第7章数字控制器的离散化设计

第7章数字控制器的离散化设计

7.1数字控制器的离散化设计步骤7.2最少拍随动系统的设计7.3最少拍无纹波随动系统的设计7.4大林算法

课前准备1.典型信号的Z变换

（1）单位脉冲函数 （2）单位阶跃函数 （3）单位速度函数

（4）单位加速度函数（5）典型输入函数2.Z变换的性质

线性定理延迟定理超前定理初值定理终值定理卷积定理3、采样系统的稳定性

如果采样系统Z传递函数G(z)的极点zi在Z平面的单位圆内，则采样系统是稳定的，对于有界的输入，系统的输出收敛于某一有限值；

如果某一极点zj在单位圆上，则系统临界稳定，对于有界的输入，系统的输出持续地等幅振荡；

如果G(z)的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统是不稳定的，对于有界的输入，系统的输出发散4差分方程采样系统的数学模型用差分方程描述。差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间的函数关系。差分方程由输出序列y，及其移位序列y(k-1)、y(k-2)、y(k-3)、……，以及输入序列u(k)，及其移位序列u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、……，所构成。（k=0,1,2,……）序列中k即kT，k=0T为研究开始时刻，kT可以理解为当前时刻，而(k-1)T为前一采样时刻。例：惯性系统被采样后的差分方程：5.离散化设计方法

所谓离散化设计方法是指在Z平面上设计的方法，对象可以用离散模型表示，或者用离散化模型的连续对象，根据系统的性能指标要求，以采样控制理论为基础，以Z变换为工具，在Z域中直接设计出数字控制器。这种设计法也称直接设计法或Z域设计法。7.1数字控制器的离散化设计步骤

（1）由H0(s)和G(s)求取广义对象的脉冲传递函数；（2）根据控制系统的性能指标及实现的约束条件构造闭环脉冲传递函数；偏差闭环脉冲传递函数；3、求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)4、根据D(z)求取控制算法的递推计算公式

设数字控制器D(z)的一般形式为：数字控制器的输出U(z)为：

将上式进行Z反变换得到差分形式的公式得到数字控制器D(z)的计算机控制算法为：

按照上式，就可编写出控制算法程序。7.2最少拍随动系统的设计在数字控制系统中，通常把一个采样周期称为一拍。所谓最少拍控制，就是要求设计的数字控制器能使闭环系统在典型输入作用下，经过最少拍数（最少个采样周期）达到无静差的稳态。最少拍控制实质上是时间。最优控制，最少拍控制系统也称为最小调整时间系统或最快响应系统最少拍控制系统设计的要求

（1）对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差（2）在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的控制周期数最少（3）数字控制器必须在物理上可以实现（4）闭环系统必须是稳定的 几种典型输入信号及其Z变换表达式如下：单位阶跃函数：

单位速度函数：

单位加速度函数：

输入信号的一般表达式式中为不包含因式的的多项式。根据Z变换的终值定理，求系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件)，即：

很明显，要使稳态误差为零，中必须含有因子，且，要实现最少拍一般取。同样

要使成为有限项的多项式，应使

为不包含因式的的多项式，应尽可能简单，故取据此，对于不同的输入信号，可选择不同的误差传递函数从而得到最少拍控制器当输入信号为单位阶跃信号时，

，，1.典型输入下的最少拍控制系统分析

（1）单位阶跃输入（q=1） 输入函数r(t)=1，其z变换为： 由最少拍控制器设计时选择的系统闭环传函为：

误差函数： 进一步得到系统输出为：上两式说明系统只需1拍（一个采样周期）输出就能跟踪输入，误差为零，系统进入稳态。（2）单位速度输入（q=2）

输入函数r(t)=t，其z变换为：

由最少拍控制系统闭环传函为：

误差函数：以上两式说明，只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。进一步得到系统输出为：（3）单位加速度输入（q=3）

由最少拍控制系统闭环传函为：

误差函数： 系统输出为：

以上两式说明，上式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态。输入函数r(t)=(1/2)t２，其z变换为：表7-1三种典型输入的最少拍系统综上所述，可归纳为如下表所示

最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系统的闭环脉冲传递函数Ф(z)，用于次数较低的输入函数R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数Ф(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。以下面例题为例，具体分析一下：2.最少拍控制器对典型输入的适应性差【例7-1】图7-1所示系统，

有设计最少拍数字控制器。

解：

1）按输入信号为单位速度输入来设计最少拍数字控制器

现考察此时的输出：输出响应曲线如图7-2所示。当不变，输入信号变为其他函数时，有如下分析：2）只改变输入信号为单位阶跃信号：即：输出响应曲线如图7-3所示。可见，按单位速度输入设计的最小拍系统，当输入信号为单位阶跃信号时，经过2个采样周期，Y(KT)=R(KT)，但在K=1时，将有100%的超调量。即：输入系列：输出响应曲线如图7-4所示。可见，按单位速度输入设计的3）只改变输入信号为单位加速度信号：

