(初中)数学教学：教什么和怎么教

数学教学：教什么和怎么教

李祎

福建师范大学数学与计算机科学学院

目录一、数学教师应具备的素质二、数学教学“为什么教”三、数学教学“教什么”四、数学教学“怎么教”五、数学教学“教得怎么样”一、数学教师应具备的素质庸师：如同庸医，不仅不能教好学，反而会把学生越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。教书匠：知识的搬运工，把自己会的东西简单的搬运给学生，没有智慧，没有思维火花，不会贻误学生一生，但也没有太大发展。经师：不仅能教给学生知识和技能，并且能培养学生一定的能力，属于较高水平的教师。人师：不仅给学生知识和能力，还能给学生智慧，更能在思想上、人格上影响学生，使学生在获得知识、培养能力的同时，还产生了智慧，形成了健康人格。深入深出型，自己的知识很丰富、很深奥，交给学生的知识也很深奥，学生听得不明所以然。浅入深出型，自己的知识很贫乏，但却要装得很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩。浅入浅出型，自己懂得并不多，但能用通俗的语言教给学生，虽说学生不会有太多提高，但能学到一些知识。深入浅出型，自己的学问很深，但能把晦涩难懂的知识通俗化，学生听得懂、学得会。如何做到“深入浅出”呢？教师的知识结构：本体性知识，条件性知识，实践性知识，一般文化知识。数学教师“两手抓，两手硬”：数学素养与教育理论素养。数学教学“三吃透”：吃透教材、吃透学生和吃透理论。数学教学设计的关键：理解数学与稚化思维；先解构，再建构；处理好历史序、逻辑序与心理序的关系。如何提高自身素养呢——以数学素养为例（1）从微观上对数学知识的准确、深刻理解

（2）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握

（3）对显性知识背后隐性的思想方法的认识

（4）对中小学数学中某些拓展性知识的认知

（5）对数学知识“来龙去脉”的过程性把握

（6）从高观点对中小学数学的居高临下的认识通过“追问”：形成正确认识，获得深层理解，拓展学科知识，获得较高观点。二、数学教学“为什么教”数学教育：以数学学科为载体培育人教育是一把“双刃剑”对中美教育的比较和反思数学教育现象反思：懂而不会和会而不懂真正的教育是什么？——西点军校的启示数学教育仅仅是为了考试和分数吗？数学教育已退化和沦陷为单纯的解题训练——解题教学押题猜题讲类型化例题练公式化步骤做模拟试题教得分方法考试高分低能动手能力差应用能力弱创造水平低解题教学新八股三、数学教学“教什么”教学的本质教学：就是“教学生学”。学生：学什么；怎么学。教师：“教什么”是指“教学生学什么”和“教学生怎么学”。教师：“怎样教”是指“怎样教学生学什么”和“怎样教学生怎么学”。高水平教师与普通教师的差别在哪里？（一）教学生学“本质”（二）教学生学“过程”（三）教学生学“思想”（四）教学生学“结构”（一）教学生学“本质”

1.数学概念的本质概念是反映事物本质属性的思维产物.数学：空间形式和数量关系.数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物.本质属性：共有性，特有性，整体性。示例1：集合的本质幼儿园小孩子学集合示例2：距离初中阶段学过的“距离”：“两点之间的距离”；“直线外一点到已知直线的距离”；“两平行线之间的距离”。距离的本质：图形P内的任一点与图形Q内的任一点间的距离中的最小值，叫做图形P与图形Q的距离。把握住这一本质，高中阶段学习“点到平面的距离”“直线到与它平行的平面的距离”“两个平行平面的距离”“异面直线的距离”的概念时，学生也能做到不教自明。示例3：概率的统计定义一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件发生的概率P（A）=p。（九年级上册）频率稳定于概率，不是说频率的极限是概率，稳定于p不能写成：“稳定于p”意味着对，有即是说只要n充分大，那么频率充分接近概率的概率就是1。大数定律以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。实验目的在于体验用大数次实验的频率来估计概率的方法，而不在于验证可能性相等。示例4：方程方程的定义“含有未知数的等式叫方程”，并没有反映方程的本原思想。教师在方程定义的黑体字上大做文章，反复举例，咬文嚼字地学习，朗朗上口地背诵，没有实质性的意义。绝对没有学生因为背不出这句话而学不会“方程”的。方程的本质在于对已知数和未知数一视同仁，通过建立起已知数和未知数之间的等式关系，从而求得未知数。

理解方程的本质，首先要理解等式的意义。例如，3＋2＝5和3＋2＝1＋4虽然都是等式，但是两个“＝”却可以有着完全不同的意义：前者的“＝”表示的是“求取解答”的过程，它的方向是从左到右，等号两边并不具有同等的地位，这就是等式的“程序性观点”；后者的“＝”表示两边的计算结果相等，等号两边具有同等的地位，它们都是3＋2＝1＋4这一整体性数学“结构”的一个部分，这就是等式的“结构性观点”。学习用字母表示数之前，是过程层面的思维方式，其思维定式是列出算式就要算出确定结果。这种思维方式对将一个代数式作为思考对象是不能接受的，总觉得“这样还没算完”。对象层面的思维方式更多地关注算法本身，结果是次要的。学习用字母表示数的难点是：既要体会用字母表示数的概括性，更要体会含字母的式子也能看做最后结果。学生认识方程本质的最大困难就在于受“程序性观点”的影响，始终拘泥于具体的运算，而不能把方程看成一个两边相等的整体结构。（“连等”现象：x-5=8=x=8+5=x=13.

