《自动控制原理》 胡寿松 001-第05#2章 典型环节和开环系统频率特性

5.2典型环节和开环系统频率特性

开环系统的（各种）频率特性曲线是系统频域分析的依据，掌握典型环节的频率特性是绘制开环系统（各种）频率特性曲线的基础。在典型环节或开环系统的传递函数中，令s=j，即得到相应的频率特性。令由小到大取值，计算幅值、和相角，在复平面上和半对数坐标系中描点画图，就可以分别画出典型环节或开环系统的幅相特性曲线和对数频率特性曲线。1典型环节（1）最小相位环节比例环节微分环节积分环节一阶微分二阶微分惯性环节振荡环节G(s)=sG(s)=Ts+1（T>0）G(s)=1/sG(s)=K（K>0）G(s)=1/(Ts+1)（T>0）（2）非最小相位环节*比例环节一阶微分惯性环节二阶微分振荡环节G(s)=-Ts+1（T>0）G(s)=K（K<0）G(s)=1/(-Ts+1)（T>0）

最小相位系统：当系统的所有极点和零点的实部均为负值时，称为最小相位系统。

非最小相位系统：传递函数中至少有一个极点或零点的实部值为正值的一类线性定常系统。

在具有相同幅频特性的系统中，最小相位系统的相角变化范围为最小。最小相位和非最小相位之名即出于此。

最小相位系统的幅频特性和相频特性之间存在确定的对应关系。两个特性中，只要一个被规定，另一个也就可唯一确定。然而，对非最小相位系统，却不存在这种关系。非最小相位系统的过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。2典型环节的频率特性如图5-12所示的典型反馈控制系统，开环传递函数G(s)H(s)的一般表达式为如果将其分子、分母进行因式分解，则开环系统传递函数通常可分解为以下七种典型环节的串联形式：图5-12典型系统结构图－G(s)H(s)①比例环节②积分环节③微分环节④惯性环节⑤一阶微分⑥振荡环节⑦二阶微分G(s)=sG(s)=Ts+1（T>0）G(s)=1/sG(s)=K（K>0）G(s)=1/(Ts+1)（T>0）（1）比例环节①幅相频率特性曲线输入输出关系为，频率特性为：图5-13比例环节的幅相曲线0与频率ω无关。是实轴上的一个点，坐标为（k，j0）。db0020-20111010100100-/2图5-14比例环节的对数频率特性曲线20lgk②对数幅频特性③对数相频特性K>1时，分贝数为正；K<1时，分贝数为负。幅频曲线升高或降低相频曲线不变改变K（2）积分环节①幅相频率特性曲线输入输出关系为:传递函数和频率特性分别为:jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0一个负的纯虚矢量矢量的模随着ω的增大而减小¥o900从变化时，各矢量的角度均为－～＋w100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20dB/dec]90000-900相角为-900是一条直线，斜率-20dB/dec②对数频率特性曲线100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-202010090000-900相角为-900是一条直线，斜率-20dB/dec②对数频率特性曲线[-20dB/dec]100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-202010090000-900相角为-900是一条直线，斜率-20dB/dec②对数频率特性曲线[-20dB/dec]

积分环节对数幅频特性是一条斜率为-20dB/十倍频程的直线。

斜率：

即横坐标lg每增加单位长度（每增加十倍）时，L()减少20dB，故斜率是-20dB/十倍频程，记作-20dB/dec。相频特性

（3）微分环节输入输出关系为传递函数和频率特性分别为:①幅相频率特性曲线一个纯虚矢量矢量的模随着ω的增大而增大¥o900从变化时，各矢量的角度均恒为～＋wjIm[G(jω)]Re[G(jω)]01234100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[20dB/dec]90000-900相角为900是一条直线，斜率20dB/dec②对数频率特性曲线100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[20dB/dec]90000-900相角为900是一条直线，斜率20dB/dec②对数频率特性曲线100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[20dB/dec]90000-900相角为900是一条直线，斜率20dB/dec②对数频率特性曲线

微分环节对数幅频特性是一条斜率为20dB/十倍频程的直线。

斜率：

即横坐标lg每增加单位长度（每增加十倍）时，L()增加20dB，故斜率是20dB/十倍频程，记作20dB/dec。相频特性

（4）惯性环节输入输出关系为传递函数和频率特性分别为:如，当T=0.5时惯性环节的频率特性为：当T=0.5时惯性环节的频率特性为：j01Im[G(jω)]Re[G(jω)]①幅相曲线可以证明，惯性环节的幅相特性曲线为半圆。证明:

