第6章万有引力定律

§6.1开普勒定律§6.2万有引力定律·两种质量§6.3引力势能§6.4潮汐第六章万有引力定律开普勒定律1609,1609,1619;1687牛顿定律，万有引力距离平方反比1.发展史§6.1开普勒定律第六章万有引力定律2.行星运动的开普勒定律(1609,1609,1619;1687牛顿定律)

(1)轨道定律每个行星都各在以太阳为焦点的一个椭圆轨道上运动.(2)面积定律由太阳到行星的矢径,在相等的时间内扫过相等的面积.太阳近日点远日点这一常量对所有行星均相同(严格说应略有差异)仅与太阳性质有关,称开普勒常数.(3)周期定律行星绕太阳运动的椭圆轨道半长轴a的立方与周期T的平方之比为常量.第一定律可由求轨道方程直接证明（椭圆）；开普勒定律所描述的运动是相对于日心—恒星参考系的.（具体求解见理论力学：有心力，平面极坐标，F=ma，椭圆轨道方程；向心力；求面积两方法。）

第二定律则是角动量守恒的直接结果（面积）；第三定律可由轨道方程和角动量定理得到证明.§6.2万有引力定律·

引力质量与惯性质量§6.2.1万有引力定律§6.2.2引力质量与惯性质量§6.2.3引力常数的测量§6.2.4地球自转对重量的影响§6.2.5牛顿万有引力定律的适用范围§6.2万有引力定律·

引力质量与惯性质量§6.2.1万有引力定律1.引力思想的发展是什么原因使行星在各自的轨道上绕日运动?

经过前人的努力，万有引力定律的思想准备已经基本成熟，是牛顿建立了万有引力定律.2.万有引力定律

设行星绕太阳作匀速圆周运动，从开普勒定律和牛顿运动定律出发论证万有引力定律.由开普勒第三定律行星向心加速仅与施力物体(太阳)性质有关.设月球绕地心运动，地球上物体和月球的向心加速度C2仅与施力物体(地球)性质有关.设an是由相互作用力引起并与该力成正比，则有由牛顿第三定律施力是相互的。所以C应与两物体性质有关。用m1

和m2分别表征各物体有引力作用的性质，称引力质量.所以引入比例常数G——万有引力定律

任何两物体间均存在相互吸引力.若物体可视作质点，则二质点的相互引力F沿二质点的连线作用.

万有引力定律本来是对质点而言的，但可证明，对于两个质量均匀分布的球体，它们之间的万有引力也可用此定律计算.m1m2

若物体的线度与它们间的距离可相比拟时，这时物体不能视作质点，需将物体分成许多小部分，使每一部分都能视作质点，利用上式求出物体1各小部分与物体2各小部分之间的引力，每个物体所受的引力等于其各部分所受引力的矢量和.用“分割”方法计算两物体间的万有引力.月球在轨道受万有引力应约为设月球在地球表面，受万有引力万有引力定律最初在地球—月球系统得到检验.月球在轨道上因受地球引力得到的加速度为也是月球环绕地球的向心加速度.

应用万有引力定律取得成功的例子.解释天体现象如哈雷彗星、地球的扁形，预测海王星、冥王星等.又由牛顿定律（月地距离R，月球绕地球周期T）与引力推算结果一致.§6.2.2引力质量与惯性质量引力质量——引力大小的量度.

引力质量和作为惯性大小量度的惯性质量含义并不相同.最简单的实验是在地面同一地点测定各种物体的重力加速度.引力质量为m1的物体受地球的引力为二者之间的关系？引力质量为m2的物体受地球的引力为在同一地点，二质自由下落加速度分别为g1和g2

由牛顿第二定律有实验表明,同一地点各种物体的重力加速度相等,即代入上式得更精确的实验证明是厄缶实验及以后的改进实验.选适当G值可使关键是同一地点各种物体的重力加速度是否相等？牛顿单摆实验即惯性质量与引力质量等价.§6.2.3引力常数的测量英国卡文迪什(H.Cavendish)利用扭称测得1991年舒尔(J.Schurr)报道为1999年华中科技大学罗俊领导的引力实验室利用扭摆测得§6.2.4地球自转对重量的影响

若将地球视为惯性系，物体重力即是地球与物体的万有引力.

地球不是严格的惯性系，物体重力是地球万有引力与离心惯性力的矢量和.1.重力偏离引力的角度将质量为m的质点悬挂于线的末端且相对于地球静止.受力如下页图所示.可求重力与万有引力的方向、大小差异。平衡方程重力O

R离心惯性力如图由正弦定理很小,2.重力与纬度的关系由正弦定理将代入上式得括号内后一项是小量，所以即重量随纬度变化的定量式且但W相差很小所以引力是重力的主要成分.因引力与重力角度和大小都相差很小（~0.1%）,因而故可将地球视为惯性系.§6.2.5牛顿万有引力定律的适用范围

牛顿引力定律不能解释水星轨道的旋进，需用广义相对论解释之.近日点太阳水星由于旋进，火星绕日轨道不再封闭

万有引力是超距作用，还是通过引力场作用?电磁场是以光子为媒介.引力场呢？是以引力子为媒介？引力子为何物？尚在探索.水星相继两次通过近日点时，其位矢扫过的角度大于2pi，总观测值为每百年前移5600.73″。按牛顿力学关于行星的摄动理论及岁差等因素，可以算出引起该项进动的理论值应为每百年5557.62″,这比观测值少了43.11″，~0.8%。爱因斯坦指出，需考虑太阳近旁的时空弯曲效应，广义相对论预期算出水星每百年还有额外的43.03″进动，这与实测结果每百年差43.11″±0.45″符合得很好。水星太阳金星地球椭圆轨道近日点水星近日点的进动（旋进）位矢牛顿万有引力定律适用于——弱场低速.c是光速，m是产生引力场球体质量.Rg是引力半径用R表示产生引力场球体半径，可用牛顿万有引力定律数学式太阳白矮星中子星可用牛顿万有引力定律,可用牛顿万有引力定律,用广义相对论.§6.3引力势能§6.31引力势能§6.3.2三种宇宙速度万有引力的功（见以前势能部分）作功仅与起始位置有关，是保守力.§6.3引力势能设质点m´