）认识方程的意义，需要从两个方面入手：一是认识方程的显性特征，即“含有未知数”和“等式”。可以采用两次分类的方法，通过比较帮助学生认识方程的外部特征。二是认识方程的隐形特征。认识方程的意义，更为重要的是要帮助学生逐步克服算术思想的影响，逐步实现学生对等式的“程序性观点”向“结构性观点”的转变，使学生体会到方程是表示已知量和未知量之间相等关系的一种数学模型。更一般地看，算术运算与代数运算的区别在于:区别一：算术运算处理具体数字，而代数运算处理抽象符号。算术运算针对已知量进行操作，每个数字代表确定的意义；代数运算用抽象的符号表示未知量，再对符号进行运算变换。区别二：算术思维是特殊化思维，而代数思维是一般化思维。算术针对特定情境中的具体问题进行具体分析，采用的是特殊化思维方式；代数则可以脱离具体情境，概括问题的一般化特征。区别三：算术关注解决问题的程序，而代数则重视问题的结构。算术关注解决问题的具体方法和策略；代数则关注从问题中抽象出来的结构关系式，并对该关系式进行形式化操作。2.数学结论的本质（1）人为约定的结论数学知识不是“铁板一块”示例5:0为什么不能作除数示例6：分数为什么要这样相加减？示例7：为什么要“先乘除后加减”示例8：为什么要规定a0=1?示例9：集合的“三性”(教学之可为；教学之不可为)（2）可以证明的结论思考：什么样的数学结论，有资格成为数学定理或公式？经常用到，推证不易，形式简单。经常不用：梅涅劳斯定理：如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则=1塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则推证容易：弧长公式；扇形面积公式，。形式复杂：正切定理：设的三边分别为，则有下面的结论：理解命题的功用：示例10：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2

平方差公式是乘法公式的一种。多项式的乘法法则是一个一般性的法则，乘法公式是整式乘法法则的下位，是一般法则形式下特殊形式的特征。将“特例”作为“公式”，主要基于以下考虑：第一，为符合公式特征的整式乘法运算带来方便；第二，为后续学习奠定基础，如“用公式法分解因式”“分式的运算与化简”“解一元二次方程”等。方法论意义：其一是“特殊化”思想。建立在“多项式乘以多项式”基础之上的“平方差公式”，承载的不仅仅是一个数学公式本身，它反映了从“一般”到“特殊”的研究数学问题的基本策略。其二是“归纳”思想。通过观察一系列具有某种结构特征的“多项式乘以多项式”的结果，“归纳”出符合这种“结构特征”的共同“规律”，这就是平方差公式，其中的符号可以代表任何“数字”、“字母”、“式子”。理解命题的内容：示例11：三角形面积公式的理解三角形面积公式的得出。三角形面积公式另解：在三角形中，AD和BE是三角形两条边上的高，通过相似三角形原理，得到下面的性质：三角形的底边与高的乘积是一常数，只与三角形本身有关，而与所选的底边无关。把这个乘积与某一常数k的乘积称为三角形的面积。对于k的取值，一旦确定后就不再变更。这个k应如何取？为此，要做一些规定，k的取值必须使得边长为1的正方形的面积为1。正方形可以分割成两个直角三角形，S=k+k=1，所以k=1/2.则三角形的面积公式为：S=1/2底×高。ABCD示例12：三角形全等的条件三角形全等，即看所给条件能否完全的、唯一的确定一个三角形。“隐藏”掉三角形的任意一条边或任意一个角，确定三角形的基本条件并没有改变；但再继续减少条件，就不能保证完全确定这个三角形了。

不妨称实线部分为描述的“最简条件”。事实上，正是因为“边边边”、“边角边”、“角边角”等条件都能描述出这个“最简条件”，所以它们成为证明三角形全等的充分条件，而“边边角”却不能。进一步探究可发现，当满足以下条件时，“边边角”可作为三角形全等的判定条件：（1）若两个三角形均为直角三角形，则它们全等。（2）若两个三角形均为钝角三角形，则它们全等。（3）若两个三角形均为锐角三角形，则它们全等。（4）若已知两边相等时，则它们全等。（5）若已知角的对边为已知两边中的大边时，则它们全等。（正弦定理求解时得一解）理解命题的证明：波利亚：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？示例13：多边形外角和定理凹多边形的外角和：凹角形成的顶点处，角是顺时针旋转；凸角形成的顶点处，角是逆时针旋转。把逆时针旋转的角度视为正角，把顺时针旋转的角度视为负角。闭曲线的“外角和”：行走方向时时在改变。结论：“角度改变量的代数和是360度”，或“方向改变量的代数和是360度”3.数学方法的本质示例14：十字相乘法不仅适用于二次三项式（八上“观察与猜想”）：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)将任意代数式分成三项之和：f(x)=A+B+C若A=ab,C=cd,且ad+bc=B,即有下面的十字关系：则f(x)=(a+c)(b+d)abcd示例15：反证法的实质（九上“圆”）反证法的逻辑基础是排中律。矛盾律：同一对象的两个互相矛盾的判断不能同真,至少有一个是假的（a大于b,a小于b）；排中律：同一对象的肯定判断和否定判断必有一个是真的。