频率特性分解为实部和虚部G(jω)=U(ω)+jV(ω)即配方后惯性环节的幅相特性曲线为半圆②惯性环节对数幅频特性渐近曲线在工程实践中，为简化惯性环节、一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节的对数幅频特性曲线的作图，常用低频和高频渐近线近似表示对数幅频特性曲线，称之为对数幅频特性渐近曲线。

惯性环节的对数幅频与对数相频特性表达式为：惯性环节对数幅频特性渐近曲线惯性环节的对数幅频特性渐近线可记成如下形式：由上分析可见：惯性环节的对数幅频渐近线低频部分是零分贝线，高频部分是斜率为-20dB/dec的直线。两线交于ω频率处：——惯性环节的交接频率100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100②对数频率特性渐近曲线0o-30o-45o-60o-90oω=1/T=2为惯性环节的交接频率[-20]100.2210.1L(ω)dBω0dB204026-40-20201000o-30o-45o-60o-90oω=1/T=5为惯性环节的交接频率o[-20]②对数频率特性渐近曲线用渐近线的方式表示幅频特性,必然存在误差。最大误差发生在交接频率处:最大误差:误差分析（图示误差曲线）利用误差曲线对近似曲线修正即得精确曲线。修正后的对数频率特性精确曲线100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20]惯性环节低通滤波器（5）一阶微分环节输入输出关系为传递函数和频率特性分别为:实部恒为1，虚部随ω增大而增大的矢量。①幅相频率特性曲线矢量的模随着ω的增大从1变化到无穷。¥0从变化时，各矢量的角度从到变化。～＋wjIm[G(jω)]Re[G(jω)]012341②一阶微分环节对数幅频特性渐近曲线对数幅频与对数相频特性表达式：对数幅频特性渐近曲线:由上分析可见：一阶微分环节的对数幅频渐近线低频部分是零分贝线，高频部分是斜率为20dB/dec的直线。两线交于ω频率处：——一阶微分环节的交接频率100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100对数频率特性渐近曲线

——例1ω=1/T=2为一阶微分环节的交接频率[20dB/dec]0o+30o+45o+60o+90o对数频率特性渐近曲线——例2100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100ω=1/T=4为一阶微分环节的交接频率,增益K=0.03[20dB/dec]0o+30o+45o+60o+90o对数频率特性渐近曲线

——例2（6）振荡环节传递函数（欠阻尼二阶系统的传递函数）：频率特性：幅频率特性：相频率特性：①幅相频率特性曲线

二阶振荡环节幅相特性的形状与ζ的取值有关，当ζ分别取0.4、0.6和0.8值时，幅相曲线如图所示。②谐振频率ωr和谐振峰值Mr

由幅相频率特性曲线图可看出，ζ取值较小时，随ω=0→∞变化，G(jω)的幅值A(ω)先增加然后再逐渐衰减直至0。A(ω)达到极大值时对应的幅值称为谐振峰值，记为Mr，对应的频率称为谐振频率，记为ωr

Mr、ωr的计算公式推导根据谐振峰值的定义，A(ω)的极值和极值点即为谐振峰值Mr和谐振频率ωr。令A(ω)的导数为零即可求得。0j1

可见，Mr、ωr均为ζ的减函数。当，且时，A(ω)单调递增；，A(ω)单调递减。而当时，A(ω)单调递减。

Mr和h(tp)密切相关:Mr大，h(tp)就大；

反之亦然。因而，Mr直接表征了超调量的大小，故称之为振荡性指标。曲线与虚轴交点坐标为，频率为ωn；谐振幅值ζ越小，ωr越接近ωn，Mr越大；当ζ→0时，ωr趋于ωn，Mr趋于无穷大。谐振频率ζ较小时，幅频特性出现谐振峰值，(0<ζ<0.707)ζ越小，曲线与虚轴交点的幅值越大，即结论：幅频率特性：③振荡环节对数幅频特性渐近曲线可见，二阶振荡环节的对数幅频特性渐近线的低频部分为0dB线，高频渐近线为-40dB/dec的直线。交接频率为ωn

