m只颜色各不相同的球，每次从中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求E(X)。例3.4.4设一袋中装有m只颜色各不相同的球，每次从中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求E(X)。该方法称为分解随机变量法,求期望不需要独立性三、协方差协方差也称为相关中心矩。联合分布中各分量间的关系注意：详见协方差的性质协方差的主要性质:注：以上性质可用定义及期望的性质来证明.反之不能成立！补充说明：四、相关系数在表示随机变量的关系时，为了消除量纲的影响，引入了相关系数的概念。引理——施瓦茨不等式证：注：施瓦茨不等式表明相关系数的取值范围是相关系数的性质：

当ρ=0时，称X,Y不相关；当ρ=±1时，称X,Y几乎处处有线性关系.补充说明相关系数ρ(X,Y)刻画了随机变量X、Y间线性相关的程度。ρ=±1时，表示X、Y几乎处处具有线性关系；ρ=0时，表示X、Y不具有线性关系，但可以具有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不相关〔ρ=0〕是等价的。与协方差相比较，相关系数是一个不带单位的系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映随机变量间的关系；同时，也方便不同类型随机变量的比较。00.511y=x注：协方差虽然很小，但相关系数却比较大。所以协方差反映随机变量的相关程度不是很准确的。例12【投资风险组合】设有一笔资金,总量为1,如今要投资甲、乙两种证券。若将资金x1投入甲证券，余下资金x2=1-x1投入乙证券，于是就形成了一个投资组合。记X为投资甲证券的收益率，Y为投资乙证券的收益率，它们都是随机变量。若已知X、Y的均值和方差分别是μ1，μ2

和σ12，σ22

，X和Y的相关系数为ρ。试求该投资组合的平均收益和风险，并求使风险最小的x1是多少？解：因为该组合的收益为所以平均收益为风险（方差）为按照求函数极值的方法可求出这时，该组合投资的风险最小。五、随机向量的数学期望与协方差阵对于多维随机变量，我们以矩阵的形式给出其数学期望和方差。为随机向量的方差——协方差阵，简称协方差阵，协方差阵的重要性质n维随机向量的协方差阵是一个对称的非负定矩阵.详见P180—定理3.4.2例3.3.1概率解等价于概率结论设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y的分布律.得因为X与Y相互独立,所以解例3.3.2可得所以例3.3.3（泊松分布的可加性）证例3.3.4（二项分布的可性）证二、最大值与最小值的分布例3.3.5（最大值分布）解例3.3.6（最小值分布）解三、二维连续型随机变量函数的分布Z=X+Y的分布由此可得概率密度函数为由于X与Y对称,当X,Y独立时,卷积由公式解例3.3.7

（正态分布的可加性）

设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.得说明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.见教材P168中间.例3.3.8（伽玛分布的可加性）证由伽玛分布的两个特例：得到另外两个结论：例3.3.9证四、变量变换法仍以介绍二维随机变量函数的分布，对于n维的情况其方法类似.1.变量变换法注：此方法的证明涉及二重积分换元法，这里不作证明.