反证法有效性的原因：有效增设反证法就是等价于证明原命题的逆否命题吗？过程与结果的辩证关系：科学意义，教学意义过程性是追求的目标：三个层次过程性作为目标的意义：本质，方法，理解，能力过程性的完整含义：知识的，思维的，活动的“谁”的过程性：教师，还是学生？怎样的过程性：结果的，还是过程的？过程性观下之审视：预习、作业、备课二、教学生学“过程”

弗赖登塔尔：“火热的思考”变成“冰冷的美丽”，教材是“教学法的颠倒”。数学的形态：原始形态、学术形态和教育形态。“学术形态”转化为“教育形态”——稚化思维的策略教学时不以知识丰富的教师自居，而是把自己的思维降格到学生的思维水平上，有意识地退回到与学生相仿的思维状态，设身处地地揣摩学生的学习水平、状态等，以与学生同样的思维情境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。1.过程性中揭示本质示例16：圆周角定义的教学

（链接）2.过程性中掌握方法示例17：判别式只适用于一元二次方程吗？在实数范围内解方程：判别式的“来龙去脉”——配方法A(x)x2+B(x)x+C(x)=03.过程性中加强理解示例18：“负负得正”的教学（4）故事模型好人（正数）或坏人（负数），进城（正数）或出城（负数），好（正数）与坏（负数）。如果好人（+）进城（+），对于城镇来说是好事（+），即（+）×（+）=+；如果好人（+）出城（-），对于城镇来说是坏事（-），即（+）×（-）=-；如果坏人（-）进城（+），对城镇来说是坏事（-），即（-）×（+）=-；如果坏人(-)出城(-)，对于城镇来说是好事(+)，所以（-）×（-）=+。模型不足以让聪明孩子完全信服，还可用其他方法来解释为何“负负得正”：0=(-5)×0=(-5)×[(-3)+3]=(-5)×(-3)+(-5)×3=(-5)×(-3)+(-15)而只有15与（-15）的代数和才为0，故(-5)×(-3)=15研究表明：教师最倾向于使用归纳模型，学生最倾向于使用相反数模型。师生均不喜欢形式化的模型，比如分配律模型。4.过程性中培养能力示例19：二次根式重要公式的教学稚化思维的教学策略——探究和启发引导式探究；发现式探究。由易到难启发；由远及近启发。（链接——的教学）

示例20：函数单调性的教学多快好省地直接呈现形式化的定义，其余的更多时间，便是：咬文嚼字式的强调，细枝末节的提示，解题程式的归纳，题海战术的训练。让学生参与形式化、符号化和数学化的过程：由图象直观特征，到自然语言描述，再到数学符号描述；从直观到抽象、从文字到符号、从粗疏到严密的建构过程。数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中概括的基本观点。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。显性的知识是写在教材上的一条明线，隐性的思想是潜藏其中的一条暗线。（三）教学生学“思想”“数学课程标准”指出，数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生体会蕴涵在知识中的数学思想方法。数学问题可以千变万化，而其中运用的数学思想方法却往往是相通的。学习数学重在掌握这种具有普遍意义和具有迁移价值的、能反映数学本质的策略性知识。

米山国藏：学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。2004年高考数学上海卷有一道不需要“解”而需要“理解”的填空题:教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是

。当前数学教学中存在的问题:重术轻道，即只重视对知识点的记忆和解题技巧的训练，而忽略了对数学基本原理和思想方法的理解掌握。基础知识基本技能基本活动经验基本思想数学活动1.思想方法具有相通性示例21：度量思想线段长→多边形周长→圆周长→弧长；两直线的夹角→线与面的夹角→面与面的夹角；单位正方形面积→长方形与正方形面积→其他多边形面积→圆面积→多面体表面积；单位正方体体积→长方体与正方体体积→圆柱体积→圆锥体积。逻辑结构：定义几何量→确定度量单位→简化算法。2.思想方法具有迁移性示例22：各种函数性质的研究通过图像研究函数的性质——数形结合思想；通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质——从特殊到一般的归纳思想；区分情况来讨论函数的性质——分类讨论思想；通过对比来研究函数性质——类比的思想方法；函数性质应用实例——数学模型思想方法。例如:反比例函数，单调性，指数函数，对数函数3.在教学中挖掘思想方法示例23：绝对值中的思想方法（1）数形结合思想新教材中的绝对值的定义，是从几何角度给出的:一个数a的绝对值，就是数轴上表示数a的点与原点的距离。新教材突出绝对值的几何定义，渗透了数形结合的思想方法，将绝对值的代数定义淡化为计算数的绝对值的需要。（2）分类思想代数定义：通过揭示其外延来完成，即分别阐明一个正数、负数或零的绝对值是什么:数学概念的定义一般都是充分必要的。正数、零、负数这三个概念的关系是对立关系，但它们的绝对值的关系却是交叉的。即绝对值等于其本身的数是正数或零，而绝对值等于其相反数的是负数或零。学会对绝对值正确分类，让学生克服不是正数就是负数，不是负数就是正数的错误观念。（3）化归思想有理数大小的比较是通过数的绝对值转化为算术数的比较；（规定性与争议性）有理数的运算也是通过绝对值的概念转化为算术数的运算；（运算法则）解决含绝对值的问题(如方程、不等式、函数等)，总是化归为不含绝对值的问题来解决。但绝对值的运算，不同于四则运算，结果不唯一。数a的内涵非常丰富，绝对值概念从数抽象到字母，从字母抽象到代数式，从代数式抽象到解析式，要经历逐级抽象的过程。4.通过思想方法加强数学理解示例24：数形结合，多元表征初中数学：（1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2bbaa(a+b)²a²b²abab++（2）完全平方和公式：（3）完全平方差公式：aabb(a-b)²a²ababb²–+（4）一元二次方程ax2+bx+c=0为何判别式△=b2-4ac≥0时有解？从数形结合思想及函数与方程思想来进行理解:

