第十五章 定量分析：风险决策

第十五章定量分析：风险决策主要内容·第一节成本-收益分析·第二节期望损益决策模型·第三节期望效用决策模型·第四节马尔科夫风险决策模型·第五节随机模拟

确定型决策不确定型决策竞争性决策风险型决策：决策者根据几种不同的自然状态可能发生的概率进行的决策。决策者所选择的行动方案决策者所无法控制（或无法完全控制）的客观因素

存在决策者希望达到的一个（或多个）明确的决策目标存在决策者可以主动选择的两个以上的行动方案不以（或不全以）决策者的主观意志为转移的两种以上自然状态不同行动方案在不同自然状态下的损益值可以预先确定各种自然状态出现的概率，可根据有关资料预先计算或估计出来一、成本－收益分析

损失控制措施的增加以增加的（边际）成本大于增加的（边际）收益为限。例1：注：事故的平均损失程度＝$2万，总雇员人数＝5000。二、期望损益决策模型

以每种方案的期望损益作为决策依据，选择期望损失最小或期望收益最大的措施。例2：某栋建筑物面临火灾风险，有3种风险管理措施可供选择，各方案的实施结果如表2-1。为简便起见，每种方案只考虑两种可能后果：不发生损失或全损。表2-1不同方案下的火灾损失表(单位：元)间接损失：如信贷成本的上升。如果购买保险，这种损失就可以避免了。损失概率未知：1，最大损失最小化原则Min{方案1，方案2，方案3}＝Min{105000，107000，3000}＝3000投保为最佳方案2，最小损失最小化原则Min{方案1，方案2，方案3}＝Min{0，2000，3000}＝0自留风险且不安装安全措施为最佳方案损失概率已知：期望损失最小化已知：不采取安全措施时发生全损的概率：2.5%，采取安全措施后发生全损的概率：1%。方案(1)的期望损失：105000×2.5%＋0×97.5%＝2625(元)方案(2)的期望损失：107000×1%＋2000×99%＝3050(元)方案(3)的期望损失：3000×2.5%＋3000×97.5%＝3000(元)Min{2625，3050，3000}＝2625方案(1)为最佳方案考虑忧虑成本的影响忧虑成本的确定：损失的概率分布对未来的把握程度风险态度12表2-2含忧虑成本的火灾损失表(单位：元)损失概率已知：期望损失最小化已知：不采取安全措施时发生全损的概率：2.5%，采取安全措施后发生全损的概率：1%。方案(1)的期望损失：107500×2.5%＋2500×97.5%＝5125(元)方案(2)的期望损失：108500×1%＋3500×99%＝4550(元)方案(3)的期望损失：3000×2.5%＋3000×97.5%＝3000(元)Min{5125，4550，3000}＝3000方案(3)为最佳方案例3：某栋建筑物面临火灾风险，采取有无自动灭火装置措施下的损失及概率如表3。*概率(无)：无自动灭火装置时的损失概率概率(有)：有自动灭火装置时的损失概率另：未投保的直接损失为150000时的间接损失：6000元间接损失0.0000.00180002000000.0010.00240001000000.0090.0072000500000.040.040100001000000.200.75概率(有)0.200.75概率(无)0直接损失表3-1火灾损失分布(单位：元)可供选择的方案及相关费用：表3-2表4－1期望损失：1380元方案1：完全自留风险，不安装灭火装置表4－2期望损失：1581元方案2：完全自留风险，安装灭火装置。当建筑物的损失达到100000元时灭火装置一起损毁。费用：9000元，使用年限30年，年维护费400元。18表4－3期望损失：1760元方案3：购买保额为50000元的保险。费用：保费1500元。表4－4期望损失：1811元方案4：在方案(3)的基础上安装自动灭火装置。费用：9000元，使用年限30年，年维护费400元。保费1350元。表4－5期望损失：1900元方案5：购买带有1000元免赔额、保额200000元的保险。费用：保费1650元。表4－6期望损失：2000元方案6：购买保额200000元的保险。费用：保费2000元。表4－7不计忧虑成本时的期望损失最小：方案（1）计算忧虑成本时的期望损失最小：方案（5）三、期望效用模型

1，问题的提出

2，问题的解决：效用

最大期望效用原理：在具有风险和不确定条件下，个人的行为动机和准则是为了获得最大期望效用值，而不是为了获得最大期望金额值。•风险态度：风险中立、风险偏好、风险厌恶

图1效用曲线设一决策者在[a,b]上的效用函数u(x)，任何一点x，可看作是一个抽签的期望Jensen不等式设决策者是风险厌恶者，即u’(x)>0,u’’(x)<0,则对于随机变量x，有

