高中数学人教A版3第一章计数原理单元测试 全市获奖

1.2排列与组合第二课时条件排列一、课前准备1．课时目标(1)会处理一些常见的条件排列问题；(2)能解决排列与计数原理综合应用问题.2．基础预探常见的条件排列问题有如下几种：相邻问题用_________，不相邻问题用_________;特殊元素应该__________;正面不好处理应该用__________;问题出现的有几类应该用________。二、学习引领1.捆绑法、插空法如果要解决的问题中有特殊元素必须相邻，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列；如果有特殊元素必须不相邻问题，一般用“插空法”，先将不能相邻元素以外的普通元素的全排列，然后在普通元素之间的空隙及两端插入不能相邻元素.2.元素或位置优先法如果要解决的问题中，有特殊要求的位置（或者元素），则优先按照此元素（或位置）的要求安排好，再处理剩余的一般元素。3.排除法如果要解决的问题从正面解决情况太多，运算复杂，计算繁琐，而反面的情况较少，容易处理，则常用排除法解决。处理的步骤为：首先不考虑附加条件，先列出所有元素的全排列，再从中减去不满足特殊元素要求的排列数。此法也常用于解决部分几何问题。4.分类讨论法如果要解决的问题有很多类情况，直接解决比较困难时，可考虑将问题分为几类，从而化为比较简单的几类的解决，最后结合分类计数原理求得总的解决方法。三、典例导析题型一捆绑法与插空法例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，探究下列情形各有多少种不同的排法？（1）男、女生分别排在一起；（2）男女相间；思路导析：由题意易知（1）问中需要男女生先捆绑后，再排列；（2）需将男生排列后，再将女生插入形成的空隙中。解：（1）先将男、女生分别捆绑共有种，再将这两个大元素排列共有种.（2）先排4名男生有种方法，再将5名女生插入形成的5个空中，有种方法，故共有＝2880种.规律总结：插空法、捆绑法是解决必须相邻和必须不相邻的常用方法，处理的过程简记为：元素要相邻，看成一整体；元素不相邻，见缝插进去.变式训练（1）某摄影爱好者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种题型二：元素或位置优先法与分类讨论法例2用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个无重复数字的四位偶数？思路分析：要得到4位无重复数字的偶数，需要按照个位分三类：末位为0、2、4；末位为2、4、时，还要注意首位不能为0.解：符合条件的四位偶数可以分为三类：第一类：0在个位时有个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有种.十位和百位从余下的数字中选，有种，于是共有个.第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个.由分类加法计数原理知，共有四位偶数的个数为＋＋＝156个.规律总结：不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，其常见的附加条件有：奇偶数、位数关系、大小关系等，也可以有相邻问题、插空问题，也可以与数列等知识相联系等，解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决.这类问题的隐含条件“0不能在首位”不能疏忽.变式训练（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）能组成多少个无重复数字能被5整除的五位数？（2）能组成多少个比1325大的四位数？题型三：排除法例3肖林家有八只荷兰猪，肖林同学把它们排成一列，其中甲、乙、丙三只荷兰猪中有两只相邻但这三只荷兰猪不同时相邻的排列法有多少种？思路导析：先不考虑荷兰猪需要满足的限制条件全排列，然后去掉其中不满足题意的排列。解：方法一：甲、乙、丙三只小猪中有两只相邻但这三只不同时相邻的反面有两种情形：甲、乙、丙三只荷兰猪互不相邻，甲、乙、丙三只荷兰猪不分开.而甲、乙、丙三只荷兰猪互不相邻可用插空法有种排法；甲、乙、丙三只荷兰猪不分开可用捆绑法，将甲、乙、丙三只荷兰猪捆绑后与其余5只全排列，共有种排法.最后从8只荷兰猪的全排列中除去上述两种情形的排列数，即可得不同的排列有：种排法.方法二：先将除甲、乙、丙外5只荷兰猪排列有种排法，再从甲、乙、丙3只荷兰猪中选2只荷兰猪排列后捆绑，与剩余的一只荷兰猪在5只小猪形成的6个空中排列，因此共有不同排法为种.方法规律：解决比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题时，可从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时可化难为易，化隐为显，从而将问题解决，体现了“正难则反“的解题策略.变式训练（3）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A．300种 B．240种 C．144种 D．96种题型四：排列常见方法的综合应用问题例4八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法?思路导析：本题解决时可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法’’和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法’’两类情况；在每类情况下，划分“乙、丙坐下’’，“甲坐下”三步；综合应用排列和分类分步计数原理即可解决。