函数y=ax2+bx+c的顶点坐标：xy0高中数学：（1）等差数列求和公式：（2）绝对值不等式：（3）基本不等式：（4）设则5.在解题中揭示思想方法示例25：裂项法分解因式的实质解法1解法2解法3多解归一是指把多种解法相互比较，进行抽象，挖掘本质，达到赏玩于股掌之上的程度。比较解法1和解法2，发现有着共同的必然，就是欲“拆”某项时，要视另外两项的系数而定，使拆后和另外两项配组后，组与组之间有公因式可提，恰如“言左右而顾他”，这就是“多解归一”的“一”。有了这个“归一”，才会产生解法3。甚至运用照顾另两项的思想，可不可以填上所缺的a2项呢？这就产生了解法4。解法4示例26：正弦定理的各种证明方法证法1：作高法证法2：面积法证法3：外接圆法证法4：角平分线法数学中究竟有哪些思想方法？A.数学思想方法的系统分类——哲学的视角：形式与内容；运动与静止；偶然与必然；现象与本质；原因与结果；整体与局部；有限与无限；等。思维的视角：观察与实验；类比与猜想；归纳与演绎；分析与综合；抽象与概括；特殊与一般；比较与分类

；等。数学的视角：1、全局性的方法：数学模型方法；关系映射反演方法；公理化方法；坐标方法；等。2、技巧性的方法：解题策略层面；解题方法层面；解题技巧层面。高考考试大纲：函数与方程思想；数形结合思想；分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与一般思想；有限与无限思想；必然与或然思想。B.数学抽象的思想；数学推理的思想；数学模型的思想。数学抽象的思想派生出的有：分类的思想；集合的思想；数形结合的思想；变中有不变的思想；符号表示的思想；对称的思想；对应的思想；有限与无限的思想等。数学推理的思想派生出的有：归纳的思想；演绎的思想；公理化思想；转换与化归的思想；联想与类比的思想；逐步逼近的思想；代换的思想；特殊与一般的思想等。数学模型的思想派生出的有：简化的思想；量化的思想；函数的思想；方程的思想；优化的思想；随机的思想；抽样统计的思想等。对内容进行设计时，不能“就事论事”，仅考虑到这一“点”知识，这样可能会“见木不见林”。在对教材进行分析时，要树立“整体观”，要从教学系统的“宏观视野”的显现状况与课堂运行的“微型框架”两方面进行结构化设计。学习理论的现代研究表明，组织良好的知识是围绕核心概念或“大观点”组织的。四、教学生学“结构”