E[u(x)]u(E[x])Arrow-Pratt指数设决策者的效用函数定义在[a,b]上，且二次可微，则衡量决策者风险态度的绝对风险指数：相对风险指数：例4：某人现有财产3万元。他面临两个选择的结果、概率以及该人对拥有不同财富的效用度的情况见表5-1和表5-2。3，期望效用模型的应用表5-1面临选择的结果和概率表5-2效用度期望损益模型的结果：方案A的期望收益：50000×20％＋0×80％＝10000元方案B的期望收益：10000×30％＋20000×20％＋0×50％＝7000元期望收益最大：方案A期望效用模型的结果：表5-1面临选择的结果和概率表5-2效用度方案A的期望效用收益：40×20％＋0×80％＝8方案B的期望效用收益：20×30％＋30×20％＋0×50％＝12期望效用收益最大：方案B例5：某建筑物面临火灾风险，有关损失的资料如表6－1。如果不购买保险，当较大的火灾发生后会导致信贷成本上升，这种由于未投保造成的间接损失与火灾造成的直接损失的关系如表6－2。表6－1表6－2风险管理者面临6种方案，如表6－3表6－3经调查，风险管理者对拥有或失去不同价值的财产的效用度如表6－4表6－4

单位：千元其他的效用度的计算：线性插值例如：损失额为52000，50000<52000<75000则相应的效用损失u(50000)<u(52000)<u(75000)即：6.25<u(52000)<12.5由得出：u(52000)＝6.75问题：根据期望效用模型，这个风险管理者会选择哪种方案？方案1：完全自留风险表7－1期望效用损失：0×0.75＋0.05×0.2＋0.4×0.04＋6.75×0.007＋30×0.002＋100×0.001＝0.233方案2：购买全额保险，保费2200元表7－2期望效用损失：0.105方案3：购买保额为5万元的保险，保费1500元表7－3期望效用损失：0.075×0.997＋7.125×0.002＋68.75×0.001＝0.158方案4：购买带有1000元免赔额、保额为20万元的保险，保费1650元表7－4期望效用损失：0.0825×0.75＋0.11625×0.25＝0.091方案5：自留5万元及以下的损失风险，将10万元和20万元的损失风险转移给保险人，保费600元表7－5期望效用损失：0.089方案6：自留1万元及以下的损失风险，将剩余风险转移，保费1300元表7－6期望效用损失：0.0918表7－7结果汇总期望效用损失最小：0.089因此，选择方案(5)，自留5万元及以下的损失风险，将10万元和20万元的损失风险转移给保险人，保费600元例6：一个投资者现有财产w＝10，他拥有财产的效用函数为u(x)＝x－0.02x2。他想用资金5来投资，设X表示投资的随机收益，X～。问这项投资对他是否有利？例7：一个投资者现有财产w＝1，他拥有财产的效用函数为u(x)＝。投资者要把他的财产投资到下面两个项目之一：(1)8年后，其财产可能变成X～(2)固定收益率，年利率i问当年利率i为何值时，投资者认为这两个项目收益相当？VonNeumann-Morgenstern理论：效用指数4，效用函数的获得四、马尔科夫风险决策模型

A.A.Markov基本概念马尔科夫模型马尔科夫链的稳定状态适用范围基本概念状态：在一系列的试验中，某系统出现可列个两两互斥的事件E1,E2,…,En,而且一次试验只出现其中的一个Ei(i=1,2,…,n),则每个Ei就称为状态。状态转移状态空间：I＝{1,2,…,n}

概率向量与概率矩阵：概率向量用来描述系统在处于某一步时状态空间中各状态出现的概率。概率矩阵：若A和B是概率矩阵，则A·B也是概率矩阵；若A为概率矩阵，则An也为概率矩阵转移概率和转移概率矩阵：n步转移概率:

n步转移概率矩阵:转移矩阵的性质:P(n)=P(n-1)P(1);P(n)=[P(1)]n

马尔科夫链：如果系统在状态转移过程中满足以下条件，则称此系统的状态转移过程为马尔科夫链：系统的状态空间不变系统的转移矩阵稳定系统的状态转移仅受前一状态的影响(无后效性)经过一段较长时期后，系统逐渐趋于稳定状态(系统处于各状态的概率保持不变),而与初始状态无关。2,马尔科夫模型设共有N个状态，系统的初始状态(n=0)已知，n步转移概率矩阵P(n)，经过n-1步转移后处于状态i的概率Si(n-1)则系统从初始状态起经过n步转移后处在状态j的概率为

