平面任意力系的平衡条件和平衡方程

平面任意力系的平衡条件和平衡方程2023/2/51第一页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分条件

二、关于平面任意力系的例题

三、平面任意力系平衡方程的其他形式

四、平面平行力系

第二页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分条件第三页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

1．平面任意力系的充分条件现在讨论静力学中最重要的情形，即平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形

（3-6）第四页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程显然，主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。因此，式（3-6）为平面任意力系的充分条件。第五页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

2．平面任意力系平衡的必要条件由上一节分析结果可见：若主矢和主矩有一个不等于零，则力系应简化为合力或合力偶；若主矢与主矩都不等于零时，可进一步简化为一个合力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，因此，式（3-6）又是平面任意力系平衡的必要条件。第六页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

3．平面任意力系平衡的必要和充分条件于是，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。这些平衡条件可用解析式表示。第七页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程将式（3-2）和（3-3）代入式（3-6），可得（3-7）

第八页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

结论:

平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。式（3-7）称为平面任意力系的平衡方程

（为便于书写，下标i

可略去）。第九页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程二、关于平面任意力系的例题第十页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程例3-2

起重机P1=10kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上挂一重为P2=40kN的重物，如图3-6所示。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其他尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴承B处的约束力。第十一页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-6第十二页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：（1）以起重机为研究对象以起重机为研究对象，它所受的主动力有P1和P2。由于对称性，约束力和主动力都位于同一平面内。止推轴承A处有两个约束力FAx

，FAy

，轴承B处只有一个与转动轴垂直的约束力FB

，约束力方向如图3-6所示。第十三页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）列平衡方程取坐标系如图3-6所示，列平面任意力系的平衡方程，即第十四页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）求解方程求解以上方程，得

FB为负值，说明它的方向与假设的方向相反，即应指向左。第十五页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程例3-3

图3-7所示的水平梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。梁的长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Pa。试求A和B处的支座约束力。第十六页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-7第十七页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：（1）选梁AB为研究对象梁AB所受的主动力有：均布载荷q，重力P和矩为M的力偶。梁AB所受的约束力有：铰链A的两个分力Fax和FAy

，滚动支座B处铅直向上的约束力FB。第十八页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）列平衡方程取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：第十九页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）解方程解上述方程，得第二十页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程例3-4

自重为P=100kN的T字型刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图3-8a所示。其中

M=20kN·m

，F=400kN

，q=20kN/m

，

l=1m

。试求固定端A的约束力。第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-8a第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：（1）取T

字形钢架ABD

为研究对象钢架ABD上除主动力外，还受有固定端

A处的约束力FAx

，Fay和约束力偶MA

。线性分布载荷可视为一组平行力系，将其简化为一个集中力F1

，其大小为

第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

其作用线可利用合力矩定理确定：第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程式中，h是点A到集中力F1的距离，由上式求得h=l，即集中力作用于三角形分布载荷的几何中心。刚架受力图如图3-8b所示。第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-8b第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）按图示坐标列平衡方程第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）解方程解方程，求得负号说明图中所设方向与实际情况相反，即

MA为顺时针转向。第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解题技巧：

（1）从上述例题可见，选取适当的坐标轴和力矩中心，可以减少每个平衡方程中的未知数的数目。

（2）在平面任意力系情形下，矩心应取在多个未知力的交点上，而坐标轴应当与尽可能多的未知力相垂直。第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程三、平面任意力系平衡方程的其他形式第三十页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程在例3-3中，若以方程取代方程可以不解联立方程直接求得Fay值。因此在计算某些问题时，采用力矩方程往往比投影方程简便。下面介绍平面任意力系平衡方程的其他两种形式。第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

1．二矩式平衡方程

（1）三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程，即（3-8）第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程其中x轴不垂直于A，B两点的连线。

（2）为什么上述形式的平衡方程也能满足力系平衡的必要和充分条件呢？

a．这是因为，如果力系对点A的主矩等于零，则这个力系不可能简化为一个力偶；但可能有两种情形：这个力系或者是简化为经过点A的一个力，或者平衡。第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

b．如果力系对另一点B的主矩也同时为零，则这个力系或一合力沿A，B两点的连线，或者平衡（图3-9）。

c．如果再加上，那么力系如有合力，则此合力必与x轴垂直。第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-9第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程式（3-8）的附加条件（x轴不得垂直于连线AB）完全排除了力系简化为一个合力的可能性，故所研究的力系必为平衡力系。第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

2．三矩式平衡方程

（1）同理，也可写出三个力矩式的平衡方程，即，，

（3-9）其中A，B，C三点不得共线。第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

（2）为什么必须有

“A，B，C三点不得共线”这个附加条件？同学们可自行证明。第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

3．根据具体条件选择三组平衡方程

（1）上述三组方程（3-7）、（3-8）、（3-9），究竟选用哪一组方程，须根据具体条件确定。

（2）对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

（3）任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们可以利用这个方程来校核计算的结果