布鲁纳认为，学习的实质是一个人把同类事物联系起来，并把它们组织成赋予它们意义的结构。学习就是认知结构的组织和重新组织。知识的学习就是在学生的头脑中形成各学科的知识结构。这种知识结构是由学科知识中的基本概念、基本思想或基本原理组成的。布鲁纳：学习知识就是学习事物是怎样相互关联的。“不论我们选教什么学科，务必使学生理解各门学科的基本结构”。华罗庚：“既要能把书读厚，又能把书读薄”。读厚，就是要把每一逻辑关系，每一个细节搞清楚，想清楚；读薄，就是能抓住课程的主线，基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识。孙维刚：“使学生发现知识之间盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌，不再是一堆杂乱无章的瓦砾、一片望而生畏的戈壁滩。”应从系统的角度学习知识，置知识于系统中，着眼于知识之间的联系和规律，从而深入本质，因为联系和规律就是本质。1.宏观结构与微观结构宏观结构示例27：几何结构与代数结构直观几何：对平面图形、立体图形的认识；度量几何：求长度、角度、面积、体积等问题；演绎几何：垂直、平行、全等、相似运动几何：如平移、旋转和对称等；坐标几何。代数：数式运算和方程求解。两种数：实数，复数；三种式：整式，分式，根式；六种运算：加，减，乘，除，乘方，开方；四类方程：整式方程，分式方程，根式方程，方程组。进一步发展：未知数更多的方程，次数更高的方程。从代数式（符号代表数），到方程（符号代表未知数），到函数（符号代表变数）微观结构示例28：面积公式面积学习的顺序：长方形、正方形→平行四边形→三角形→梯形。学完面积公式以后，需要融汇贯通，从整体上看它们之间的关系：梯形的面积公式：S=(a+b)h/2；三角形是上底为零的梯形：S=ah/2；平行四边形是上底和下底相等的梯形：S=(a+a)h/2=ah；长方形是边与高重合的平行四边形：S=ab；正方形是两边相等的长方形：S=a22.知识结构与方法结构示例29：知识结构——圆与方程单墫：学好数学要经历几个“会”。首先要“学会”，即学习数学的一些常识，包括常用的定义、定理和公式。其次要“领会”，即加强对数学概念和结论的理解，理解越深刻，运用就越自如。最后是“融会”，即触类旁通，举一反三。示例30：方法结构——九年级上册“圆”（1）用量化思想方法研究了圆的度量性质所谓度量性质，指几何图形可以用某种单位来计量（即予以数量化）的属性，——如长度、角度、面积、体积之类。圆周长、圆面积和角在小学已经学习。本章用量化方法进一步研究了圆心角与圆周角、弧长、扇形面积这些度量性质。研究圆的度量性质时，不但要用量化思想方法，而且要用化归思想方法。弧长被化归为圆周长的一部分；扇形面积被化归为圆面积的一部分。（2）用逻辑化思想方法研究了与圆有关的图形结构①圆与其内部各图形的关系结构圆心、半径、弦和直径都不是圆的组成部分，而是圆内部的其他图形（点和线段），它们分别（或联合）与圆组成一种关系结构。什么关系呢？一是位置关系：圆心在圆的中心、直径是圆的对称轴、圆的内接三角形、点在圆上或圆内。二是长度的数量关系：半径等于同圆直径的一半、垂直于弦的直径平分这条弦及它所对的两条弧、同圆中相等圆心角（或圆周角）所对的弧和弦等长（反之亦然）。②圆与其外部各图形的关系结构即圆与外部各图形的位置关系结构：点在圆外；直线与圆的相离、相切、相交；三角形的三边均与同一个圆相切（三角形的内切圆）；圆与圆的外离、外切、相交、内切、同心内含、不同心内含、重合。上述各种位置关系分别导致某些长度数量关系（反之亦然）：如果点在圆外则该点与圆心的距离大于半径（反之亦然），……（描述此类关系的定理很多，不一一列举）对这些图形结构的研究方法是什么呢？或曰，描述这些图形结构性质的定理是用什么方法得出的呢？主要是逻辑化的思想方法。研究图形结构不但运用了逻辑化思想方法，还运用了量化思想方法：对某种位置关系的几何定性描述←→对该位置关系的代数定量描述。3.纵向联系形成结构示例31：对称性小学数学：二年级上“美丽的对称图形”（认识并画出：画一画）；五年级“图形的变换——轴对称”（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量一量，数一数）初中数学：初二上“轴对称”（坐标系中研究轴对称的特征和性质）高中数学：函数的对称性——奇偶性；方程曲线的对称性函数图象的对称性：方程曲线的对称性：4.横向联系形成结构示例32：从等角定理到平行线定理定理：如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，那么这两个角相等或互补。如果把角的边的射线方向都加以标注，则不难得到结论：当两组平行边的射线方向全相同或全相反时，这两个角相等；两组平行边的射线方向一同一反时，这两个角互补。进一步：如果再把两条射线方向相同的关系规定为“+”，方向相反的关系规定为“-”；把两个角相等的关系规定为“+”，互补的关系规定为“-”。则有理数乘法的符号法则：“+”“+”得“+”，“+”“-”得“-”，“-”“+”得“-”，“-”“-”得“+”。更进一步：如果将直线EF平移，使它与OA所在直线重合，这时有：“两直线平行，同位角相等”；“两直线平行，内错角相等”；“两直线平行，同旁内角互补”。再进一步：把CD平移，使与OB所在直线重合。则：∠AOB和∠3的相等，就是角相等的定义；∠AOB分别和∠2及∠4的互补，就是平角的定义；而∠AOB和∠1的相等，可同时认为是对顶角相等!分散在课本里的6条定义、定理(角相等定义，平角定义，对顶角相等，两直线平行则同位角相等、同旁内角互补、内错角相等)，竟全包括在一个等角定理内。这1条定理是那6条定义、定理的联合推广；那6条定义、定理则是这1条定理的特例。因为，它们原本是一个系统。融汇贯通的过程，使我们透过繁杂的现象，抓住了本质，同时简化了记记。更重要的是接触到了一种崭新的认识问题的思想方法：由寻找联系入手，运用平移变换、特殊与一般的思想方法，把个别的、离散的现象构造成浑然一体的系统。这标志着能力的提高和素质的发展。以这种提高和发展，去学习、去解题，将与过去不可同日而语。因为解题的过程的本质，就是以敏锐的观察、分析，去发现和建立已知条件和结论之间的联系。四、数学教学“怎么教”袁隆平：“我最喜欢外语、地理、化学，最不喜欢数学，因为在学正负数的时候，搞不清为什么负负相乘得正，就去问老师，老师说‘你记得就是’；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还是一样回答，我由此得出结论，数学不讲道理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面。结果却让他颇为失望：“大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才。”理念的重要性之一——观念决定行动示例33：“分母有理化”的教学教师甲：“今天我们学习分母有理化”，然后板书课题，依次讲什么是分母有理化，怎样使分母有理化，举例，练习，最后布置作业。教师乙：首先板书一道题“计算（精确到0。01）”，指定两位同学板演，一同学先把分母分子同乘以，很快算出结果；另一同学直接用1被的近似值1．414除，列竖式算得繁。为此，教师问学生，那种方法简便，学生一致肯定了前者，从而自然引入了分母有理化课题。理念的重要性之二——具有概括性和普遍性庸俗化理解：教育理论应