(n=0,1,2,…;j=1,2,…,N)S(1)=S(0)P(1),…,S(n)=S(0)[P(1)]n3,马尔科夫链的稳定状态当系统处于稳定状态时，S(n)=S(n-1)，且怎样求稳定状态？系统在稳定状态时处于各状态的概率：4,马尔科夫模型的适用范围(1)多个周期或多个观察时刻(2)动态系统，即系统所可能达到的状态不止一个，而且不同状态之间可以转移(3)备选方案的实施影响到系统在不同状态间的转移概率(4)在不同状态实施不同的行动方案都伴随着经济利益的变化，或者赢得利益（报酬函数为正），或者招致损失及费用（报酬函数为负值）所需信息：系统所可能达到的全部不同状态系统处于每个状态i时可供选用的行动方案的全体根据长期观测资料得到的系统在不同状态之间的转移概率(一族条件概率)例R、S、T三家公司生产同一产品。R公司为了扩大市场，计划开展一个广告运动。现在要在两个广告方案中选择一个，R公司先在两个地区进行了试验。已知这两个地区该产品的市场占有率均为:R30％，S40％，T30％这两个地区用户的转移矩阵均为：假定地区1采用广告方案，地区2采用广告方案2，经过一段时间后，发现这两个地区用户的转移矩阵为：如果费用相同，稳定状态下，R公司应选用哪个广告方案？例3某建筑公司的施工队长期分布在甲、乙、丙三地。施工所需的大型建筑设备由公司同一调配，此大型建筑设备在三地的转移矩阵已知。若公司欲建设备修理厂，则应建在何处？

处于稳定状态后，此大型设备位于三地的概率为：五、随机模拟及应用

随机模拟简介随机数的产生模拟中的统计问题随机模拟案例随机模拟简介

(Simulation)

模拟是建立系统或决策问题的数学或逻辑模型，并以该模型进行试验，以获得对系统行为的认识或帮助解决决策问题的过程。什么时候用模拟1，在费用和时间上均难以对风险系统进行大量实测；2，由于实际风险系统的损失后果严重而不能进行实测；3，难以对复杂的风险系统构造精确的解析模型；4，用解析模型不易求解；5，为了对解析模型进行验证。模拟的类型：蒙特卡洛模拟:估计依若干概率输入变量而定的结果的概率分布。用于估计策略变动的风险和决策所涉风险(MonteCarloSimulation)系统模拟:明晰地建立随时间推移而出现的事件序列的模型(库存、排队、制造和物流处理问题)。随机模拟例1，某公司装置了一部新机器，对于修理所用的零件，需要决定准备几件。设备用零件的价格a，由于备用零件缺乏而使机器停工一次所致损失为b。一年中机器发生事故的次数：n1234>5P(n)0.040.010.0010.00020随机模拟例2，戴夫糖果公司购入价$7.50，售出价$12。2,14后未售出的任何一盒都打5折，且总是容易售出。过去每年的售出盒数介于40盒和90盒之间，没有明显的增加与减少趋势。问题：订购多少？利润表达式模拟模型的输入量：订购量Q(决策变量)变动收益和成本(常数)(节前销售)需求D(不可控和随机的)假设D～对Q＝60进行模拟：i)掷骰子ii)根据上表确定需求量Diii)由Q＝60，计算利润iv)记录利润；一次实验完成重复实验后，可建立利润的分布并评估风险系统模拟例曼特尔制造公司按适时准则供应各种汽车零部件给一些汽车装配厂。该公司现收到水泵的新合同。水泵的计划生产能力:每班100台。由于客户装配作业的波动性，需求也是波动的，以往的需求为每班80～130台。为了保持足够的库存以满足适时供应承诺的要求，公司管理层正考虑一项策略：当库存降至50台或更少时增开一班进行生产。在年度预算编制过程中，要确定究竟会增开多少班次。要模拟时间的推移；库存水平取决于先前的事件期末库存＝期初库存＋产量－需求量模拟过程：建立所研究的系统或问题的理论模型；设计实验方法；从一个或多个概率分布中重复生成随机数；分析结果2随机数的产生(1)均匀分布的随机数与伪随机数产生均匀分布的随机数是随机模拟的基础，基本思想：随机数：0和1之间均匀分布的数=RAND()要求：

统计特性好:随机数具有分布的均匀性，即所得数列的统计性质与从[0,1