第三章 流体动力学基础

第三章流体动力学基础

(FundamentalofFluidDynamics)流体力学基本方程

连续性方程

动量方程动量矩方程伯努利方程能量方程工程流体力学第一节流体运动的描述方法3.1.1Euler法（欧拉法）

基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。所谓空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。流体质点和空间点是两个完全不同的概念。

独立变量：空间点坐标，，流体质点运动的加速度：质点全导数：迁移加速度当地加速度质点加速度：——定常流动；——均匀流动迁移导数当地导数全导数密度的质点导数

压强的质点导数

3.1.2Lagrange法（拉格朗日法）

基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志质点物理量：流体质点的位置坐标：速度：流体质点的加速度：优缺点：√直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程

×数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用

第二节流动的类型

按照流体性质划分：可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动；牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动；磁性流体的流动和非磁性流体的流动；

按照流动特征区分：有旋流动和无旋流动；层流流动和紊流流动；定常流动和非定常流动；超声速流动和亚声速流动；按照流动空间区分：内部流动和外部流动；一维流动、二维流动和三维流动；1.定常流动、非定常流动（steadyandunsteadyflow)非定常流动：定常流动：流动是否定常与所选取的参考坐标系有关。

2.一维流动、二维流动和三维流动一维流动：流动参数是一个坐标的函数；二维流动：流动参数是两个坐标的函数；三维流动：流动参数是三个坐标的函数。对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动简化为二维、甚至一维流动，可以使得求解过程尽可能简化。二维流动→一维流动三维流动→二维流动迹线

——流体质点的运动轨迹线。属拉格朗日法的研究内容。

给定速度场，流体质点经过时间移动了距离，该质点的迹线微分方程为起始时刻时质点的坐标，积分得该质点的迹线方程。第三节流体动力学的基本概念

1.迹线和流线流线

——速度场的矢量线。任一时刻t，曲线上每一点处的切向量都与该点的速度向量相切。流线微分方程：流线的几个性质：

在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在不停地变化的。流线不能彼此相交和折转，只能平滑过渡。流线密集的地方流体流动的速度大，流线稀疏的地方流动速度小。迹线和流线的差别：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应；流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应。流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线组成的管状表面。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。流束——充满流管的一束流体。微元流束——截面积无穷小的流束。

微元流束的极限是流线。微元流束和流线的差别：流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等等；流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。

总流——截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。2.流管和流束3.缓变流和急变流缓变流——流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行直线的流动。否则即为急变流。流体在直管道内的流动为缓变流，在管道截面积变化剧烈、流动方向发生改变的地方，如突扩管、突缩管、弯管、阀门等处的流动为急变流。4.有效截面流量平均流速有效截面——在流束或者总流中，与所有流线都垂直的截面。流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。体积流量（）：质量流量（）：平均流速——体积流量与有效截面积之比值。一般地不加下标a，直接用v表示。5.湿周水力半径当量直径

湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。圆形截面管道的几何直径非圆形截面管道的当量直径矩形管道环形截面管道管束第四节

系统控制体输运公式

1.系统（system）——由确定的流体质点组成的流体团或流体体积V(t)。系统边界面S(t)在流体的运动过程中不断发生变化。

2.控制体(controlvolume)——相对于坐标系固定不变的空间体积V。是为了研究问题方便而取定的。边界面S称为控制面。

SystemControlVolumeControlSurface3.输运公式

系统和控制体系统：边界用虚线表示；控制体：边界用实线表示。左边(a)图对应着t时刻；右边(b)图对应t＋δt时刻。N为系统在t时刻所具有的某种物理量（如质量、动量和能量等）的总量;η表示单位质量流体所具有的该种物理量。t时刻流体系统所具有的某种物理量N对时间的变化率为V：系统在t时刻的体积；V’：系统在t＋δt时刻的体积。即时，有。如果用CV表示控制体的体积，则有CS2为控制体表面上的出流面积；CS1为流入控制体表面的入流面积。整个控制体的面积输运公式

或者输运公式的具体含义：任一瞬时系统内物理量N（如质量、动量和能量等）随时间的变化率等于该瞬时其控制体内物理量的变化率与通过控制体表面的净通量之和。对于定常流动：当地导数项迁移导数项流场的非稳定性引起流场的非均匀性引起或者第五节连续性方程