“拿来即可用”“一用即显灵”。理论与实践之间存在一定程度的距离，是由理论自身的特点造成的，不超越现实的理论，就不可能具有前瞻性和创新性。理论理论总是具有抽象性和普遍性，愈是贴近实践的理论就愈不像理论。理论适度远离实践是必然的，也是必要的。教育理论的首要目的在于帮助人们认识问题，而不是处方式地去解决问题。教育理论具有层级性：操作层面的理论是为了求得理性的行动，观念层面的理论是为了达到对理性的理解与解释。理论研究者要“屈身下嫁”教育实践，教育实践者也必需“躬身迎接”教育理论。重要的在于用教育理论去武装实践工作者的头脑，把理论转化成实践者的思想、智慧和精神。借鉴教改经验的什么？学模，仿模，造模，无模（一）建构性数学教学思想（二）理解性数学教学思想（三）过程性数学教学思想（四）启发式数学教学思想（五）问题式数学教学思想（六）情境式数学教学思想（七）主体性数学教学思想（八）生成性数学教学思想（一）建构性数学教学思想1、建构主义发展概述行为主义→认知主义→建构主义建构主义是在整合了皮亚杰、维果茨基、布鲁纳、奥苏伯尔、加涅等认知主义理论的核心思想，并赋予新的意义而构建起来的，因此它是认知主义的进一步发展。

2、建构主义观的辨析（1）激进建构主义知识不是对客观事物本来面目的反映，知识只是适应和体现主体的经验，知识不能传递，只能由个体建构。把内部建构的作用推到极至的地位。它虽然并不排斥教师的帮助，但认为教师的作用是次要的。（2）社会建构主义学习是个体内部建构与外部建构相互作用的过程。社会建构主义也强调个体建构，但认为社会对个体的学习所起到的支持和促进作用必不可少。与激进建构主义轻视教师的作用相比，社会建构主义更重视教师的作用；与激进建构主义认为知识不是对客观事物本来面目的反映相比，社会建构主义强调个体建构要与知识的客观意义趋于一致。（3）信息加工建构主义学习不仅是人对外部信息的加工，而且意味着外来信息与已有知识之间存在双向的相互作用；新经验意义的获得要以原有的知识经验为基础，超越所给的信息，而原有经验又会在此过程中被调整或改造。不同的建构主义差异，可概括为“外部输入—内部生成”和“个体建构—社会建构”两个维度。在“外部输入—内部生成”的维度上，外部输入的倾向性越大，学习中接受的成分越多；内部生成的倾向性越大，学习中建构的成分越多。在“个体建构—社会建构”的维度上，不同建构主义反映出在“个体的建构”、“个体间的建构”、“社会性建构”之间的差异，3、建构主义的知识观建构主义认为，知识并不是对现实的准确表征，而只是一种解释和假设。学习者根据自己的经验背景，以自己的方式建构对知识的理解，不同人看到的是事物的不同方面。因此对于世界的理解和赋予意义由每个人自己决定，而不存在惟一标准的理解。同样一段程序在不同电脑中运行的结果是一致的，但同样一段以语言文字为载体的公众知识在不同个体的头脑中意义却是不一样的。4、建构主义的学习观建构主义认为,学习不是知识由外到内的转移和传递,而是学生建构自己的知识的过程。外部信息本身没有意义,意义是学习者通过新旧知识经验间反复的、双向的相互作用而建构成的。与情境中各种因素建立联系，与相关的各种已有经验建立联系，与认知结构中有关知识建立联系。建构新知识的过程，既建构了新知识的意义，又使原认知结构得到了重建。“心理建筑物”的建立和构造，都是内部心理上的思维创造过程。这是外界力量所不能达到的，当然也是教师所不能传授的，教师的传授实际是向学生的头脑里嵌入一个外部结构。外部结构嵌入的过程，是被动活动的过程，模仿复制的过程，最终所获得的意义缺少生动的背景，缺少经验支撑，缺少广泛知识的联系，也就缺少迁移的活力。比如在一元二次方程求根公式的学习中：学习者要建立未知数、常数、次数、方程等概念之间的联系；学习者要建立方程与求根公式、根与系数之间的逻辑联系；要建立一元二次方程与一元一次方程的联立；要与随后学习的一元二次函数、一元二次不等式建立起联系；最终建构起一个有机联系的“心理建筑物”.

