《平面向量基本定理》复习教案与课后作业

6.3学习目标

平面向基本定理及标表示平面向基本定理》习教案核心素养1.了解平面向量基本定理其意义．(重点)2．了解向量基底的含义．在平面内，当一组基底确定后会用这组基底来表示其他向量．(难点)【自主习】平面向量基本定理

通过作图引导学生得出平面向量基本定理，培养直观想象素养．2．通过基底的学习，提升观想象和逻辑推理的核心素养.条件结论基底

e，e是同一平面的两个不共线向量12对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，λ，使a12＝λ＋λe1122{e，e}叫做表示这平面内所有向量的一组基底12思考：0能与另外一个向量构成基底吗？[提示]

不能．基向量是不共线的，而任意向量是共线的．1．设e，e同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基12底的是()A．{e，e12C．{e5e1,2

B．{e＋＋3e}12,12D．{e，＋}112[答案]

B2若ab共线且＋mb＝0(则＝________＝________.[答案]

00→3．如图所示，向量O可用向量e，e表示为________12

4e＋312

→[由题图可知，＝4e＋3.]12→→→4．若AD△ABC的中线，已知A＝aAC＝b，若{a，}为基底，则A＝________.[答案]

12

(a＋b【合作究】【例1】

对基底的理解设O是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：→→→→

→→→→①AD与；②与；③CA与C；④OD与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①②C．①④

B．①③D．③④B

→→→→→→→→→[①AD与A不共线；DA＝－，D与B共线；③与D不共线；OD→→→＝－OB则O与O共线由平面向量基底的概念知只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．]对基底的理解两个向量能否作为一组基底关键是看这两个向量是否共线若共线则不

1111111111能作基底，反之，则可作基底．若向量a，b不共线，则c＝2a－b＝3a－2b，试判断{，d}能否作为基底．[解]

设存在实数λ，使＝λd，则2a－b＝(3－2b，即(2－3λ)a＋(2λ－1)＝0，由于向量a，b不共线，所以2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，{，d}作为基底．用基底表示向量→【例2】(1)D，，F分别为△ABC边，CA，上的中点，且＝a，→CA＝，给出下列结论：→→①AD＝－a－；②＝a＋b；22→→③CF＝－a＋b④＝a.222其中正确的结论的序号为．(2)如图所示，ABCD中，点，F别为DC边上的中点DEBF于→

→→→点G，若A＝a，AD＝，试用ab表示向量D，.[思路探究]

用基底表示平面向量充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则．

11111→→111112211111→→1111122(1)①②③

→→→→[如图，AD＝AC＋＝－＋＝－－a，①正确；22→→→BE＝＋＝a＋b，②正确；2→→→→→→AB＝＋＝－b－，＝＋AB＝b＋(－b－)2211＝b－a，③正确；2211④EF＝CB＝－a，④不正确．]22→

→→→(2)[解]

DE＝＋AB＋→→→＝－AD＋＋BC2→→→＝－AD＋＋AD＝a－b.22→→

→

→BF＝＋＋DF→→→＝－AB＋＋AB＝b－a.22→1．若本例(2)中条件不变，试用a，表AG.[解]

→→由平面几何的知识可知B＝BF，3→→→→→故A＝AB＋＝AB＋BF3

21＝a＋a3221＝a＋b－a3322＝a＋b.33→→→→→→2．若本例(2)中的基向量“，”换为“CE，”，即若C＝a，＝b，→→试用ab表示向D，.→

→→

→→

→→[解]

DE＝＋CE＝2＋CE＝＋＝－2b＋.→→→

→→

→→BF＝＋＝2EC＋CF＝－2＋＝－2a＋b.用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义．(2)模型：平面向量基本定理的唯一性及其应用[探究问题]若存在实数λ不共线的向量e向量a＝e＋λe，1212121122aμ＋e，λ，λμμ怎样的大小关系？11221212[提示]

由题意λλ＝＋e，即(λ－μ)e＝(μ－λ)e11221122111222由于e，e不共线，故λ＝μ，λ＝μ.121122

2212tt23343293→2212tt23343293→→→【例3】如图所示，在中OA＝，OB＝b，MAB上靠近B一→个三等分点N是OA靠近A的一个四等分点OMBN相交于点O.[思路探究]

→→→→→→→→可利用OP＝tOM及＝ON＋＝ON＋两种形式来表示都转化为以a，b为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s，，→进而得OP.[解]

→→→→→OM＝＋A＋AB3→→→＝OA＋(OB－)＝＋b.333→→因为O与O共线，→→故可设O＝＝＋b33→→→→→→→→→→又N与N共线，可N＝，OP＝ON＋＝OA＋(OB－)＝(1－)44＋sb，所以

3t，t，3

解得

t＝，10，533所以O＝a＋b.1051．将本例中“点M是AB上靠近的一个三等分点”改为“点是上靠近A一个三等分点”“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“点N为OA的中点”，求BP∶值．

1112121λ323434111111112121λ32343411111[解]

→→→BN＝－OB＝－，2→→→→→→→→→→OM＝＋＝OA＋AB＝＋(OB－)OA＋＝＋b.333333因为O，，M和，，N别共线，→→所以存在实数λ，μ使B＝λBN＝a－，2→→OP＝μOM＝

2μμa＋b，33→→→→→所以O＝OP＋＝OP－＝

2μλ－＋λ2μλ→－2＝0，又O＝b，所以μ＋λ＝1，3

解得

λ＝，5，5→→所以B＝BN，即BP∶PN＝4∶1.5→→2．将本例中点，的位置改为“＝NOA的中点”，其他条件不2→变，试用a，b示O.[解]