输运公式为

由质量守恒定律：积分形式的连续性方程：方程含义：单位时间内控制体内流体质量的增量，等于通过控制体表面的质量的净通量。

定常流动的积分形式的连续性方程：应用于定常管流时：A1，A2为管道上的任意两个截面截面A1上的质量流量截面A2上的质量流量和分别表示两个截面上的平均流速，并将截面取为有效截面：

对于不可压缩流体：一维定常流动积分形式的连续性方程

方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流体的质量流量等于常数。

方程表明：对于不可压缩流体的定常一维流动，在任意有效截面上体积流量等于常数。在同一总流上，流通截面积大的截面上流速小，在流通截面积小截面上流速大。3.6动量方程和动量矩方程

1.动量方程——用于工程实际中求解流体与固体之间的作用力和力矩对上式应用质点系的动量定理：作用于流体系统上的所有外力之和等于系统内流体动量的变化率。输运公式为

η表示单位质量流体具有的动量;

N

为系统内的流体具有的动量。积分形式的动量方程：质量力表面力定常流动时：应用于定常管流时，可以对方程进行简化。为作用于控制体上的质量力和表面力之和。方程表明：在定常管流中，作用于管流控制体上的所有外力之和等于单位时间内管子流出断面上流出的动量和流入断面上流入的动量之差。用动量修正系数来修正实际流速和平均流速计算的动量通量的差别:

通常情况下，应用定常管流的动量方程求解时，需要注意以下问题：动量方程是一个矢量方程，每一个量均具有方向性，必须根据建立的坐标系判断各个量在坐标系中的正负号。

根据问题的要求正确地选择控制体，选择的控制体必须包含对所求作用力有影响的全部流体。方程左端的作用力项包括作用于控制体内流体上的所有外力，但不包括惯性力。方程只涉及到两个流入、流出截面上的流动参数，而不必顾及控制体内是否有间断面存在。

定常管流投影形式的动量方程：例水在直径为10cm的60°水平弯管中以5m/s流速流动，弯管前后端压强为0.1at，如不计损失，亦不考虑重力作用，求水流对弯管的作用力。P1P260°α1122xyR壁-水解：1）取控制体，进口、出口及管壁组成1122；P1P260°α1122xyR壁-水2）选择坐标系，如图x轴与弯管进口前管道轴线一致；由于不考虑重力，∴管壁→水作用力为假设与x轴成角；另：方向沿x轴正方向（已知）方向垂直于断面22，且指向控制体内（未知）。P1P260°α1122xyR壁-水由动量方程：P1P260°α1122xyR壁-水（未知数，,两个方程）则2.动量矩方程输运公式为

η表示单位质量流体的动量矩;

N为整个系统内流体的动量矩。对上式应用质点系的动量矩定理：流体系统内流体动量矩的时间变化率等于作用在系统上的所有外力矩的矢量和。积分形式的动量矩方程：定常流动时：方程表明：在定常流动时，通过控制体表面流体动量矩的净通量等于作用于控制体的所有外力矩的矢量和。3.

叶轮机械的基本方程动量矩方程可以表示为：

所有外力矩的矢量和离心泵叶轮内的流动取图中虚线包容的体积为控制体：（绝对速度）

（相对速度）（牵连速度）

（法向分速度）（切向分速度）

为转轴传给叶轮的力矩。力矩:功率:涡轮机械的基本方程:单位重量流体获得的能量第七节能量方程——用于工程实际中求解涉及到流体自身能量形式转换以及与外界有热交换的流动问题能量守恒定律：流体系统中能量随时间的变化率等于作用于控制体上的表面力、系统内流体受到的质量力对系统内流体所作的功和外界与系统交换的热量之和。η表示单位质量流体具有的能量;N

为系统内流体具有的总能量。输运公式为

能量守恒定律质量力功率表面力功率外界与系统单位时间交换的热量一般形式的能量方程：重力场中绝热流动积分形式的能量方程：

将表面力分解为垂直于表面的法向应力和相切于表面的切应力

为流体的静压强;