最小拍系统，当输入信号为单位加速度信号时，输出响应与输入之间总存在偏差。

图7-4单位加速度输入时最少拍系统响应曲线

7-2单位速度输入时最少拍系统响应曲线图7-3单位阶跃输入时最少拍系统响应曲线图

3.最少拍控制系统输出量在采样点之间存在波纹【例7-2】图7-1所示系统，有设计最少拍调节器，并画出数字控制器输出控制量和系统输出波形。解：若输入信号为单位阶跃信号，根据式（7-14）可得：现考察此时的输出序列：偏差：故

可见当经过一个采样周期后（ts=1s）系统稳态无静差。控制量：4.最少拍系统的其他局限性（1）最少拍控制器对参数变化过于敏感

（2）控制作用易超出范围画出系统数字控制器输出控制量和系统输出波形如图7-5所示。闭环系统的稳定性，是由的极点在Z平面的分布决定的，的零点对系统的快速性也将产生一定的影响。而的零、极点对有直接的影响。的极点应全部在单位圆内。

为了保证闭环系统稳定，其闭环脉冲传递函数5.最少拍数字控制器的限制条件

（1）当

含有单位圆上或圆外的极点时，将这些极点作为

（2）当含有单位圆上或圆外的零点时，

将这些零点作为

的零点；

（3）当含有纯滞后环节时，则在的分子中含有

因子。

的零点；

由式【例7-3】设最少拍随动系统，被控对象的传递函数，采样周期设计单位阶跃函数输入时的最少拍数字控制器。解：该系统广义对象的脉冲传递函数上式中包含有和单位圆外零点为满足限制条件(2)、条件(3)，要求闭环脉冲传递函数中含有项及的因子。又因为式中含有一个极点(Z=1)在单位圆上，因此，根据限制条件(1)，必须有一个的零点。

故可得（注意和中的最高次幂必须相等，因为式中，a、b为待定系数。由上述方程组可得；比较等式两边的系数，可得；由此可解得待定系数，。代人方程组，则于是，可求出数字控制器的脉冲传递函数上述控制器在物理上是可以实现的。离散系统经过数字校正后，在单位阶跃作用下，系统输出响应的z变换为由此可得，由于闭环z传递函数包含了单位圆外零点，所以系统的调节时间延长到两拍(1s)。7.3最少拍无纹波随动系统的设计1.最少拍有纹波随动系统存在的问题1）系统的输出响应在采样点之间有波纹存在，输出波纹不仅影响系统质量（如过大的超调和持续振荡），而且还会增加机械磨损和功率消耗。2）系统对输入信号的变化适应能力比较差。3）对参数变化过于敏感。系统参数一旦变化，就不能再满足控制要求。2.产生纹波的原因1）采样系统的极点与稳定性和动态响应的关系2）产生纹波的原因数字控制器的输出序列经若干拍数后，不为常值或零，而是振荡收敛的。作用在保持器的输入端，保持器的输出也必然波动，使系统输出在采样点之间产生纹波。非采样时刻的纹波现象不仅造成系统在非采样时刻有偏差，而且浪费执行机构的功率，增加机械磨损。而控制量序列值不稳定，是因为控制量含有左半平面单位圆内非零极点。根据图7-11所示极点分布与瞬态响应的关系，左半平面单位圆内非零极点虽然是稳定的，但对应的时域响应是振荡收敛的。

3）最少拍无纹波设计就是要求在典型输入信号的作用下，经过有限拍，系统达到稳定，并且在采样点之间没有纹波，输出误差为零，控制量保持恒定。3.消除纹波的附加条件最少拍无纹波系统的设计，是在最少拍控制存在波纹时，对期望闭环响应进行修正，以达到消除采样点之间波纹的目的。除了按照上一节选择以保证控制器的可实现性和闭环系统的稳定性之外，还应将被控对象在单位圆内的非零零点包括在以便在控制量的Z变换中消除引起振荡的所有极点。无纹波系统的调整时间比有纹波系统的调整时间增加若干拍，

增加的拍数等于在单位圆内的零点数目。中，4.最少拍无纹波随动系统的设计举例

由消除纹波的附加条件可确定最少拍无纹波的方法如下：

1）先按有纹波设计方法确定；

2）再按无纹波附加条件确定。

【例7-4】设最少拍随动系统，被控对象的传递函数采样周期解：（1）最少拍有纹波设计该系统广义对象的脉冲传递函数。设计单位阶跃函数输入时的最少拍无纹波数字控制器控制量和系统输出波形如图7-12所示，可见控制量不稳定，将使系统输出出现纹波。（2）无波纹控制器设计具有的因子，零点和单位圆上的极点。根据前面的分析，应包含的因子和的全部零点，

应由的不稳定极点和的阶次决定，所以有式中，a、b为待定系数。由（1）可见，由上述方程组可得比较等式两边的系数，可得由此可解得待定系数；。代人方程组，则为了检验以上设计的是否仍然有波纹存在，我们来看一下控制量。可见，系统经过两拍以后，所以本系统设计是无纹波的。离散系统经过数字校正后，在单位阶跃作用下，系统输出响应的z变换为由此可得，