5、建构主义的教学观教学不是传递东西或者产品。教师充其量只是传递了语言文字符号信息，至于这些信息在学生头脑中是什么意思，最终是由学习者决定的。（类似但又不同于电报的收发）教学就是创设一定的环境和支持条件，促进学习者主动建构知识的意义。教学不能无视学习者的已有知识经验,强硬地从外部实施知识的“填灌”,而是应把学习者原有的知识经验作为生长点,引导学习者生长新的知识经验。（二）理解性数学教学思想1、什么是数学理解有人认为，能够用自己的语言来叙述一个概念或原理就叫理解；有人认为，能够运用自己所学的知识才叫理解等。从心理层面给理解进行定义：理解是指在已有知识和经验的基础上，建构新知识的个人心理意义，不断完善和发展头脑中的知识网络，并能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取和应用。理解的过程，主要涉及三方面的工作:（1）必须将原始信息改造成适应个人认知结构特点、便于存入和提取的形式，因此，建立的表象越熟悉、越细致、越准确，理解程度就越好；（2）新知识结点与其它结点的连线越多，该结点的入口就越多，经由这些通道进入该结点的机会也就增多；（3）本质性的联系越多，准确性越强，这些联系就越紧密和牢固，这样，经由其它结点激活该节点的可能性越大，回忆必然越方便越迅速。2、理解的意义（1）理解有助于个体知识结构的完善理解的本质是数学知识的结构化、网络化和丰富联系。希伯特教授：“认为一个数学的概念、方法或事实是理解了，是指它成了内部网络的一个部分。理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。”（2）理解能够减轻学习者的记忆负担网络的结构越强，需要单独记忆的就越少，相对而言组块数量就越少。（3）理解有助于知识的灵活迁移和应用案例：斜坐标系3、理解的类型与层次（1）“不知其然者”，全无理解，这是理解的零层次；（2）“知其然”，即知道结果、结论，相当于第一层次理解；（3）“知其所以然”，即知道结论之因，即上升到理解的第二层次；（求根公式）（4）“何由以知其所以然”，即怎样想到这样定义、这个解法或证明的，这就涉及到思想方法，从而达到了理解的第三层次。案例：“老师，我忘了”（三）过程性数学教学思想1、什么是过程性结果是指教学活动发展的最终产物，而过程则是指为获得教学结果所必须经历的活动程序。结果的价值在于它的“消费”价值或使用价值。过程的价值在于它所具有的“生产性”或发展性。从科学角度来看过程与结果的辩证关系；从教学角度来看过程与结果的关系。对“过程”与“结果”关系的认识，有以下三种观点：第一种观点:只要结果，不要过程；第二种观点:重视过程，但重视的目的，是为了更好地掌握知识与技能，过程本身的价值被忽略；第三种观点：过程本身就是一个教学目标。过程某种意义上也是一种结果。过程与结果是相互促进的关系。2、“谁”的过程性在以往的教学中，经常用教师的过程性来代替学生的过程性。把教师的问题当成学生的问题，用教师的演示来代替学生的动手，用教师的讲解来代替学生的活动，用教师的分析来代替学生的思维。还经常存在另外一种现象，即用一些学生的过程性来代替另一些学生的过程性。（病态数学教学）替代型的“过程性”，已不具有真实的过程性所具有的价值。真实的教学过程充满着变数，充满着无法预知的“附加价值”和有意义的“衍生物”，这正是过程性的价值之所在。教师教的过程就只是手段，学生应然的思维过程才是目标。3、怎样的过程性？过程性经常是全预设的，其过程在过程实施之前就已经有了理性设计和程序规定，从而“过程”演变成了“流程”。预设的过程性，是作为结果的过程性，而不是作为过程的过程性。因为在这种过程性中，一切都是现成的：现成的问题，现成的论证，现成的说明，现成的讲解。它从源头上就剥离了过程与结果的内在联系。在教学设计中，教师需要重点考虑的是：通过怎样的引导来帮助学生进行探索性的思考，而不是通过精心预设的过程来代替学生的思考；通过搭建脚手架来协助个体知识的建构与生成，而不是便捷地呈现结果性知识以期让学生快速地吸收和接纳。即使是暴露或呈现他人的过程性，为了使这种过程性契合或顺应学生的思维，使两种过程性“合拍”，教师也需要设身处地的从学生实际出发来进行教学。当教师的思维带上了学生的色彩，甚至达到“学生话”之后，教的过程就与学的过程融为一体。退位思考；换位心里；“稚化”思维。4、过程观下对预习的审视对预习处理不当，会带来一些负面影响。没有耐心退到思维的“零起点”去重新思考；遇到新鲜结论，总是满足于结论而停滞不前；学生的思想全被课本提供的想法所束缚和限制。预习之后的教学，应通过“追问”等手段，引发更高层次的深入思考。应提倡一种探究型的预习观，为教学提供可贵的动态生成的资源。5、过程观下对备课的审视只备“课”不备“人”，只备“形”不备“神”，只备“结果”不备“过程”。教案过于精细和充分，危害性有时可能更大。萧荫堂:“有时教授备课不足，笨手笨脚地算错了数，从他搔着首、念念有词的改正中，反而可以看出他的思路，真正学到些东西。”教师在备课时需要注意以下几个问题：（1）要挖掘和揭示其产生与形成的思维过程。（2）善于“稚化”自己的思维，通过“心理换位”使教案中呈现的教学思路贴近学生的实际。（3）提倡教师写简案，使整个预设留有更大的包容度和自由度。（4）革新备课的形式。备课未必都形之于纸上，关键是要准备在教师头脑里。6、过程观下对作业的审视对学生作业的评价，宜少些量化打分，多一些质性评价。了解学生的真实思维过程，有两种办法值得尝试：一是在作业中反对草稿纸的使用，倡导作业的“随便”书写；二是对草稿纸的充分利用。“草稿纸是思考过程的履历表”。（四）启发式数学教学思想1、启发的重要性教师在教学中的主要任务是“引导”，而“启发”则是教师引导学生学习的基本方法。孔子:“吾有知乎哉？无知也。有鄙夫问于我，空空如也。我叩其两端而竭焉。”苏格拉底：从来都没有教给别人什么，只不过是象一个灵魂的接生婆那样，帮助人们产生自己的思想、观点。2、二重启发原理解析从内容的角度来看，这种启发性的帮助应由易到难，以符合认知规律；从思维的角度来看，这种启发性的帮助应由远及近，以提高思维强度。简单、容易的内容在启发时，距离目标的起点可远些，以提高思维强度；复杂、困难的内容在启发时，距离目标的起点可近些，以节约学习的时间。3、启发的适度性策略分析不能过于直白，也不能过于含蓄。言近而旨远，言有尽而意无穷，话里有话或弦外有音；举一而寓三，一语而多关，或迂回设问。语忌直，意忌浅，脉忌露，味忌短。启发的主要作用在于给学生以暗示。暗示不成再明讲。波利亚：“你能不能应用勾股定理啊？”a.如果学生已经接近于问题的解答，可是他已不需要这项帮助了。反之，他就很可能完全不明白这一提问的作用。b.它把所有的奥秘都显露出来，几乎没有留下什么可给学生做了。c.即使学生能应用它来解决手头的这个题目，但对以后会碰到的题目他们根本没有学到什么。d.就算学生懂得这提问的作用，可是他很难体会到教师凭什么会想到它的。4、启发的适时性策略分析当启处启，当发处发，“启”在关键处，“发”在要害处，防止超前启发和滞后启发。“首先是不是该……呢？”，“接下来是不是……呢？”，“然后是不是……呢？”启发的时间等待理论。（五）问题式数学教学思想1、什么是问题？数学问题是数学思维目的性的体现；问题性是思维的本质属性。问题的实质：从初始状态到目标状态之间的障碍，现有水平与客观需要之间的矛盾。“练习题”（Exercise）“问题”（Problem）：接受性，障碍性，探究性2、问题的特征与类型（1）问题的特征问题的矛盾性：

