第三章第六节边际与弹性

第六节边际与弹性案例研究案例1哪家公司更精明：从杭州开往南京的长途车即将出发.无论哪个公司的车，票价均为75元.1个匆匆赶来的乘客见一家国营公司的车上尚有空位，要求以50元上车，被拒绝了.他又找到一家也有空位的私人公司的车，售票员二话没说，收了50元允许他上车了.哪家公司的行为更理性呢？分析边际分析法.“边际”——“增加的”“边际量”——“增量”自变量的增量为1单位时，因变量的增量就是边际量.例：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)的增量为2个单位，这因变量改变的2个单位就是边际产量.边际分析法就是分析自变量变动1单位时，因变量会变动多少的方法.在本案例中，当我们考虑是否让这名乘客以50元的票价上车时，实际上我们应该考虑的是边际成本和边际收益这两个概念.边际成本是增加1名乘客(自变量)所增加的成本(因变量).在我们这个例子中，增加这1名乘客，所需磨损的汽车、汽油费、工作人员工资和过路费等都无需增加，对汽车来说多拉1个人少拉1个人都一样，所增加的成本仅仅是发给这个乘客的食物和饮料，假设这些东西值10元，边际成本也就是10元.边际收益是增加1名乘客(自变量)所增加的收益(因变量).在这个例子中，增加这一名乘客增加收益50元，边际收益就是50元.因为边际收益大于边际成本，所以让这名乘客上车是合适的.案例2哪种产品对价格更有弹性：在日常生活中，我们发现生活必需品和奢侈品对价格变化的灵敏度是不同的.生活必需品因为是日常所需的，即使价格上升需求量也不会减少多少.例如，你一顿吃1个馒头，过去2角钱你吃1个，后来3角钱你吃1个，现在4角钱你还是吃1个；相反，如果馒头从4角下降到2角，你也不会一顿从吃1个增加到吃两个.看病也一样，当看病的医疗、检测、药品等价格上升时，尽管人们会比平时减少一些看病，但不会大幅度地减少看病的次数.但水果则不同，不是必需品，便宜的时候可以多吃，随着季节的变化，价格上升了也可以适当少吃一点，因此水果是对价格的变化比较敏感的东西.商品对价格的灵敏度叫做该商品的弹性.因此，水果比馒头对价格更有弹性.抽象归纳边际分析问：怎样用数学方法来描述边际呢？分析

设函数

可导.根据导数的定义，有因此，当

很小时，有

于是特别地，当

时，有

这就是说，当自变量增加1单位时，函数的增量近似地等于其导数值.定义

我们把函数的导数

称为边际

函数.例

函数

在点

处的边际函数值为它表示当

时，

x改变1个单位，y改变12个单位．

1．边际成本总成本函数

（x为产量）的导数

称为产量为x单位时的边际成本．

边际成本

表示当产量为x时，再生产1个单

位产品时总成本将改变

个单位．

2．边际需求需求函数

（p为价格）的导数

称

为价格为p单位时的边际需求．边际需求

表示当价格为p时，价格再上涨1

个单位,需求量将改变

个单位．

3．边际收益总收益函数

（x为产量）的导数

称为产量为x单位时的边际收益．边际收益

表示当产量为x时，再生产1个单

位产品，总收益将改变

个单位．

4．边际利润总利润函数

（x为产量）的导数

称

为产量为x单位时的边际利润．边际利润

表示当产量为x时，再生产1个单位

产品，总利润将改变

单位．

例1

某公司某产品的总利润Ｌ（元）与日产量x(吨)

的关系为

试求日产量分别为20吨、

25吨及30吨时的边际利润．解

因为

所以，所求边际利润为分别为

（元／吨），（元／吨），（元／吨）.例2

设生产某种产品的总成本为总收益为

试求：

（1）边际成本、边际收益和边际利润.（2）当产量为600及700个单位时的边际利润,并

说明其经济意义.

（3）当边际成本与边际收益具有何种关系时，利润

最大？

解

（1）（2）

思考：它们的经济意义是什么？（3）令

这时，有即当边际成本等于边际收益时利润最大.问：本例说明了什么问题？结论

当边际收益大于边际成本时，应该

增加

行动；

当边际收益小于边际成本时，应该

减少

行动；当边际成

本

等于

边际收益时，利润达到最大.即

最大化原则.函数的弹性问：怎样用数学方法来描述弹性呢？分析

绝对变化率

问：用绝对变化率能否描述商品对价格的灵敏度的？例

商品A的单价为10元，涨价1元；商品B的

单价为1000元，也涨价1元.虽然两种商品的单价的绝对改变量相同，但是两种商品涨价的百分比相差很大.商品A为

商品B为

A是B的100倍.因此，弹性必须用相对变化率来描述.定义

设函数可导，函数

在点x处的

增量为

自变量的增量为

则比

值

分别称为在点x处函数y的相对改变量及自变量x的相对改变量.两个相对改变量之

比的极限表示在点x处函数y的相对变化率，称为函数

在点x处的弹性，记作

即

弹性可解释为：当自变量变化1%时，函数变化的百

分数为注意

弹性研究的是相对变化率．因此，弹性没有单位．例3

求函数的弹性及解因为所以1．成本弹性思考设总成本函数为（x为产量），则成本弹性为它表示在产量为x的水平上，当产量增加1%时，总成本Ｃ变化的百分数．2．需求弹性设需求函数为（p为价格），则需求弹性为它表示在价格为p的水平上，当价格改变1%时，需求量Ｑ变化的百分数．⑵=1，则称该商品的需求具有单位弹性，⑶＜1，则称该商品的需求缺乏弹性.⑴＞1，则称该商品的需求富有弹性，若函数为需求函数，则需求弹性为若商品的需求弹性满足：3．收益弹性思考设总收益函数为（x为产量），则收益弹性为它表示在产量为x的水平上，当产量增加1%时，总收益R变化的百分数．例4某商品的需求函数为求⑴需求价格弹性函数，⑵当=5时的需求价格弹性并说明其经济意义，⑶当=10时的需求价格弹性并说明其经济意义，⑷当=15时的需求价格弹性并说明其经济意义.解

⑴按弹性定义：由于＜1，所以当时，该商品的需求缺乏弹性，此时价格上涨1%，需求量下降%.

⑶由于所以当该商品具有单位弹性，此时价格上涨1%，将引起需求量下降1%.

⑷

由于所以当