解:第一类：乙、丙坐在前排有种坐法，甲也坐在前排有种坐法；其余5人可坐其余五个座位中的任何一个，有种坐法．由分步乘法计数原理，有种不同的坐法：第二类：乙、丙坐在后排有种坐法，甲坐在前排有种坐法，其余5人可坐其余5个座位中的任何一个有种坐法，由分步乘法计数原理，有种不同的坐法．由分类加法计数原理，适合题意的坐法有：+=8640(种)．规律总结：排列的综合应用问题，应首先根据题意分为几类或者几步，然后根据排列的知识解决。变式训练（4）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有多少个.（用数字作答）四、随堂练习1．七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是（）A．1440B．3600C．4820D．48002.三对夫妇去寿光蔬菜博览会参观，在最大南瓜前拍照留念，6人排成一排，每对夫妇必须相邻，不同的排法种数为()A.6 B.24 C.48 D.723.用1，2，3，4，5组成的各位数字不重复且大于的四位数共有（）个.A.64 B.24 C.48 D.724.有三面不同的旗帜,取一面或多面纵列为信号,当三面全部挂出时,红色的必须悬挂在最上端,共能组成()种信号.A.11 B.12 C.48 D.205.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是。（用数字作答）6.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？五、课后作业1.六人排成一排，其中甲必须在乙左边的不同排法有（）A222种B118种C216种D360种2.某人射击8次，命中4次，并且恰好有3次命中排在一起，则不同的结果有（）A20种B240种C480种D720种3.为配制某种染色剂,需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂,其中有机染料的添加顺序不能相邻.现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响,总共要进行的试验次数为_______种.(用数字回答)4.将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有____________5.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须放在一起,并且水彩画不放在两端,不同的陈列种数有多少种?.6.国际红十字会为了支援灾区，加紧从非受灾地区紧急调运生活及医药用品.某铁路货运站对6列货运列车进行调度，要求装载药品的甲车不能先行，装载食品的乙车不能最后出发，问这6辆车一共有多少种不同的发车次序？答案与详解:1.2排列与组合第二课时条件排列一、课前准备2．基础预探捆绑法插空法元素或位置优先法排除法分类讨论法三、典例导析变式训练（1）B解析：5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作成“1个人”插入其中，其中适合题意的空有4个，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B.变式训练（2）解：（1）五位数中5的倍数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个；个位数上的数字是5的五位数有个.故满足条件的五位数的个数共有＋＝216个.（2）比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□,5□□□，共个；第二类：形如14□□,15□□，共有个；第三类：形如134□,135□，共有个.由分类加法计数原理知，比1325大的四位数共有：＋＋＝270个.变式训练（3）B解析：若直接求解，则“6人中甲、乙两人不去巴黎游览”要分为“甲、乙没有被选中、被选中一人但是去其它三个城市游览、被选中2人但是去其它三个城市游览”三类来考虑，显然较为复杂.若间接求解，则只须将总数中减去甲、乙中有1人去巴黎游览的方案种数，即不同的选择方案共有－＝240种.变式训练（4）解：组成这样的八位数可以分成三步：第一步是把1与2、3与4、5与6捆绑看作三个整体排成一列，共有种排法；第二步是把7与8插入第一步中的三个整体之间，共有种排法；第三步是第一步当中的1与2、3与4、5与6之间的位置可以交换，共有种排法.所以组成这样的八位数共有个.四、随堂练习1．B解析：先排除甲、乙以外的5人有种排法，然后再将甲、乙两人安排进去，有种排法，因此一共有种不同的排法.2.C解析：将每对夫妇看作一个整体，再排列则有种排法求法，故选C.3.C解析：当最高位数为4，5时，都大于，否则，都小于，于是，共有4.A解：分三类:第一类挂一面旗帜,有3种不同的挂法;第二类挂两面旗帜,有种不同的挂法;第三类挂三面旗帜,第一面已确定,有种不同的挂法.共有3+6+2=11种不同的挂法.5.20解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有＝20种不同排法。6.解析：方法一：从特殊位置——第二个节目考虑.先排第二个节目有种方法，再排其余节目有种方法，所以共有种不同的排法.方法二：（从特殊元素——某女演员考虑）若从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单时某女演员的独唱节目入选有种不同的排法；否则有种不同的排法，所以共有种；方法三：（间接法）五、课后作业1.D解析：由于甲在乙左边与甲在乙右边个数相等，都是种.2.A解析：将3次和1次命中看成2个元素插入四次未命中的空中，有种.3.1440解析:先排无机染料和添加剂有