（a）控制器输出（b）系统输出可见控制量稳定，将使系统输出无纹波。无纹波系统的调整时间比有纹波系统的调整时间增加一拍，增加的拍数正好等于在单位圆内的零点数目。7.4大林算法.在工业过程(如热工、化工)控制中，由于物料或能量的传输延迟，许多被控制对象具有纯滞后性质。对象的这种纯滞后性质常引起系统产生超调或者振荡。

.在控制系统设计中，对这类纯滞后对象的控制，快速性是次要的，主要要求系统没有超调或很少的超调。

.史密斯(Smith)预估控制和达林（Dahlin）算法就是专门针对工业生产过程中含有纯滞后控制对象的控制算法。

.达林算法的设计目标是：设计控制器使系统期望的闭环传递函数等价于纯滞后环节和一阶惯性环节的串联。7.4.1大林算法的基本形式大林算法的设计目标：设计一个合适的数字控制器，使整个闭环系统的传递函数相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节，并期望整个闭环系统的纯滞后时间和被控对象的纯滞后时间相同。

通常认为对象与一个零阶保持器串联，相对应的整个闭环系统的脉冲传递函数为：

为闭环系统的时间常数。假若已知被控对象的广义脉冲传递函数就可求出数字控制器的脉冲传递函数下面就具体环节的大林算法做简单说明（1）、一阶惯性环节的达林算法当被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节时可以得到达林算法的数字控制器为：当被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节时其中：可以得到达林算法的数字控制器为：（2）二阶惯性环节的达林算法

所谓振铃（Ringing）现象，是指数字控制器的输出u(k)以1/2采样频率（2T采样周期）大幅度上下摆动。振铃现象对系统的输出几乎无影响，但会增加执行机构的磨损，并影响多参数系统的稳定性。7.4.2振铃现象及其消除方法

振铃现象与被控对象的特性、闭环时间常数、采样时间、纯滞后时间的大小等有关。系统的输出Y(z)和数字控制器的输出U(z)间有下列关系：

Y(z)=

U(z)G1(z)系统的输出Y(z)和输入函数的R(z)之间有下列关系：Y(z)=

Ф(z)R(z)则数字控制器的输出U(z)与输入函数的R(z)之间的关系：其中，表达了数字控制器的输出与输入函数在闭环时的关系，是分析振铃现象的基础。1.振铃现象的分析根据图7-11所示极点位置与相应的脉冲响应图，分析在平面负实轴上的极点分布情况，就可得出振铃现象的有关结论：（1）极点距离越近，振铃现象越严重；（2）单位圆内右半平面的零点会加剧振铃现象；（3）单位圆内右半平面的极点会减弱振铃现象。对于单位阶跃输入信号含有极点z=1。如果的极点在负实轴上，且与z=-1接近，则数字控制器的输出序列u(k)中将含有这两个极点造成的瞬态项，且瞬态项的符号在不同时刻不相同，可能叠加也可能抵消（当两瞬态项符号相同时，数字控制器的输出控制作用加强；符号相反时，控制作用减弱），从而造成数字控制器的输出序列大幅度波动。极点距离z=-1越近，振铃现象越严重。假设含有1/(z-a)因子（a<0），即有z=a极点。则输出序列u(k)必有分量：

因为a<0，当k-1为奇数时，u(k)为负，使控制作用减弱；当k-1为偶数时，u(k)为正，使控制作用加强。这就是输出的控制量两倍采样周期振荡的原因。也说明振零现象产生的原因是φm(z)有负实轴上接近z=-1的极点。下面就具体环节来分析一下：

①带纯滞后的一阶惯性环节 被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节时

求得极点显然是大于零的。故在带纯滞后的一阶惯性环节组成的系统中，数字控制器输出对输入的脉冲传递函数不存在负实轴上的极点，这种系统不存在振铃现象。若式不满足，在这时就会发生振铃现象。

被控制对象为带纯滞后的二阶惯性环节时，有两个极点，第一个极点在 不会引起振铃现象。第二个极点在在T→0时，有说明会出现左半平面与z=-1相近的极点，这一极点将引起振铃现象。②带纯滞后的二阶惯性环节

振铃幅度(RA)用来衡量振铃强烈的程度。常用单位阶跃作用下数字控制器第0拍输出量与第1拍输出量的差值来衡量振铃现象强烈的程度。

2.振铃幅度式中RA≤0，则无振铃现象；RA>0，则存在振铃现象，且RA值越大，振铃现象越严重。单位阶跃输入下对带纯滞后的二阶惯性环节时，方法1：找出D(z)中引起振铃的因子(z=-1附近的极点)，令其中的z=1。根据终值定理，这样处理不影响输出量的稳态值但瞬态特性会变化，数字控制器的动态性能也会影响。方法2：从保证闭环系统的特性出发，选择合适的采样周期T及系统闭环时间常数，使系统振铃幅度抑制在最低限度内，数字控制器的输出避免产生强烈的振铃现象。

3.振铃现象的消除7.4.3大林算法的设计步骤（1）根据系统的性能，确定闭环系统的参数（3）确定纯