“问题”促进着个体的成长；问题的相对性：x2+x-5=0,x3+x2-5x=0,x3+x2-5x=1（2）问题的类型数学题系统：条件、结论、求解过程，解题依据。数学问题：集合（S,R）,其中R(Y,O,Z,P)。问题型问题；探索型问题；训练型问题；标准型问题.(量与质)3、什么是问题解决？数学证明题的实质；数学求解题的实质。传统意义的“解题”，注重结果、注重答案；现代意义的“问题解决”，更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法。一个学生拿到一道习题之后，通过翻看习题集的答案得到了解决，但能否认为他解决了问题呢？一个教师讲解一条几何定理时，小黑板一挂，辅助线作好了，证明和盘托出了，也是一个不成功的“解题”。4、数学问题解决的教学（1）注重非常规问题解决的教学（2）数学教学设计中“问题链”的构建案例：函数零点定理的教学（六）情境式数学教学思想1、情境认知理论知识视为个人和社会或物理情境之间联系的属性以及互动的产物。在特定情境中获得的知识比所谓的一般知识更有力和更有用。基于情境的行动合法的边缘参与实践共同体的建构2、什么是数学问题情境从认知的角度看，情境可被视为一种信息载体；能为数学问题的提出和解决提供信息和依据。可以是：故事情境、图片情境、操作情境、活动情境、利用多媒体创设的直观情境，但：首先是有“问题”，即认知矛盾或冲突；其次才是“情境”，即数学知识产生或应用的环境。3、问题情境创设应注意的几个问题（1）问题情境应具有“数学味”

二次根式；买白糖：小王与小李总是一起去买白糖。小李每次总是买一元钱的白糖，小王每次总是买一斤白糖。假设白糖价格经常变动。问哪种买白糖更合算？（2）问题情境应具有“关联性”为情境而情境的“标签”和“包装”不可取；“三句不离本行”的数学眼光。（3）问题情境应具有“引领性”

敲门砖；激发、推动、维持、强化和调整。

（4）问题情境应具有“真实性”“独立事件同时发生的概率”：“三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮吗”。（5）情境中问题的难易应适当最近发展区理论（七）主体性数学教学思想1、谁是教学的主体？教与学关系的认识学生是主体，教师是主导2、主体性的三层含义主动性，自主性，创造性3、数学教学的“二十四”字方针精力内容，大作功夫；少占多让，少扶多放；绝对主动，相对自主。（八）生成性数学教学思想1、生成性教学的内涵（1）什么是“生成”所谓“生”，指产生、出生；所谓“成”，为形成之“成”和成果之“成”；产生→生长→形成→成果（2）什么是生成性教学教的意义上：静态预设，动态生成学的意义上：被动接受，自主生成生成性教学是对“预设性”的补充和修正；生成性教学是对“接受性”的批判和超越。2、从教的意义上解读生成（1）教学系统的复杂性“人—人”双向系统（2）动态生成资源引发教学目的、策略、方法等的生成性（3）弹性预设的重要性以解题为例，形成弹性化方案（4）动态生成教学的特点动态生成资源：生长点或脚手架动态生成资源：持续生成与利用静态预设资源：参照和索引3、从学的意义上解读生成（1）知识意义的生成过程①创造知识生成的“沃土”：夯实知识基础，盘活已有经验，激发学生思维，调动