为微元面积上外法线方向的单位矢量。对于管道内的一维流动：第八节伯努利方程及其应用

定常流动时：重力场中一维定常绝热流动积分形式的能量方程：

动量方程：动量变化

合力。伯努利方程：速度分布压力分布。理想不可压缩的重力流体作一维定常流动的能量方程以微元流管作为控制体

定常流动管流的体积流量为常数

或常数1.伯努利方程对于气体的一维定常绝能流动：为单位质量气体的焓;为单位质量气体的滞止焓。对于不可压缩的理想流体，在与外界无热交换的情况下，流动过程中流体的热力学能将不发生变化，所以：常数或者伯努利方程，1738年方程的适用条件：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时的一条流线或者一个微元流管上。方程的物理意义：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时，在同一流线的不同点上或者同一微元流束的不同截面上，单位重量流体的动能、位置势能和压强势能之和等于常数。方程的几何意义：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时，沿任意流线或者微元流束，单位重量流体的速度水头、位置水头、压强水头之和为常数，即总水头线为平行于基准面的水平线。伯努利方程（速度水头）（压强水头）（位置水头）（总水头）对于平面流场：常数方程表明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高的点上压强低，流速低的点上压强高。2.伯努利方程在工程中的应用2.1皮托管——测量流速

沿流线B–A列伯努利方程：测压管皮托管驻点，测总压测静压总压和静压之差称为动压。

法国人皮托，1773年动压管工程实际中常将静压管和皮托管组合在一起，称为皮托－静压管或者动压管。原理：测量时将静压孔和总压孔感受到的压强分别和差压计的两个入口相连，在差压计上可以读出总压和静压之差，从而求得被测点的流速。2.2文杜里流量计——测量管道中的流量

结构：收缩段＋喉部＋扩张段测量原理：测量截面1和喉部截面2处的静压强差，根据测得的压强差和已知的管子截面积，应用伯努里方程和连续性方程，就可以求得流量。连续性方程：伯努利方程：联立求解：b---修正系数，实验标定。

修正流量：实际测量多用此式第九节流线法线方向速度和压强的变化——了解过流断面上流动参数的分布情况流线BB’上的M点处取一柱形的流体微团，其在流线方向上的运动速度为。根据牛顿第二定律：在弯管的过流断面上，流动速度在弯管的内侧速度大，外侧流动速度小；在弯管的有效截面上内侧压强小，外侧压强大。

对于水平面内的流动或者重力势能的变化可以忽略不计的流动：对于伯努里积分常数在所有流线上取同一数值的情况，有：联立两式，得积分后，有C为沿流线法线方向的积分常数。流体的流动速度和流线的曲率半径有关，半径增大流动速度减小，半径减小，流动速度增大。在流线法线方向上随着曲率半径的增大压强增大，半径减小，压强减小。对于直线流动，：沿流线的法线方向压强分布服从流体静力学基本方程。对于缓变流的有效截面，其压强分布亦近似满足。

对于平面内的直线流动或者可以忽略重力势能影响的直线流动：

第九节实际总流伯努利方程设有一不可压缩恒定流动，在总流各自处于渐变流的流断上，任意选取两个过流断面。单位重量元流伯努利方程方程两端同乘以元流重量流量γdQz1z2在整个过流断面进行积分：上述积分可分为三个部分：1）∵渐变流过流断面服从液体静压强分布规律∴z1z22）令动能修正系数z1z2上式截面的平均流速

动能修正系数a是由于截面上速度分布不均匀而引起的，a是个大于1的数，有效截面上的流速越均匀，a值越趋近于1。在实际工业中，通常都近似地取a=1.0。以后如不加特别说明，都假定a=1，并以v代表平均流速。而对于圆管层流流动a=2。3）令单位重量流体流过1、2断面平均能量损失为则综上可得-----不可压缩恒定总流伯努利方程讨论：（1）恒定不可压缩。（2）选在渐变流。（3）功率输入H输入（如泵)（4）有分流或合流仍然适用功率输出H输出（如汽轮机）H输入H输出（4）有分流或合流仍然适用思考题:

问题1.拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？

参考答案：靠拢；流速增大、压强降低问题2：两船并行相撞的解释：两船间流线密、流速高、压力低。注：能量方程的解题步骤

三选一列

1选择基准面：基准面可任意选定,但应以简化计算为原则。例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。2选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面.

3选择计算点：管流通常选在管轴上,明渠流通常选