在m的引力场中从r0处运动到r处，§6.31引力势能第一宇宙速度——物体可以环绕地球表面运行所需的最小速度(环绕速度).以下计算均不计空气阻力等次要因素.§6.3.2三种宇宙速度第二宇宙速度——逃脱地球引力所需要的从地面出发的最小速度(脱离速度).第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系是第三宇宙速度——是使物体脱离太阳系所需的最小速度(逃逸速度).设质点以第三宇宙速度抛出时，其动能为这个动能包含两部分，即脱离地球引力所需的动能Ek1

和脱离太阳系所需的动能Ek2

：而地球公转动速率v=29.8km/s，求脱离太阳系所需的动能Ek2.由类比质点脱离太阳引力所需速率应该是设准备飞出太阳系的质点的发射方向与地球公转的方向相同，射出的质点在离开地球时相对地球速率为与此相对的动能为既能摆脱地球引力又能摆脱太阳引力所需要的总能为即第三宇宙速度抛体以不同速度抛出时不同类型的运动轨迹.v=v1v<v2v=v2v>v2§6.4潮汐§6.4.1月球对海洋潮汐的影响§6.4.2太阳对海洋潮汐的影响涨潮和退潮

潮汐现象利用平移惯性力可解释潮汐现象问题：(2)为什么潮汐同时在向月和背月侧发生？(1)为什么月球对潮汐的影响比太阳大？两次高潮和两次低潮。潮汐是海水的周期性涨落现象.“昼涨成潮，夜涨成汐”.§6.4潮汐这种现象牛顿首先给出了正确的说明，它是月亮、太阳对海水的引力以及地球公转和自转的结果.设海水覆盖整个地球表面.

地月绕二者的共同质心C转，视C为原点，建坐标轴指向恒星的惯性坐标系Cxy，以地心C´为原点建坐标系C´x´y´，Cxy与C´x´y´各坐标轴保持平行，即C´

绕C平动.设水相对C´

静止.§6.4.1月球对海洋潮汐的影响C为地月质心C´为地心C´绕C平动因为平动，各单位质量水与地心处单位质量物体所受向心力相同.yxCm月球Cm单位质量物质在各处所受月球的引力不同.Cm正是月球引力的作用产生潮汐.CmABDEP单位质量物体受到的引潮力地面上单位质量物体受到的月球引力F’有两效果，一是向心力Fc，另一是产生潮汐，月球引潮力F定义为PG、m和d分别表示万有引力常数、月球质量和地心月心距离.向心力dlmQ考虑如图中Q点处单位体元物质所受引潮力.将引潮力向Q处竖直方向投影，得竖直力Fv使海水“涨起、跌落”；水平分量FH造成海水的“潮流”.现考察两个特殊点：离月亮最近点A和最远点BmABOxR地球半径水平方向投影，得FAx

FBx就是在地球上观察到的“引潮力”它将使该处海水凸起形成涨潮.A点B点同理得背向地心背向地心CmABDEP

分析可知在D、E处引力潮相等且指向地心，在该处，迫使海水“跌落”.

一般说来，一昼夜中海水将依次处于A、B、E、D方向，因此形成两次落潮，两次涨潮.太阳引潮力还不及月球引潮力的一半.§6.4.2太阳对海洋潮汐的影响

如果引力源的质量很大，当另一星体靠近它运行时，由于距离很小，引潮力可能大到将该星体撕碎。1994年的天文奇观——休梅克一列维9号彗星撞击木星时，彗星是以20余块碎块撞到木星上的.这些碎块就是该彗星在靠近木星时被引潮力撕碎而形成的.解释：在地球上分析：海水除了受月亮(太阳)的引力外还需考虑地球是个非惯性系的惯性力在质量较大的运动空间中由于月球（太阳）引力强度不同（存在引力梯度）从而质点的‘合力’不同整个质点系就会发生形变以月球引力变化为例图示定性说明假设平移惯性力强度处处相等注意：平移惯性力为月亮引力在质点与月亮的连线方向示意地球表面海水形状引潮力rrRCCx地球月球mF惯

F引地-月系统引潮力在地表分布：

地球自转，一昼夜有两个高峰和两个低谷扫过每一个地方，形成两次高潮和两次低潮。Cxyq=0、—背离地心，形成海水的两个高峰。=/2—指向地心，形成海水低谷。所以，潮汐主要由月球引力引起！月球引潮力是太阳引潮力的2.18倍：地地经计算,太阳引起的潮高：月亮引起的潮高：一般情况下，hS和hM是矢量相加的，只有太阳、地球和月亮几乎在同一直线上时，二者才是算术相加的。地球月亮涨潮落潮月球对地面上海水的引潮力落潮涨潮月月日地地大潮小潮大潮与小潮日引潮力常触发地震地震常发生于阴历初一、十五附近（大潮期），如：76.阴7.2,唐山93.阴8.15,印度95.阴12.17,神户▲固体潮（形变）：月变形滞后,造成地球对月球引力矩,阻止月球自转··地球●使月球自转和公转周期最终达到一致。影响：●使地球自转变慢。●使接近大星体的小星体被引潮力撕碎。化石生长线判断：3亿年前，一年约400天。由植物年轮，珊瑚和牡蛎如SL─9慧星被木星引潮力撕碎（199