→→→→→AM＝－OA＝OB－＝－a，33→→→→→BN＝－＝OA－＝－b.22

λλμμ234→λλμμ234→→→因为A，，M三点共线，所存在实数λ使A＝λAM＝b－，3→→→所以O＝OA＋＝(1－λ)＋b3→→因为B，，N三点共线，所存在实数μ使＝μBN＝a－，2→→→所以OP＝＋BP＝＋(1－μb2即

μ，λ＝1－μ，3

解得

λ＝，5，521所以O＝a＋b.551．任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一条件二结论

平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e，e12a＝λe＋μe且a＝λ＋μe11122122＝λ，12＝μ122．任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e，e的线性组合λe＋λ.在具体λ，λ有两种方法：12112212(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．(2)利用待定系数法，即利用定理中λ，λ的唯一性列方程组求解．121．对基底的理解(1)基底的特征

基底具备两个主要特征①基底是两个不共线向量②基底的选择是不唯一的面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时我们可以选择适当的基底将问题中涉及的向量向基底化归使问题得以解决．【课堂标训练】1．判断正误(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．)(2)基底中的向量可以是零向量．)(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．()(4)ee是平面α内两个不共线向量，若存在实λμ得λe＋μe1212＝0则λ＝μ＝0.()[答案]

(1)√(2)×(3)√(4)√2．已知平行四边形，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()→→A．{AB，}→→C．{BC，}→→

→→B．{，BC}→→D．{，DA}D

[由于，DA不共线，所以是一组基底．→→3．设D为△所在平面内一点，＝3，则()

1414414111411411414414111411412→→→A.AD＝－AB＋AC33→→→B.AD＝AB－AC33→→→C.AD＝AB＋AC33→→→D.AD＝AB－AC33A

→→→→→→→→→→→→[AD＝＋CD＝＋BC＝＋(－)AC－AB＝－AB＋AC.故选333333A.]面向量基本理》课作业[合格基础练]一、选择题1向量e与e不共线3xe＋(10－)ey－7)e＋2xe实数x，121212y的值分别()A．0,0C．3,0

B．1,1D．3,4D

－7，[因为ee共线，所以y＝2，

解方程组得x＝3，＝4.]2．已知e、e表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不12能作为一组基底的是()A．{e＋e，e－e}1212C．{e＋2，＋2e}1221

B．{3ee4－6}12,21D．{e，＋}212B

[∵4ee＝－2(3e－2e)∴3－2与4e－6e线∴它们不能作21121221为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．故应选→→→

→→3．在△ABC中，点D在BC边上，且B＝2，设A＝，AC＝b，则可用

222121211411411111222121211411411111基底ab表示为)1A.(a＋b)212C.a＋b33

21B.a＋b331D.(a＋b3C

→→→→[因为＝2DC，所以＝.3→→→→→→→→→→所以A＝AB＋＝AB＋BC＝＋(AC－)＝AB＋AC＝a＋b.]333333→→→→→4．在△中AE＝ABEF∥EF交AC，A＝aAC＝，则BF等5于()1A．－a＋b521C.a－b33

1B．a－b512D.a＋b33A

→→→→[∵AE＝AB，∴BE＝－AB.55→→→→又∵EF∥，∴EF＝BC＝(－)，55→→→→→→∴BF＝＋＝－AB＋(AC－)55→→＝AC－＝－＋b.]555设点D△ABC中BC边上的中点O为AD上靠近点A三等分点则()→→→A.BO＝－AB＋AC62

11515111111511151511111151→→→B.BO＝AB－AC62→→→C.BO＝AB－AC66→→→D.BO＝－AB＋AC66D

→→→→→[如图D中点O为靠近A三等分点BO＝＋AO＝－AB＋AD＝－3→→→→→→→→AB＋×(AB＋)＝－AB＋＋＝－＋AC.]326666二、填空题6．设e，e是平面内一组基向量，且＝ee，b＝e＋e则向量e1212121＋e可以表示为以a，b基向量的线性组合，即e＋＝________.2122111a－b[由a＝＋2e，＝－e＋e，由①＋②得e＝＋b，代入33121223312①可求得e＝a－，13321所以e＋ea－b.]12337．若向量a＝4ee与b＝ke＋e共线，其中e，是同一平面内两个不121212共线的向量，则k值为．2

[∵向量a与b共线，∴存在实数λ，使得b＝，即ke＋e(4e＋2e＝4＋2.121212∵e，e是同一平面内两个不共线的向量，12，∴λ，

∴k＝2.]

→21212121→21212121128．设，E分别是△ABC的边，BC上的点，＝，BE＝，若D＝23→→λAB＋AC(λ，实数)，则λλ值为________．12121212

[如图，由题意知，D为AB中点，→→BE＝BC，3→→→所以D＝DB＋→→＝AB＋BC23→→→→→＝AB＋(AC－)＝－AB＋，236312所以λ＝－，λ，1623121所以λ＋λ－＋＝.]12632三、解答题→→9如图平行四边形中＝a＝bM别是ADDC中点，→→BF＝BC，以a，b为基底表示向量A与H.3→→[解]1BF＝BC，3

在平行四边形ABCD＝aAD＝bM分别是ADDC中点，

1111111131→→→→→→→1111111131→→→→→→→→→→→→→→→∴AM＝＋＝AD＋DC＝＋AB＝b＋a，222→→→→→→HF＝－＝AB＋BF－AD＝a＋b－＝a－b232610图矩形OACB和F分别是边ACBC的点足AC