。

振荡环节的对数幅频特性L(ω)不仅ω/ωn与有关，而且与阻尼比ζ有关，而La(ω)与阻尼比ζ无关。

在交接频率附近一般不能简单地用渐近线近似代替，否则可能引起较大的误差。图5-27给出当ζ取不同值时对数幅频特性的准确曲线和渐近线。由图可见，在ζ小于0.707时，曲线出现谐振峰值，ζ值越小，谐振峰值越大，它与渐近线之间的误差越大。必要时，可以用图5-28所示的误差修正曲线进行修正。图5-27振荡环节的Bode图由图可见，在ζ小于0.707时，曲线出现谐振峰值，ζ值越小，谐振峰值越大，它与渐近线之间的误差越大。图5-28振荡环节的误差修正曲线振荡环节对数幅频特性渐近曲线——仿真实验ks=[0.10.20.30.50.71.0];om=10;fori=1:length(ks)num=om*om;den=[12*ks(i)*om

om*om];

bode(num,den);holdon;end绘制振荡环节对数幅频特性Matlab仿真程序振荡环节对数幅频特性渐近曲线——仿真实验ks=[0.050.10.150.20.250.30.40.50.60.81.0];wwn=0.1:0.01:10;fori=1:length(ks)fork=1:length(wwn)

Lw=-20*log10(sqrt((1-wwn(k)^2)^2+(2*ks(i)*wwn(k))^2));ifwwn(k)<=1Lw1=0;elseLw1=-40*log10(wwn(k));end

m(k)=Lw-Lw1;endhandle=semilogx(wwn,m,'b-');set(handle,'linewidth',1.5);holdon;endgrid;绘制振荡环节的误差修正曲线Matlab仿真程序④振荡环节对数相频特性曲线相角也是ω/ωn和ζ的函数，当ω=0时,；当ω→∞时，；当ω=ωn

时，不管ζ值的大小，总是等于，而且相频特性曲线关于点对称，如图5-27所示。振荡环节对数幅频特性渐近曲线——举例100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]-90o0o-180oφ

(ω)o（7）二阶微分环节频率特性传递函数幅频率特性：相频率特性：①幅相频率特性曲线频率特性由频率特性的实部和虚部特性可见，二阶微分环节幅相频率特性曲线具有如下特点：ω/ωn

<1时，实部为正，矢量在第一象限ω/ωn＝1时，实部为零，矢量在正虚轴上ω/ωn

>1时，实部为负，矢量在第二象限ooo180~90~00时，矢量的角度从～从¥wjIm[G(jω)]Re[G(jω)]01②二阶微分环节对数频率特性曲线频率特性对数频率特性对数相频率特性对数幅频特性渐近曲线0dBL(ω)dB[+40]ωn0<ξ<0.707时有峰值：对数坐标图的对比

(dB)10110ω

0.11040-20

40dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω20-40二阶微分与振荡环节1/jω和jωω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jω积分与微分环节ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T

1+jT和1/(1+jT)(o)90-9000.1110ω一阶微分与惯性环节

输出量毫不失真地复现输入量的变化，但时间上存在恒定延迟的环节称为延迟环节，如图所示。其输入-输出关系为式中，是延迟环节的延迟时间。（8）延迟环节应用拉氏变换位移定理可得延迟环节的传递函数延迟环节的频率特性（1）幅相曲线（2）对数频率特性曲线弧度→度

典型环节相角小结G(s)=s微分环节积分环节一阶微分二阶微分惯性环节振荡环节G(s)=Ts+1G(s)=s1G(s)=Ts+11恒定正90o恒定负90o

0o~+90o

0o~-90o0o~90o~180o0o~

-90o~-180oG(s)=T2s2+2ξTs+11G(s)=T2s2+2ξTs+1延时环节0o~

G(s)=k(k<0)G(s)=-Ts+1不稳定的比例环节不稳定的一阶微分不稳定的惯性环节不稳定的二阶微分不稳定的振荡环节名称G(s)恒定-180o0o~-90o0o~+90o0o~-180o0o~+180oG(s)=-Ts+11G(s)=T2s2-2ξTs+11G(s)=T2s2-2ξTs+1非最小相位环节相角小结3开环系统幅相频率特性曲线绘制

根据开环系统的频率特性表达式G(jω)，可令ω由小到大取值，算出A(ω)和φ(ω)值，在复平面上描点绘图可以得到准确的开环系统幅相频率特性曲线。

实际系统分析过程中，往往只需要知道幅相频率特性曲线的大致图形（概略幅相频率特性曲线）即可，并不需要绘出准确曲线。在绘制开环系统的概略幅相频率特性曲线时，可将开环系统的传递函数分解成若干典型环节，然后，利用典型环节的幅相特性进行绘制。绘制概略开环幅相频率特性曲线时应反映开环频率特性的三个重